CM043-Transformada de Laplace-Convolucao-Funcoes Periodicas e Delta de Dirac

Slides da CM043 Transformada de Laplace Continuacao 5 de Dezembro de 2024 Slides da CM043 Outline 1 Convolucao de funcoes 2 Transformada de funcoes periodicas 3 Funcao delta de Dirac 4 Aplicacao a solucao de EDOs Slides da CM043 1 Equação transformada s2 Y 4 Y Fs 2 Transformada da função incógnita Ys Fss2 4 3 Transformada inversa de Ys yt 12 sin2t ft 12 0t sin2τ ft τ dτ 4 Cálculo da convolução a Para t 1 ft τ 1 t 1 τ t 0 t 1 Então yt 12 0t sin2τ dτ 14 1 cos2t Teorema Se Lf t Fs e Lgt Gs entao Lf gt FsGs Corolario L1FsGs L1Fs L1Gs Resolver o PVI y 4y f t y0 0 y0 0 onde f t 0 t 0 1 0 t 1 0 t 1 Slides da CM043 b Para t 1 ft τ 0 τ t 1 1 t 1 τ t 0 τ t Então yt 12 t1t sin2τ dτ 14 cost 1 cos2t Definição Convolução Sejam f g funções definidas em 0 A convolução de f e g denotada com f g é dada por f gt 0t ft τ gτ dτ Exemplos Seguem exemplos ilustrativos 1 Para ft t2 e gsin t temos f gt 0t t τ2 sinτ dτ 2 H Ht 0t Ht τ Hτ dτ 0t dτ t t 0 Definição Dizemos que ft é uma função periódica de período T 0 se ft T ft t ℝ Teorema Seja ft seccionalmente contínua em 0 e de ordem exponencial Se ft é periódica com período T então Lft 0T est ft dt 1 esT Teorema ft T ft t ℝ Lft 0T est ft dt 1 esT Demonstração Lft 0 est ft dt 0T est ft dt nTn1T est ft dt Considerando τ t n 1T temos nTn1T est ft dt esn1T 0T esτ fτ dτ n 1 2 Então 0 est ft dt 1 esT e2sT 0T esτ fτ dτ 11 esT 0T esτ fτ dτ Teorema ft T ft t ℝ Lft 0T est ft dt 1 esT Exemplo Suponha que o gráfico de ft tem o formato de uma onda quadrada de amplitude 20 e período 2π Determine sua transformada de Laplace Solução ft 20Ht 2Ht π Ht 2π Ht 3π Ht 4π 20Ht 40 m1 1m Ht πm Lft 20s 40s m1 1m emπs 20s 40s tanhπs2 Observação Note que m1 1m emπs 11eπs 1 1 eπs1 eπs eπs2 eπs2eπs2 eπs2 multiplicando por eπs2 tanhπs2 Portanto m1 1m emπs tanhπs2 Problema pratico Problema Considere um sistema massamola com constantes m 1 c 4 e k 20 em unidades apropiadas Suponha que o sistema esta inicialmente em repouso x0 0 x0 0 e que a massa esta sob efeito da forca externa f t cujo grafico tem o formato de uma onda quadrada de amplitude 20 e perıdo 2π Encontre a funcao de posicao xt Modelo matematico O problerma de valor inicial e x 4x 20x f t x0 0 x0 0 Slides da CM043 Solução x 4x 20x ft x0 0 x0 0 s2 Xs 4Xs 20Xs Fs onde Fs 20s 40s m1 1m emπ Então Xs 20ss22 16 40m1 1m emπ ss22 6 Mas 1 L1 1s22 16 14 e2t sin4t 2 gt L1 1ss22 16 14 0t e2τ sin4τ dτ 1 e2tcos 4t 12 sin 4t 3 L1 emπs ss22 16 Ht mπ gt mπ Impulso Seja F a força aplicada a um objeto durante o intervalo de tempo t1 t2 Então o impulso gerado por F é 1 I F t2 t1 quando F é constante 2 I t1t2 Ft dt quando F varia com t Observação O impulso I pode ser também interpretado como a variação da quantidade de movimento mv do objeto De fato mvt2 mvt1 m t1t2 vt dt t1t2 mat dt Função delta de Dirac Definição Delta