Provas Antigas Resolvidas Mecgeral2

Assinatura: Questão 1 (15 pontos): Se a inclinação do cabo no apoio A é horizontal, determine a curva de deflexão y(x) do cabo, a parcela horizontal constante (F_H) da força de tração atuante no cabo, e a tração máxima (T_max) desenvolvida no cabo. Considere y(x) = \frac{1}{F_H}\int \left[ w(x) dx \right], \frac{dy}{dx} = \frac{1}{F_H} \left[ w(x) dx \right], e T(x) = \sqrt{F_H^2 + \left( \int w(x) dx \right)^2} onumber onde w(x) é o carregamento externo solicitante. \cos \theta_\text{máx} = \frac{F_H}{T_\text{máx}} F_H = 125 \text{ kN} T_\text{máx} = 138,65 \text{ kN} T_\text{máx} = 125 \cbo 25,64 T_\text{máx} = 138,65 \text{ kN} y(x) \frac{1}{125} \left[ \frac{x^3}{10} + \frac{3}{2}x^2 \right] 1°) Condições de contorno Ponto A 1° x = 0 y = 0 dy \bigg|_{x=0} = 0 dx 2° \text{Carregamento} u(x) = ax + b x = 0 \implies u = 0 u = 0 + b 6 = 10a a = \frac{3}{5} u(x) = \frac{3}{5}x + 3 \left( 1 \text{ ponto} \right) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{F_H} \int \left( \frac{3}{5}x + 3 \right) dx \frac{dy = \frac{1}{F_H} \left( \frac{3}{2}x^2 + 3x + C_1 \right)}{dx} y = \frac{1}{F_H} \int \left( \frac{3}{2}x^2 + 3x + C_1 \right) dx y = \frac{1}{F_H} \left( \frac{3x^3}{30} + \frac{3x^2}{2} + C_1x + C_2 \right) \text{C_1} = \text{C_2} = 0 \left( 2 \text{ pontos} \right) \theta_\text{máx} = \tan^{-1} \left[ \frac{max} {F_H} \right] Ponto B x = 10 \quad y = 2 \ 2 = \frac{1}{125} \left[ \frac{(10)^3}{10} + 3(10)^2 \right] F_H = 125 kN 3°) T_\text{máx} T_\text{máx} = \frac{F_H}{T_\text{máx}} \tan \theta_\text{máx} = \frac{1}{125 \tan^{-1} \left[ \frac{(10)^3}{10} + 3(10)^2 \right]} \theta_\text{máx} = 25,64° Página 2 de 7 Questão 2 (10 pontos): Determine, para a seção abaixo representada, as coordenadas \bar{x} e \bar{y} do centroide (centro geométrico) com relação ao ponto A indicado. Considere a direção x na horizontal e a direção y na vertical. \bar{x} = 120 \text{ mm} \quad 5 \text{ pontos} \bar{y} = 118,75 \text{ mm} \quad 5 \text{ pontos} \bar{x} = \frac{10 \times (20 \times 150) + 230 \times (150 \times 20) + 120 \times (240 \times 25)}{(20 \times 150) + 2 \times 240 \times 25} \bar{x} = \frac{1440000}{12000} = 120 \text{ mm} \bar{y} = \frac{2 \times 75 (20 \times 150) + 162,5 (240 \times 25)}{2(20 \times 150) + 240 \times 25} \bar{y} = \frac{1425000}{12000} = 118,75 \text{ mm} Página 3 de 7 Questão 3 (15 pontos): Determine, para a seção abaixo representada, os momentos de inércia I_x e I_y e o produto de inércia I_{xy} com relação aos eixos centroidais x e y. Considere a direção