Solução de EDOs Lineares via Série de Potências - Cálculo III UFPR

Calculo III Solucao para EDOs lineares via serie de potˆencias Pontos Regulares UFPR 13 de novembro de 2024 Calculo III Outline 1 Equacao de Euler 2 Teoria de Series de Potˆencias 3 Metodo de Leibnitz Maclaurin 4 Ponto regulares de EDOS lineares 5 Series de Potˆencias Aplicacao para a solucao de EDOs Calculo III Equacao de Euler Equacoes do tipo ax2 d2y dx2 bx dy dx cy 0 sao denominadas equacoes de Euler de segunda ordem Exemplos 3x2y 4xy 6y 0 2 3t2 d2x dt2 5t dx dt x 0 Metodo de solucao fazendo x et t ln x a equacao e transformada para ad2y dt2 b ady dt cy 0 Calculo III 1 3x2 y 12xy 2 0 3 d2ydt2 15 dydt 2y 0 esta última equação tem como solução yt c1 er1 t c2 er2 t onde r1 52 6732 e r2 52 6732 são as raízes do polnômio característico r2 5r 223 0 Como x et a solução da equação de Euler é dada por y c1 etr1 c2 etr2 c1 xr1 c2 xr2 2 x2 y 2xy 6y 0 yt yt 6yt 0 zt yx xt et dzdt dydx dxdt dydx et x dydx dzdt xDx Dt 1 d2zdt2 x d2ydx2 dxdt dxdt dydx x2 d2ydx2 d2zdt2 dzdt 2 ax2 d2ydx2 bx dydx cy 0 az ba z cz 0 Afirmação xn Dxn Dt Dt I Dt 2 I Dt n1 I Aplicação x3 y 2x2 y xy y 0 Dt Dt IDt 2I z 2 Dt Dt I z Dt z I z 0 Dt IDt2 I z 0 Daí zt C1 et C2 cost C3 sint t ln x yx C1 x C2 cosln x C3 sinln x Séries de Potências Uma série de potências centrada em x a sumn0 cn x an Definição Dizemos que a série sumn0 cn x an converge no intervalo I centrado em a se o limite limn Snx sumk0n ck x ak existe para cada x I fx sumn0 cn x an x I representa uma função em torno de a Definição Dizemos que a série sumn0 cn x an é absolutamente convergente se sumn0 cn x an é convergente Teorema Se cada coeficiente cn da série de potências sumn0 cn x an é diferente de zero o raio de convergência desta série é R limn cn cn1 desde que o limite exista com R finito ou infinito Definição Dizemos que fx é analítica no ponto x a se fx sumn0 fnan x an x I para algum intervalo I aberto que contém x a Teorema Leibnitz yx uxvx yn sumk0n n choose k unk vk yn un v nun1 v1 nn 12 un2 v2 nn 1n k 1k unk vk uvn uk dk ydxk Teorema Série de Maclaurin yx sumk0 yk0k xk y0y0x y02 x2 yk0k xk Exemplo Encontre a solução em série de potências da equação y xy 1 Solução 1 Como y 1 xy y0 1 0y0 1 2 y2 1 xy1 11 xy1 y xy1 y20 y0 0y10 y0 Exemplo Encontre a solução em série de potências da equação y xy y 0 Solução 1 y2 xy1 yn 0n y2n xy1n yn 0 yn2 xy1n yn 0 yn2 xyn1 nynx1 nn12 yn1 x2 0 yn 0 0 yn2 nyn1 yn 0 yn2 n 1yn 0 Exemplo Continuacao Como yn2 n 1yn n 0 1 2 3 y20 y0 y30 2y10 y40 3y20 3y0 y50 4y30 2 4y10 y60 5y40 3 5y0 yx y0 y0x y0 2 x2 y0 3 x3 y40 4 x4 Calculo III Teorema Seja equação y pxy 0 3 onde px é analítica no ponto a isto é px n0 pn x an x a R A solução geral da equação 3 é dada por yx n0 cn x an x a R onde o coeficiente c0 é arbitrário e cn 1n k0n1 ck pn1k n 1 2 3 Demonstração Suponha uma solução na forma yx n0 cn x an Então n0 cn x an