de Dirac a A função delta de Dirac concentrada em t 0 denotada com δt é tal que δt 0 t 0 ₀ δt dt 1 b A função delta de Dirac concentrada em t t₀ denotada com δt t₀ é tal que δt t₀ 0 t t₀ ₀ δt t₀ dt 1 Propriedades da função delta de Dirac Seja δεt 1ε x 0ε 0 x 0ε Note que i ₀ δεt dt 1 δε impulso unitário ii Fεt F₀ δεt ₀ Fεt dt F₀ Teorema Para cada função φt contínua em 0 temse ₀ δtφt dt φ0 Transformada da função delta de Dirac Teorema Lδt 1 Demonstração Assumindo que δt lim ε0 δεt temos Lδt L lim ε0 δεt lim ε0 Lδεt lim ε0 1ε ₀ᵋ eˢᵗ dt 1 Transformada da funcao delta de Dirac Teorema Lδt 1 Corolario Lδt c ecs c 0 Observacao Note que LHt c sLHt c 0 secs s ecs Lδt c Entao Ht c δt c Slides da CM043 Aplicacao associada a funcao delta de Dirac Exemplo Resolva o problema de valor inicial y 4y 2δt 1 y0 3 Solucao Primeiro passo Aplique a transformada em ambos os membros da equacao Ly 4y 2Lδt 1 sY s 3 4Y s 2es Slides da CM043 Aplicacao continuacao Segundo passo resolver para Y Y s 3 s 4 es s 4 Terceiro passo Aplique a transformada inversa em ambos os membros da ultima equacao L1Y s L1 3 s 4 es s 4 3L1 1 s 42L1 es s 4 Lembretes i Lect 1 sc L1 1 sc ect ii LHt cf t c ecsFs c 0 L1ecsFs Ht cf t c Slides da CM043 Então yt 3e4t 2Ht1e4t1 Conclusão yt 3e4t 0 0 t 1 2e4t1 t 1 ou yt 3e4t 0 t 1 3e4t 2e4t1 t 1 Aplicação Problema Considere um circuito RLC com R 110Ω L 1H C 0001F e uma bateria fornecendo E0 90V Inicialmenet não há corrente no circuito nem carga no capacitor No instante t 0 o interruptor é fechado e deixado fechado por um segundo No instante t 1 é aberto e deixado aberto Encontre a corrente resultante no circuito Solução 1 Modelo matemático Li Ri 1Cq Et Li Ri 1C0t iτdτ Et i q Então a equação para a corrente é i 110i 1000 0t iτdτ 901 Ht 1 Aplicacaocontinuacao 1 Equacao transformada sIs 110Is 1000Is s 90 s 1 es 2 Solucao para Is Is 901 es s2 110s 1000 90 s2 110s 1000 1 s 10 1 s 100 3 Aplicando a transformada inversa Is 1 s 10 1 s 100 es s 10 es s 100 it e10t e100t Ht 1e10t1 e100t1 Slides da CM043 Aplicacoes Aplicacao Consideremos um circuito em serie que consiste de um indutor com indutˆancia L e um capacitor com um capacitˆancia C Inicialmente o circuito tem corrente zero e o capacitor e descarregado Em t 0 uma forca eletromotriz de tensao muito grande e aplicada por um perıodo muito curto para que possa ser expressa na forma E0δt E necessario determinar a corrente do sistema num tempo posterior 1 Modelo matematicoequacao diferencial que governa a corrente no circuito Li q C E0δt Condicoes iniciais i0 0 q0 0 2 Equacao transformada sIs 1 Cs I E0 3 Is E0 L s s2 ω2 0 ω2 0 1 LC 4 Solucao it E0 L cosω0t Slides da CM043 Continuacao 1 Modelo matematicoequacao diferencial que governa a corrente no circuito Li q C E0δt Condicoes iniciais i0 0 q0 0 2 Equacao transformada sIs 1 Cs I E0 3 Is E0 L s s2 ω2 0 ω2 0 1 LC 4 Solucao it E0 L cosω0t Slides da CM043