x na horizontal e a direção y na vertical. I_x = 8.885,31 \text{ cm}^4 \quad 5 \text{ pontos} I_y = 844,628 \text{ cm}^4 \quad 5 \text{ pontos} I_{xy} = 0 \quad 5 \text{ pontos} I_x = 2 \left[ \frac{150 \times 15^3}{12} + (15 \times 150) 132,5^2 \right] + \frac{7,5 \times 250^3}{12} I_x = 79087500 + 9765625 \implies 88853125 \text{ mm}^4 I_y = 2 \left[ \frac{15 \times 150^3}{12} + \frac{7,5 \times 250}{12} \right] I_y = 8446289,06 \text{ mm}^4 Página 4 de 7 Assinatura: Questao 4 (15 pontos): Determine, para a secao abaixo representada, os momentos de inercia Ix e Iy e o produto de inercia Ixy com relacao aos eixos centroidais x e y. Considere a direcao x na horizontal e a direcao y na vertical. Ix = 380 x 230 - 320 x 170 = 254275000 mm4 2 12 Iy = 230 x 380 12 - 170 x 320 = 5874999999.997 mm4 3 12 Ixy = 0 25427,5 cm4 5 pontos 58750 cm4 5 pontos 0 cm4 5 pontos Pagina 5 de 7 Assinatura: Questao 5 (15 pontos): Determine, para a secao abaixo representada, os momentos de inercia Imax e Imin e o angulo que a direcao de maxima inercia forma com o eixo x. Considere a = 60 mm, b = 20 mm, t = 3 mm, x = 2,3708 cm, y = 0,3708 cm, Ix = 0,5337 cm4, Iy = 8,6317 cm4, Ixy = -1,1326 cm4 e θ > 0 no sentido anti-horario. Imax = 8,8 cm4 5 pontos Imin = 0,14 cm4 5 pontos θmax = 82,2 graus 5 pontos C = 0,5337 + 8,6317 2 C = 4,58227 mm4 log 2θP2 = -1,1326 (4,58227 - 0,5337) 2θP2 = 31,5152 π OP1 = 90 - 15,62 2 θPmax = 82,2 Pagina 6 de 7 Assinatura: Questão 1 (20 pontos): Para o cabo ABCD abaixo representado, determinar as componentes de reação nos apoios, as forças normais de tração em cada segmento de cabo e o comprimento total do cabo. Ax kN 3 pontos Ay kN 3 pontos Dx kN 3 pontos Dy kN 3 pontos NAB kN 2 pontos NBC kN 2 pontos NCD kN 2 pontos L m 2 pontos Página 2 de 5 Ay DY 13,67 AX DX . 8,2 13,67 f 78 13,50 } 4,605 Ocad . . - - 15,94 34,04 12,28 - 48=0148 ± ' 1.4 15,74 Ahh Aplicandoaseopwagoesde equilibria EMA - - OF -6.3-10×6 -1 Dy no. -_o/Iy=7iV Jtnalisearrdo O NJ C : I Me - - O f - Ay . 101-6.7-110.4=0 /Ay=8,2kT Analisandoo Ponto A- t.E.DE?o.eY " MAY ZFy=0Mf NBC EB Ay - NAB . NOAB =D 4110kW Ax It NAB NAB -_ 15,94 UNI Efx -0 ³ f - NBC cos OBC -1 NCD aboard EFx=0 ³ f - Axt 15,94 . cos OAB =D NBC = 15,74 . I 3,01 Ax - 13,67kW 4,605 " 3 NBEI 13,85kW ZF×=O ³ f - Axt DX - - O Dx - - Ax zfyópf Arralisidwdo O Ponto D - to t NBC . senores - Ncos . serious -0 TDY toy Ocb - - hey = DI NBC ! 