n0 pn x an n0 cn x an 0 n1 n cn x an1 n n0 k0n ck pnk x an 0 n0 n1 cn1 x an n0 k0n ck pnk x an 0 n0 n1 cn1 n k0 ck pnk x an 0 Daí n1 cn1 n k0 ck pnk 0 n 0 1 2 Resolvendo para cn1 e trocando n1 por n temos cn 1n k0n1 ck pn1k n 1 2 3 Seja a equação y y 1 x ℝ a Substituindo yx n0 cn xn em y y 0 x ℝ n0 cn xn n0 cn xn 0 n0 n1cn1 cn xn 0 Daí para cada n 012 cn1 cn n1 c1 c0 1 c2 c0 2 c3 c0 23 c4 c0 234 Portanto yx c0 1 11 x x22 x33 c0 ex Seja a equação y y 1 x ℝ b Substituindo yx n0 cn xn em y y 1 x ℝ n0 cn xn n0 cn xn 1 n0 n1cn1 cn xn 1 Daí c1 1 c0 e para cada n 1 2 cn1 cn n1 que dá lugar a c2 12 c0 2 c3 13 12 c0 2 13 c0 3 c4 14 c3 14 13 c0 3 14 c0 4 yx c0 1 11 x x22 x33 11 x x22 x33 c0 ex ex 1 c0 1 ex 1 yx C0 ex 1 Definicao O ponto x a e denominado ponto ordinario da edo y pxy qxy 0 se px e qx sao analıticas em x a Em outro caso x a e chamado de ponto singular Exemplos Seguem exemplos ilustrativos Cada numero real a e ponto ordinario das equacoes y y y 0 y sin xy y 0 Para a equacao y x2y xy 0 como qx x nao e derivavel em x 0 entao o ponto 0 e ponto singular desta equacao Calculo III Teorema Existência de soluções em Séries de Potências Seja a equação Ly y pxy qxy 0 onde px e qx são analíticas em x a Se as representações px n0 pnx an qx n0 qnx an são convergentes no intervalo x a R a solução geral da equação 4 é dada na forma y n0 cnx an x a R onde os coeficientes c0 e c1 são arbitrários e os outros coeficientes cn n 2 são determinados através da equação de recorrência cn 1 nn 1 k0n2 k 1ck1pn2k ck qn2k n 2 3 4 Exemplos lustrativos 1 Seja a equação y y 0 x ℝ De acordo com o teorema acima esta equação possui uma solução geral na forma yx n0 cn xn x ℝ Isto é n0 cn xn n0 cn xn 0 x ℝ n2 nn 1 cn xn2 n0 cn xn 0 x ℝ n0 n 2n 1 cn2 cn xn 0 x ℝ n 2n 1 cn2 cn 0 n 0 1 2 cn2 1 n 2n 1 cn n 0 1 2 Continuacao do exemplo 1 Seguem alguns desses coeficientes n 0 c2 1 21c0 n 1 c3 1 32c1 n 2 c4 1 43c2 1 4321c0 1 4c0 n 3 c5 1 54c3 1 54321c1 1 5c1 yx c01 1 2x2 1 4x4 c1x 1 3x3 1 5x5 c0 cosx c1 sinx Calculo III 2 Considere a equação y αxy 0 Determine uma solução da forma n0 cn xn por substituição direta na equação Solução 21 c2 32 c3 x 43 c4 x2 αxc0 c1 x c2 x2 c3 x3 0 Agora somando as correspondentes potências de x e em seguida igualando a zero os respectivos coeficientes temos x0 21 c2 0 x1 32 c3 α c0 0 x2 43 c4 α c1 0 x3 54 c5 α c2 0 xn n 2n 1 cn2 α cn1 0 Continuação do exemplo 2 Fazendo c0 1 e c1 0 determinamos os coeficientes c2 0 c3 α23 c4 0 c5 0 c6 α2356 c7 0 c8 0 c9 α2356789 c3k1 0 c3k α 1473k23k Para c0 1 e c1 0 temos a solução y1 1 α k1 1473k23k x3k Já para o caso c0 0 e c1 1 resulta y2 x k1 2583k13k1 x3k1 3 Para a equação 1x2 y x y β2 y 0 determine a solução na forma n0 cn xn Substituindo n0 cn xn na equação temos 1x2 n0 cn xn x n0 cn xn β2 n0 cn xn 0 12 c2 β2 c0 x0 23 c3 1c1 β2 c1 x1 n2 n1n2cn2 n2 β2 cn xn 0 Assim a equação de recorrência para determinar os