Lista de Exercícios Cálculo III - Sistemas de Equações Diferenciais e Circuitos Elétricos

Segunda lista Sistemas Cálculo III 1 Determine a equação diferencial que descreve em função do tempo as correntes I1 e I2 no circuito mostrado na Figura 1 considerando R 1ohm L 1henry e C 54 farad R I1 I1 I2 I2 I1 I25 2 No exercício logo acima considere I10 5 amperes e I20 1 ampere e resolva o resolva o problema de valor inicial correspondente 3 Seja o circuito em paralelo mostrado na Figura 2 Suponha que V represente a queda de voltagem através do capacitor e I represente a corrente passando pelo indutor a Determine a equação diferencial que relaciona temporalmente V e I R V V2RC IC I VI 4 Considere o seguinte circuito mostrado na Figura 3 Figura 2 Figura 3 a Determine a equação diferencial que descreve simultaneamente em função do tempo as grandezas V queda de voltagem através do capacitor e I corrente passando pelo indutor R I R1L I 1L V V 1C I 1R2C V b Resolva a equação do item a assumindo que C 1farad L 1henry R1 5ohms R2 1ohm 12volts a voltagem inicial no capacitor e corrente inicial no indutor é nula Figura 4 5 Considere o circuito em paralelo LRC com as correntes direcionadas como mostardo na Firgura 4 Denotando as correntes que passam pelo resistor indutor e capacitor com iR iL e iC respectivamente para identificar melhor tais correntes a Determine a equação diferencial que descreve simultaneamente em função do tempo as grandezas vC queda de voltagem através do capacitor e iL corrente que passa pelo indutor R vC 1RC vC 1C iL iL 1L vC 6 Encontre uma matriz fudamental para o sistema X AX onde a A 2 2 1 4 3 0 0 1 3 b A 2 1 1 1 3 0 3 5 0 c A 1 0 1 2 2 2 0 0 2 d A 1 0 0 2 5 1 0 4 1 e A 1 0 0 2 6 13 0 42 0 6 2 13 2 5 0 16 7 Três tanques de fermentação de 100gal estão conectados como indicado na Figura 5 e as misturas em cada tanque são mantidas uniformes por agitação Denote por xit a quantidade em libras de álcool no tanque Ti no instante t i123 Suponha que a mistura circula entre os tanques à razão de 10galmin Deduza as equações renciais que descrevem temporalmente as quantidades xit R 10x 1 x1 x3 10x 2 x1 x2 10x 3 x2 x3 8 A Figura 6 mostra três tanques de salmoura contendo V1 V2 e V3 ga lões de salmoura respectivamente Água fresca ui para o tanque 1 equanto salmoura misturada ui do tanque 1 para o tanque 2 do tan que 2 para o tanque 3 e para fora do tanque 3 Seja xit a quantidade em libras de sal no tanque i no instante ti 1 2 3 Considerando que cada taxa de uxo é de r galões por minuto a Determine as equações diferenciais que descrevem temporalmente as quantidades xit 4 Figura 5 r galmin Tank 1 V1 gal Tank 2 V2 Tank 3 V3 Figura 6 x1 k1x1 x2 k1x1 k2x2 x 3 k2x2 k3x3 onde ki r Vi i 1 2 3 b Ache a solução geral do sistema encontrado no item a com r 10 galmin V1 20gal V2 25gal e V3 40gal Figura 7 9 A Figura 7 mostra duas massas ligadas uma a outra e a duas paredes pelas três molas indicadas Suponha que as massas deslizem sem atrito e que cada mola obedece à lei de Hooke sua extensão ou compressão x e força F de reação são relacionadas pela fórmula F kx a Se os deslocamentos para a direita x1 e x2 das duas massas a partir de suas posições de equilíbrio são todos positivos determine as equações direnciais equações de movimentoque relacionam x1 e x2 R m1x1 k1 k2x1 k2x2 m2x2 k2x1 k1 k2x2 b Para m1 2 m2 1 k1 1 k2 k3 2 determine x1 e x2 Figura 8 10 A figuraFig 8 mostra três massas ligadas uma a outra e a duas paredes pelas quatro molas indicadas Suponha que as massas deslizam sem atrito e que cada mola obedece à lei de Hooke sua extensão ou compressão x e força F de reação são relacionadas pela fórmula F kx a Se os deslocamentos para a direita x1 x2 e x3 das três massas a partir de suas posições de equilíbrio são todos positivos determine as equações direnciais equações de movimentoque relacionam x1 x2 e x3 b Transforme em uma equação de primeira ordem a equaçãoo sistemaencontrada no item a R a A primeira mola está esticada da distância x1 b A segunda mola está esticada da distância x2 x1 c A terceira mola está comprimida da distância x3 Portanto a aplicação da lei de movimento de Newton ma F para as três massas fornece suas esquações de movimento m1x 1 k1x1 k2x2 x1 m2x 2 k2x2 x1 k3x3 x2 m3x 3 k3x3 x2 k4x3 8