13,97 kN f ON DX DX L he -12,28M$ Nbc Efx - - O ³ f - Ncp . cos Ocp t Dx - - O Ncos = 15,738 Knx comprimento L - - 3,50+3,041-4,605 - I LEMHI Assinatura: Questão 2 (10 pontos): Para a seção abaixo representada, determinar, em relação aos eixos indicados, as coordenadas ¯x e ¯y do centroide. ¯x cm 5 pontos ¯y cm 5 pontos Página 3 de 5 :& I g. B 45,54 & 40 7=40 om I = Z{I# = 3 . 80×6+28.44 . 61-60×6×53 -144×6×78 -140×6×103 80×6 t 44×6×2 t 60×6+40×6 I = 77*24=3871 I 45,54cm Assinatura: Questão 3 (30 pontos): Para as seções abaixo representadas, determinar, em relação aos eixos indicados, os momentos de inércia Ix e Iy e o produto de inércia Ixy. Ix cm4 6 pontos Iy cm4 6 pontos Ixy cm4 3 pontos Ix cm4 6 pontos Iy cm4 6 pontos Ixy cm4 3 pontos Página 4 de 5 72902,67 2789,29 5030,67 855,08 zero zero Ix -- 180,2-503-1 50×180.460*25121×2 -140,23-203=729026666,67 mm 9 Ix - - 72902,67 om } Iy - - 2x 5041-2803+32042-403=50306666 , 67mm } Iy= 5030,67cm 4 N h Nh N u Nh Nll Ix= 150-42303+(150×30) (58-1512 -120×1-270>-1120×170) Ims - 5812 Ix - - 27892933,333mm 't I 2789,29 anti Iy= 3042-503+170422-03 ó 8550833,33mm 4 Iy = 855,083 cm } Assinatura: Questão 4 (20 pontos): Determine, para a seção abaixo representada, os momentos de inércia Imáx e Imín e os ângulos que as direções de máxima e mínima inércia formam com o eixo x positivo. Considere a = 130 mm, b = 60 mm, t = 10 mm, ¯x = 4,8333 cm, ¯y = 1,3333 cm, Ix = 44 cm4, Iy = 313,5 cm4, Ixy = −65 cm4, e θ > 0 no sentido anti-horário. Imáx cm4 5 pontos Imín cm4 5 pontos θmáx graus 5 pontos θmín graus 5 pontos Página 5 de 5 328,36 29,14 77,12 - 12,87 Ixy I × " C Imrax Ima , ! void fornix ó I I×y - - - - - ei Centro = Ixt = 44+321-3,5 ó 178,75cm " R=7fIy)4IxyTEJf44-3z3#/tt6# = 149,610M$ Imai = Ct R = 178,751-149161=328,36 om 4 Irwin = C - R = 178175 - 149,61=29 , 14cm " toy 20 min - - ¥¥yI± , = Omim 14871,7 . Omarx= 90 - 12,8 Omary - - 77,1229 GABARITO Assinatura: Questao 1 (15 pontos): O cabo abaixo representado sustenta uma viga de peso 10 kN/m. Determine as forcas de tracao nos pontos A, B e C. Considere w(x)dx dx, y(x) = 1/ w(x)dx, dy / = 1 / dx w(x) dx, T(x) = dF H dx F H onde w(x) e o carregamento solicitante. LAB = 17,57 m 3 pontos LBC = 12,43 m 3 pontos FH = 128,63 kN 3 pontos TA = 217,75 kN 2 pontos TB = FH 2 pontos TC = 178,87 kN 2 pontos Page image LAB = 2 (30 - LAB) 2 LBC = 2 LAB - 120 LAB + 1800 = 0 (LAB 17,57 m() u. LAB 12,43 m()) LBC = 12,43 m FH = 128,63 kN T(x) = /10002 p/x - LAB TA = 217,75 kN p/x 0 TB = F H p/x + LBC,TC 178,87 kN Pagina 2 de 5 Assinatura: GABARITO Questão 2 (15 pontos): Para o perfil de barragem de concreto abaixo representado, avaliar a estabilidade do mesmo quanto ao tombamento como corpo rígido em relação ao ponto A e ao