coeficientes é dada por n1n2 cn2 n2 β2 cn n 2 Continuacao do exemplo 3 Para c0 1 e c1 0 obtemse y1 1 β2 2 x2 β2β2 4 4 x4 β2β2 4β2 16 6 x6 Analogamente fazendo c0 0 e c1 1 resulta y2 xβ2 1 3 x3β2 1β2 9 5 x5β2 1β2 9β2 25 7 x7 Como as serie de potˆencias px x 1 x2 x1 x2 x22 x23 x x3 x5 e qx 1 1 x2 1 x2 x22 x23 tˆem raio de convergˆencia R 1 e as solucoes y1x e y2x estao definidas no intervalo x 1 Calculo III 4 Resolva a equação y x2 y x assumindo uma solução em série de potências Para yx n0 cn xn n2 nn1cn xn2 x2 n0 cn xn x m0 m1m2cm2 xm m2 cm2 xm x Daí temos trocando m por n 2 c2 6 c3 x n2 n1n2 cn2 xn n2 cn2 xn x Continuação do exemplo 4 Somando as séries temos 2c2 6c3 x n2 n2cn2 cn2 xⁿ x Identificando as respectivas potências resulta x⁰ 2c2 0 c2 0 x¹ 6c3 1 c3 13 xⁿ n1n1cn2 cn2 0 cn2 cn2n1n2 n 2 3 4 Continuacao do exemplo 4 Portanto a solucao sera dada por yx c0 c1x c2x2 cn2 cn2 n 1n 2 n 2 3 4 yx c0 c1x x3 6 c0 x4 12 c1 x5 20 x7 252 c0 x8 672 c1 x9 1440 x11 27720 c01 x4 12 x8 672 c1x x5 20 x9 1440 x3 6 x7 252 x11 27720 yx c0y1x c1y2x ypx Calculo III Exercício Resolva o problema d evalor inicial xy y 0 y1 2 y1 2 Em seguida determine uma valor aproximado para y15 Solução Como queremos uma solução em torno de x 1 iremos reescrever a equação como segue x1y y y 0 Potência de x1 x 1x1 Agora assumindo y n0 cn x1n temos que n0 n1n2cn2x1n n1 nn1cn1n1n n0 cn x1n 0 Continuação do exercicio c0 2c2 n1n1n2cn2 nn1cn1 cnx1n 0 Determinando um a um os coeficientes cn resulta yx c0 1 x1²2 x1³6 c1 x1 x1³6 x1412 Para y1 2 e y1 2 temos yx 2x x1² x1412 x1520 Portanto y15 3 025 00052 000156 2754 Equacao de Legendre A equacao de Laplace em coordenadas cartesianas e dada por u uxx uyy uzz 0 5 A equacao 5 em coordenadas esfericas e reescrita como segue Para Ur θ φ ur sin φ cos θ r sin φ sin θ r cos θ U verifica que 1 r2 r r2 U r 1 sin φ φsin φU φ 1 sin φ 2U θ2 0 6 Assumindo uma solucao da forma U RrSθ φ resulta r r2 R r S 1 sin φ φsin φS φR 1 sin φ 2S θ2 R 0 7 Calculo III Dividindo por RS a equacao 7 temos R r2 R r 1 S sin φ φsin φS φ 1 S sin φ 2S θ2 0 Daı segue que 1 R d dr r2 dR dr α r2R 2rR αR 0 8 e 1 S sin φ φsin φS φ 1 S sin φ 2S θ2 α 9 Calculo III Hipotese simplificadora Suponha que a solucao e rotacionalmente simetrica respeito do eixo Z isto e S θ 0 Entao a equacao 9 assume a forma 1 sin φ φsin φ φ αS 0 10 Como a equacao 8 lembra uma equacao de Euler iremos procurar uma solucao da forma Rr rλ Assim substituindo Rr rλ em 8 temos que λλ 1 2λ αrλ 0 Logo λλ 1 2λ α e portanto λλ 1 α 11 Calculo III Seja t cos φ e φ arccos t Para yt Sarccos t 0 φ π temos dt dφ sin t dS dφ dS dt dt dφ sin tdy dt d dφ sin t d dt Logo a equacao 10 pode ser reescrita como d dt sin2 t dy dt αy 0 α λλ 1 eq 11 12 Como sin2 φ 1 cos2 φ 1 t2 a equacao acima e reescrita como segue d dt 1 t2dy dt λλ 1y 0 ou 1 t2y 2ty λλ 1y 0 13 Calculo III Para qualquer número real λ trocando t por x em 13 a quação 1 