Exponencial de Matriz - Aulas CM043 - Teoremas e Aplicações

Aulas da CM043 Exponencial de Matriz 25 de novembro de 2024 Aulas da CM043 Outline 1 Exponencial de matriz 2 Exponencial de matrizes quadradas 2 2 3 Aplicacoes Aulas da CM043 Teorema Se φ₁φₙ são soluções linearmente independentes de X AtX e se c₁cₙ são constantes arbitrárias então c₁φ₁ cₙφₙ é também uma solução do sistema Além disso se Φt é uma matriz fundamental de a solução geral de pode ser escrita como Xt ΦtC onde C Rⁿˣ¹ é um vetor constante arbitrário Corolário Xt ΦtΦ¹t₀X₀ é a solução do PVI X AtX Xt₀ X₀ Corolário Xt ΦtC Φt Φ¹sFs ds é a solução geral do sistema nãohomogêneo Definição Exponencial de Matriz Seja B uma matriz quadrada Definese eᴮ I 11 B 12 B² 13 B³ 1n Bⁿ Exemplos 1 e beginpmatrix λ₁ 0 0 λ₂ endpmatrix beginpmatrix 1 0 0 1 endpmatrix 11 beginpmatrix λ₁ 0 0 λ₂ endpmatrix 12 beginpmatrix λ₁² 0 0 λ₂² endpmatrix beginpmatrix eᵞ₁ 0 0 eᵞ₂ endpmatrix 2 e beginpmatrix 2 0 0 5 endpmatrix beginpmatrix e² 0 0 e⁵ endpmatrix Exemplos 3 eᵗ beginpmatrix 2 0 0 5 endpmatrix e beginpmatrix 2t 0 0 5t endpmatrix beginpmatrix e²ᵗ 0 0 e⁵ᵗ endpmatrix 4 e beginpmatrix 0 b 0 0 endpmatrix beginpmatrix 1 0 0 1 endpmatrix 11 beginpmatrix 0 b 0 0 endpmatrix beginpmatrix 0 0 0 0 endpmatrix beginpmatrix 1 b 0 1 endpmatrix 5 e beginpmatrix a b 0 a endpmatrix eᵃ ᴵ e beginpmatrix 0 b 0 0 endpmatrix eᵃ beginpmatrix 1 b 0 1 endpmatrix 6 e0 β β 0 1 0 0 1 11 0 β β 0 12 β² 0 0 β² 13 0 β³ β³ 0 cosβ sinβ sinβ cosβ 7 eα β β α eα 0 0 α e0 β β 0 eα 0 0 eα e0 β β 0 eα1 0 0 1 e0 β β 0 eα e0 β β 0 eα cosβ sinβ sinβ cosβ Teorema Se A Rnn entao d dt etA AetA Corolario X etA e solucao do sistema d dt X AX d dt X X Exemplos Aulas da CM043 Observacao De acordo com o corolario acima Xt ett0AX0 e a solucao do problema de valor inicial X AX Xt0 X0 Proposicao ePJP1 PeJP1 Aulas da CM043 Autovalores distintos Suponhamos que A R² possui dois autovalores distintos λ₁ λ₂ Denominaremos com v₁ e v₂ os autovetores associados a λ₁ e λ₂ respectivamente Considerando a matriz P v₁ v₂ onde v₁ e v₂ representam as colunas de P temos AP Av₁ v₂ Av₁ Av₂ λ₁v₁ λ₂v₂ v₁ v₂ λ₁ 0 0 λ₂ P λ₁ 0 0 λ₂ Daí A P λ₁ 0 0 λ₂ P¹ Portanto etA P eλ₁t 0 0 eλ₂t P¹ Exemplo Seja o problema de valor inicial x₁ x₁ 2x₂ x₂ 2x₁ x₁ x₁0 13 x₂0 1 A forma matricial do problema acima é Xt 1 2 2 1 Xt X0 13 1 Xt x₁t x₂t I Achar as raízesautovalores do polinômio característico det1 2 2 1 λ1 0 0 1 1 λ² 4 0 Podese verificar que λ₁ 3 e λ₂ 1 são as raízesautovalores da equação logo acima II Determine os autovetores associados aos autovalores determinados no passo I v₁ a b autovetor associado ao autovalor λ₁ 3 tal que A λ₁Ia b 1 3 2 2 1 3a b 2 2 2 2a b 0 0 Podese verificar que v₁ 1 1 é uma solução não nulaautovetor do sistema algébrico Analogamente v₂ 1 1 é uma solução não nula do sistema A λ₂Iv₂ 0 onde λ₂ 1 III Conclusão Xt 1 1 1 1e3t 0 0 et12 12 12 1213 1 Autovalores repetidos λ₁ λ₂ λ único autovalor de A ℝ²ˣ² I Determine o autovetor v v₁ associado ao autovalor único λ Isto é encontre uma solução não nula do sistema A λIv 0 Ilustração Seja o sistema X 3 1 1 1 X v₁ 1 1 é um autovetor associado a λ 2 autovalor único II Determine v₂ tal que A λIv₂ v₁ 1 1 1 1a b 1 1 O vetor v₂ 2 1 é uma solução do sistema logo acima Como v₁ e v₂ são tais que Av₁ λv₁ e A λIv₂ v₁ temse AP Av₁ v₂ Av₁ Av₂ λv₁ v₁ λv₂ v₁ v₂λ 1 0 λ A P λ 1 0 λ P¹ Note que i etλ 1 0 λ eλt 0 0 eλt e0 t 0 0 eλt 0 0 eλt 1 0 0 1 t1 0 1 0 0 t²2 0 0 0 0 eλt 0 0 eλt 1 t 0 1 Proposição Se v v₁ iv₂ o autovetorimaginário de A ℝ²ˣ² associado ao autovalor imaginário λ α iβ A P α β β α P¹ P v₁ v₂ Demonstração Seja v v₁ iv₂ o autovetor associado ao autovalor imaginário λ α iβ e seja matriz P v₁ v₂ Av λv Av₁ iAv₂ α iβv₁ iv₂ αv₁ βv₂ iβv₁ αv₂ Av₁ αv₁ βv₂ Av₂ βv₁ αv₂ Então AP Av₁ Av₂ αv₁ βv₂ βv₁ αv₂ v₁ v₂ α β β α P α β β α Corolário Se A P α β β α P¹ eᵗᴬ eᵅᵗP cos βt sin βt sin βt cos βt P¹ Exemplo Considere o sistema X 3 2 1 1 Exemplo Encontre a solucapo do PVI x 1 x 2 x 3 1 1 1 1 2 1 2 1 4 x1 x2 x3 com x10 0 x20 1 x30 0 Solucao a Determine os autovalores da matriz dos coeficientes det 1 λ 1 1 1 2 λ 1 2 1 4 λ λ 22λ 3 e entao λ1 2 λ2 2 λ3 3 Aulas da CM043 Solucao b Calculo dos autovetores associados a ao autovalor λ Note que postoA λ1I posto 1 1 1 1 0 1 2 1 2 2 Aulas da CM043