escorregamento em relação ao solo. Adotar \( \gamma_c = 24\ kN/m^3 \), \( \gamma_a = 10\ kN/m^3 \) e \( \mu = 0,6 \). \\ \[ E_a = 9 (\gamma_a)(9) /(2) = 405\ kN/m \] \[ P_a = (9 \cdot 3) \gamma_a /(2) = 135\ kN/m \] \[ P_{c1} = P_{c3} = (9 \cdot 3)/2 \cdot \gamma_c = 324\ kN/m \] \[ P_{c2} = (2.11) \gamma_c = 528\ kN/m \] \[ M_T = 3E_a = 1215\ kN \cdot m \] \[ M_E = 7P_a + 6P_{c1} + 4P_{c2} + 3P_{c3} = 5973\ kN \cdot m \] \[ FST = M_E/M_T \approx 4,92 \] \[ F_a = \mu (P_a + P_{c1} + P_{c2} + P_{c3}) = 655,5\ kN/m \] \[ FSE = F_a/E_a \approx 1,62 \] M_tomb: \( 1215\ kN \cdot m \) 4 pontos M_estab: \( 5973\ kN \cdot m \) 4 pontos F_atrito: \( 655,5\ kN \) 3 pontos FS_tomb: \( 4,92 \) - 2 pontos FS_escor: \( 1,62 \) - 2 pontos Página 3 de 5 Assinatura: GABARITO Questão 3 (34 pontos): Para as seções abaixo representadas, determinar, em relação aos eixos indicados, os momentos de inércia \( I_x \) e \( I_y \), os raios de giração (\( r_x \) e \( r_y \)) e o produto de inércia (\( I_{xy} \)). \( I_x = 2 \frac{(1,2 \cdot 24)^3}{12} + \frac{10 \cdot 9^3}{12} - \frac{10 \cdot 7.5^3}{12} = 3544,7\ cm^4 \) \( I_y = \frac{24 \cdot 9 \cdot 12^3}{12} - \frac{3 \cdot 7.5 \cdot 10^3}{12} \approx 2081,2\ cm^4 \) \[ r_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}} \approx 6,5\ cm \] \[ r_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} \approx 4,98\ cm \] \[ I_{xy} = 0 \quad (eixos\ de\ simetria) \] \( I_x = \frac{15 \cdot 15^3}{3} - \frac{13.2 \cdot 13.2^3}{3} - (15^2 - 13.2^2)(15 - 4H)^2 \approx 1051,7\ cm^4 \) \( I_y = I_x \) \[ r_x = \sqrt{\frac{I_x}{A}} \approx 4.55\ cm \] \[ r_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}} \approx 4.55\ cm \] \[ I_{xy} = \left(\frac{15 \cdot 18\cdot(-3.5 + 3.1)}{\frac{(13.2 \cdot 18)^2}{4} - 3.5^2}\right) \approx -625,6\ cm^4 \] \( I_x: 3544.7\ cm^4 , 5\ pontos \) \( I_y: 2081,2\ cm^4 , 5\ pontos \) \( r_x: 6,5\ cm , 2\ pontos \) \( r_y: 4,98\ cm , 2\ pontos \) \( I_{xy}: \text{ZERO}\ ,,\ 3\ pontos \) \( I_x: 1051,7\ cm^4 , 5\ pontos \) \( I_y: 1051,7\ cm^4 , 5\ pontos \) \( r_x: 4,55\ cm , 2\ pontos \) \( r_y: 4,55\ cm , 2\ pontos \) \( I_{xy}: -625,6\ cm^4 ,,\ 4\ pontos \) Página 4 de 5 Assinatura: GABARITO Questão 4 (16 pontos): Determine, para a seção abaixo representada, os momentos de inércia \( I_{\max} \) e \( I_{\min} \) e os ângulos que as direções de máxima e mínima inércia formam com o eixo \( x \) positivo. Considere \( I_x \approx 31851\ cm^4 \), \( I_y \approx 1803\ cm^4 \), \( I_{xy} = 5040\ cm^4 \), e \( \theta > 0 \) no sentido anti-horário. \[ \tan 