x2y 2xy λλ 1y 0 14 é conhecida como equação de Legendre Como px 2x1 x2 e qx λλ 11 x2 são funções analíticas em x 0 com raio de convergência R 1 podemos assumir que a solução geral em torno de x 0 de 14 é dada na forma yx n0 cn xn x 1 Então 1 x2 n0 cn xn 2x n0 cn xn λλ 1 n0 cn xn 0 x 1 Após associação conveniente das séries obtemos n0 n 1n 2an2 λ nλ n 1xn 0 x 1 Assim os coeficientes cn são determinados através da equação de recorrência cn2 λ nλ n 1n 1n 2 cn n 0 1 2 Daí temos c2 c4 c6 em função de c0 e c3 c5 c7 em função de c1 como segue c2 λλ112 c0 c3 λ 1λ 223 c1 c4 λ 2λ 334 c2 c5 λ 3λ 445 c3 n 1 c2n λ 2n 2λ 2n 12n 12n c2n 2 n 1 c2n1 λ 2n 1λ 2n2n2n 1 c2n 1 Logo mediante substituições sucessivas e simplificações correspondentes resulta c2n 1n λλ 2λ 2n 2 λ 1λ 3λ 2n 1 2n c0 e c2n1 1n λ 1λ 3λ 2n 1 λ 2λ 4λ 2n 2n 1 c1 Portanto a solução geral da equação de Legendre 14 é dada por yx c0 1 n1 1n λλ 2λ 2n 2 λ 1λ 3λ 2n 1 2n c1 x n1 1n λ 1λ 3λ 2n 1 λ 2λ 4λ 2n2n 1 c0 y1 x c2 y2 x x 1 Observacao Note que 1 Se λ e um inteiro positivo par y1x se reduz a um polinˆomio Neste caso a solucao geral da equacao de Legendre sera a combinacao linear de um polinˆomio e uma serie 2 De iguual forma quando λ e um inteiro positivo ımpar y2x e um polonˆomio 3 Quando λ e um inteiro positivo par ou ımpar a correspondente solucao e denominada Polinˆomio de Legendre 4 A equacao de Legendre de ordem n n inteiro positivo 1 x2y 2xy nn 1y 0 15 aidmite uma solucao polinˆomica Calculo III Para φx x² 1ⁿ yx dⁿdxⁿ φ é uma solução da equação de Legendre de ordem n 15 Dⁿ²φx² 1 n 11 Dⁿ¹φD x² 1 n 12 DⁿφD² x² 1 0 0 Dⁿ²φx² 1 n 1Dⁿ¹φ2x nn 12 Dⁿφ 2 x² 1D² Dⁿφ 2n 1xDDⁿφ nn 1Dⁿφ α e Dⁿ¹2nxφ 2n k0 to n1 Dⁿ¹k φDᵏ x 2n 2nxDⁿ¹φ Dⁿφ1 00 2nxDDⁿφ 2nDⁿφ γ Subsitituido β e γ em α temos x2 1D2Dnφ 2xDDnφ nn 1Dnφ 0 1 x2Dnφ 2xDnφ nn 1Dnφ 0 Isto e Dnφ verifica a equacao 15 Observacao Qualquer multiplo de dn dxn x2 1 tambem verifica a equacao 15 Definicao O polinˆomio de Legendre Pnx de grau n e definido pela equacao Pnx 1 2nn dn dxn x2 1 16 Calculo III Seguem alguns referentes a 16 a Pₙx satisfaz a equação de Legendre 15 quando ν n b A equação 16 é conhecida como fórmula de Rodrigues c O fator 12ⁿ n é escolhido para que Pₙ0 1 n d Mostrase que Pₙx k0 to n 1ᵏ 2n 2k 2ⁿ k nk n2k xⁿ²ᵏ 17 A partir de 17 temos P₀x 1 P₁x x P₂x 12 3x² 1 P₃x 12 5x³ 3x P₄x 18 35x⁴ 30x² 3 A equação 1 x2y xy λ2 y 0 x 1 1 é denominada equação de Chebyshev yx Σ n0 to cn xn cn2 λ2 n2 n 2n 1 cn Então c2n 1n λ2 λ2 22λ2 42 λ2 2n 22 2n c0 e c2n1 1n λ2 1λ2 32 λ2 2n 12 2n 1 c1 Quando λ m é um inteiro positivo uma das soluções é um polinômio denominado polinômio de Chevyshev de primeira espécie e é denotado com Tmx T0x 1 T1x x T2x 2x2 1 T3x 4x3 3x Equação de Hermite y 2xy 2λy 0 x R Para yx Σ n0 to cn xn cn2 2n λ n 2n 1 cn n 0 1 2 yx c0 1 Σ n1 to 2n λ2 λ 2n 2 λ 2n x2n c1 x Σ n1 to 2n 1 λ1 λ 2 1 λ 2n 2 2n 1 x2n 1 λ N H0x 1 H1x 2x H2x 4x2 2 H3x 8x3 12x