2\theta_{\max} = \left| \frac{I_{xy}}{I_x - I_y} \right| \approx \theta_{\max} = 9,27^\circ \] \[ \theta_{\min} = 80,7^\circ \] \( C = \frac{I_x + I_y}{2} = 16827\ cm^4 \) \[ R = \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2} \right)^2 + I_{xy}^2} \approx 15847\ cm^4 \] \[ I_{\max} = C + R \approx 32674\ cm^4 \] \[ I_{\min} = C - R \approx 980\ cm^4 \] \( I_{\max}: 32674\ cm^4 , 4\ pontos \) \( I_{\min}: 980\ cm^4 , 4\ pontos \) \( \theta_{\max}: 9,27\ graus , 4\ pontos \) \( \theta_{\min}: 80,7\ graus , 4\ pontos \) Página 5 de 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL TC023 – MECÂNICA GERAL II AVALIAÇÃO 1 – 26/04/2022 – TURMAS A/B/C/D/E PROF. RICARDO PIERALISI PROFA. AMANDA JAREK PROF. JOSÉ LUCAS SOBRAL MARQUES PROF. LUIZ ALKIMIN DE LACERDA PROF. RAMON MACEDO CORRÊA Nome: Assinatura: Matrícula: • A realização da avaliação é individual; • A solução das questões pode ser feita a lápis; • Todas as páginas de soluções devem ser assinadas; • As respostas solicitadas devem ser claramente indicadas; • A interpretação das questões é parte integrante da avaliação; • A organização e legibilidade das soluções é parte integrante da avaliação; • A solução das questões deve ser apresentada em sequência e com indicação clara. BOA SORTE! Questão 1 /15 Questão 2 /15 Questão 3 /15 Questão 4 /20 Questão 5 /15 Total /80 2 Gabarito Assinatura: Questão 1 (15 pontos): Uma passarela, que liga duas edificações afastadas de 15, 0 m, possui 3, 0 m de largura e deve suportar uma sobrecarga total de 10 kN/m2, já considerando seu peso próprio. A passarela será suspensa por 2 cabos com uma flecha de 3, 0 m. Determine a força normal máxima que tracionará o cabo e força horizontal do cabo. y(x) = 1 FH d 3d w(x) dx 4 dx, dy dx = 1 FH d w(x) dx e T(x) = Æ 1 1 ÙF 2 H + 3d w(x) dx 42 , onde w(x) é o carregamento solicitante e T(x) é a força de tração atuante no cabo. Tmáx kN 10 pontos FH kN 5 pontos Página 2 de 10 NY í 180,09 140,625 W - _ IOKN 7 1,5=15KN/m condições de contorno ylxt.ES/15dxdx p/ não y --0 ¥, -0 ¥, = -1m (15×+9) portanto : G- - Cz-0 YIN - _ Em (152×-2+4×+9) Assinatura: Página 3 de 10 p/ a- 7,5m y = 3m ylx) - _ Em FÉ) 3--1*(15*5)] Fm = 140,625k¥ Tmáx E: FH cosomá6 = ÇÍTNÁX p/ 7 = 7,5m ¥, = tgomáx tgomãx = 145 ×) FH tgomáx = 1115117,5) 140,625 Omãx - _ arctg /0,8) Omã7 = 38,66¥ aos 38,66=1*1%25 Tmáx= 180,09 k¥ Assinatura: Questão 2 (15 pontos): Para a seção transversal simétrica abaixo representada, determinar, em relação aos eixos indicados, as coordenadas (¯x e ¯y) do centroide. ¯x cm 5 pontos ¯y cm 10 pontos Página 4 de 10 y ^ { 2 - - - ↳ 1 se 3 te ³ 3cm / 75 4- / 7 10 12,970 E sai pela simetria 5-EFFY --2×116,5×3×3) -120×3×19,5 -13×15×10,5-110×3×1,5 2×3×3-1 20×3 t 15×3 + 10×3 g- = 1984,5--7 12,970cm 153 Assinatura: Questão 3 (15 pontos): Para a seção transversal da figura, determine os momentos de inércia (Ix e Iy) e o produto de inércia (Ixy) com relação aos eixos x e y indicados. Ix cm4 5 pontos Iy cm4 5 pontos Ixy cm4 5 pontos Página 6 de 10 • ³ 2 µ { 5888,01 1952,01 - 1728 Seção 1 Seção 2 II.= 1¥27 16×2×92 Ix, --2%2-163=682 , 67cm } Ix, = 2602,67cm " = Ixz Iyz = 1¥22? 10,67cm " IY , = 2×112-6>+16×2×32 Iy , = 97967cm " = Iyz IXY , = O Ixy ; 0+16×2×9 7 C-3) Ixy , = - 864cm " = Ixyz d- 7 = 2×2602,67-1682,67=5888,01 CMY Iy = 2×970,67-11967 = 1952,01cm " Ixy = - 1728cm" Assinatura: Questão 4 (20 pontos): Sabendo-se que as propriedades geométricas de uma determinada seção transversal são dadas por: Ix = 572, 83 cm4, Iy = 1355, 33 cm4 e Ixy = −675 cm4; determine os momentos de inércia Imáx e Imín e os ângulos que as direções de máxima e mínima inércia formam com o eixo x positivo. Para isso, considere que θ > 0 no sentido anti-horário. Imáx cm4 5 pontos Imín cm4 5 pontos θmáx graus 5 pontos θmín graus 5 pontos Página 8 de 10 1744,27 60,05° 183,89 -29,95° I. 7 = 572,83cm " Imín . C-R Iy - _ 1355,33cm" Imín - _ 964,08-780,19 Ixy = -675cm" Imín __ 183,89cm" E" tg20pz-IIxy-IFSEIIy-IX-z.mn 1-1 • ÷ ,? E ±; •"⇐ > tojhopz = 1675-1 ; I 11355,33-25-72,831 - - - - - - - - - - - - -00 A CIX , -Ixy) 2%2=59,90 Centro : -1×-2+-11=964,08 cm " OPZ -0min = 29,95¥ Raio : ↳ horário R-jf-I-x-IDZ-Ixy-20pz-20.pe 180º R = 780,19cm " 59,90+294=180 20psec 180-59,90 Imáx . _ CTR Imãx - _ 964,08+780,19 çPiimáx --60,05¥ Imãx - _ 1744,2730M¥ Assinatura: Questão 5 (15 pontos): Para o perfil de barragem de concreto abaixo representada, avaliar a estabilidade do mesmo quanto ao tombamento como corpo rígido em relação ao ponto A. Adote para o concreto um peso específico de γc = 25 kN/m3 e, para a água, γa = 10 kN/m3. Para isso, considere todos os esforços que estão apontados por flechas na figura tais como:empuxo, peso de água, peso do concreto e subpressão. Mestab. kN·m 5 pontos Mtomb. kN·m 5 pontos CST — 5 pontos Página 9 de 10 ⇒ 2 4 2 6186,67 2560 2,42 v1 Determinaror esforços DE"-191122¥-14×10) Empuxo - -8a-HN-nz.HN Axl - _ 320kW Phone 1400k¥, Subpressão - - Payne . 8×1=320KN 80 Mestab - _ Río 7(3×2+6) -11400×4 Pesotko __ 21×8*-10=80 Mestab . _ 6186,67kW .vn KN Assinatura: Página 10 de 10 Mtomb = Empuxo .} . 8 1- Subpressão .§ . 8 Mtomb = 320 . § + 320 . ¥ Mtomb = 2560 KN . m CST = 61-2%7=2 ,42$