Vibracoes Mecanicas - Singiresu Rao - 4a Edicao - Livro Completo

SINGIRESU RAO VIBRAÇÕES MECÂNICAS PEARSON Prentice Hall Companion Website SINGIRESU RAO VIBRAÇÕES MECÂNICAS QUARTA EDIÇÃO Tradução Arlete Simille Marques Revisão técnica Prof Dr José Juliano de Lima Junior Professor do Instituto de Engenharia Mecânica e do Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Itajubá PEARSON Prentice Hall São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela 2009 by Pearson Education do Brasil Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de nenhum modo ou por algum outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Pearson Education do Brasil Diretor editorial Roger Trimer Gerente editorial Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial Marcelo Franqozo Editora sênior Tatiana Pavanelli Valsi Editora Renata de Paula Truyts Preparação Renata G V de Assunção Revisão Maria Alice da Costa Capa Rafael Mazzo sobre projeto original Diagramação Globaltec Artes Gráficas Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Rao Singiresu S Vibrações mecânicas Singiresu S Rao revisor técnico José Juliano de Lima Junior tradução Arlete Simille São Paulo Pearson Prentice Hall 2008 Título original Mechanical vibrations 4 ed americana ISBN 9788576052005 1 Vibração Modelos matemáticos I Título 0811377 CDD6203 Índice para catálogo sistemático 1 Vibrações mecânicas Engenharia 6203 2008 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil uma empresa do grupo Pearson Education Av Ermano Marchetti 1435 CEP 05038001 São Paulo SP Fone 11 21788686 Fax 11 21788688 email vendaspearsonedcom Para Lord Sri Venkateswara Sumário Prefácio xvii Agradecimentos xx Lista de símbolos xxi CAPÍTULO 1 Fundamentos de vibrações 1 11 Observações preliminares 1 12 Breve história da vibração 1 121 Origens da vibração 1 122 De Galileu a Rayleigh 2 123 Contribuições recentes 4 13 Importância do estudo da vibração 5 14 Conceitos básicos de vibração 6 141 Vibração 6 142 Partes elementares de sistemas vibratórios 6 143 Grau de liberdade 6 144 Sistemas discretos e contínuos 7 15 Classificação de vibrações 8 151 Vibração livre e vibração forçada 8 152 Vibração não amortecida e amortecida 8 153 Vibração linear e não linear 9 154 Vibração determinística e aleatória 9 16 Procedimento de análise de vibrações 9 17 Elementos de mola 11 171 Associação de molas 12 18 Elementos de massa ou inércia 15 181 Associação de massas 15 19 Elementos de amortecimento 17 191 Construção de amortecedores viscosos 18 192 Associação de amortecedores 19 110 Movimento harmônico 21 1101 Representação vetorial de movimento harmônico 22 1102 Representação de movimento harmônico por números complexos 22 1103 Álgebra de números complexos 23 1104 Operações com funções harmônicas 23 1105 Definições e terminologia 24 111 Análise harmônica 26 1111 Expansão por série de Fourier 26 1112 Série de Fourier complexa 27 1113 Espectro de frequência 28 1114 Representações no domínio do tempo e da frequência 28 1115 Funções pares e ímpares 28 1116 Expansões em meiafaixa 29 1117 Cálculo numérico de coeficientes 30 112 Exemplos usando MATLAB 32 113 Programa em C 34 114 Programa em FORTRAN 34 115 Literatura de vibrações 35 Referências bibliográficas 35 Perguntas de revisão 36 Problemas 38 Exercícios de projeto 47 CAPÍTULO 2 Vibração livre de sistemas com um grau de liberdade 50 21 Introdução 50 22 Vibração livre de um sistema de translação não amortecido 51 221 Equação de movimento pela segunda lei do movimento de Newton 51 222 Equação de movimento por outros métodos 52 223 Equação de movimento de um sistema massamola em posição vertical 53 224 Solução 54 225 Movimento harmônico 54 23 Vibração livre de um sistema torcional não amortecido 60 231 Equação de movimento 60 232 Solução 61 24 Condições de estabilidade 63 25 Método da energia de Rayleigh 63 26 Vibração livre com amortecimento viscoso 66 261 Equação de movimento 66 262 Solução 66 263 Decremento logarítmico 68 264 Energia dissipada em amortecimento viscoso 70 265 Sistemas torcionais com amortecimento viscoso 71 27 Vibração livre com amortecimento Coulomb 74 271 Equação de movimento 74 272 Solução 74 273 Sistemas torcionais com amortecimento Coulomb 76 28 Vibração livre com amortecimento por histerese 77 29 Exemplos com a utilização do MATLAB 79 210 Programa em C 82 211 Programa em FORTRAN 82 Referências bibliográficas 82 Perguntas de revisão 83 Problemas 85 Exercícios de projeto 99 CAPÍTULO 3 Vibração excitada harmonicamente 101 31 Introdução 101 32 Equação de movimento 101 33 Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica 102 331 Resposta total 103 332 Fenômeno do batimento 104 34 Resposta de um sistema amortecido à força harmônica 105 341 Resposta total 107 342 Fator de qualidade e largura de banda 108 35 Resposta de um sistema amortecido a Ft F0eiωt 109 36 Resposta de um sistema amortecido a movimento harmônico de base 110 361 Força transmitida 111 362 Movimento relativo 111 37 Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo 113 38 Vibração forçada com amortecimento Coulomb 115 39 Vibração forçada com amortecimento por histerese 117 310 Movimento forçado com outros tipos de amortecimento 118 311 Autoexcitação e análise de estabilidade 119 3111 Análise de estabilidade dinâmica 119 3112 Instabilidade dinâmica causada por escoamento de fluido 120 312 Exemplos usando MATLAB 124 313 Programa em C 127 314 Programa em FORTRAN 127 Referências bibliográficas 127 Perguntas de revisão 128 Problemas 130 Exercícios de projeto 139 CAPÍTULO 4 Vibração sob condições forçantes gerais 140 41 Introdução 140 42 Resposta à força periódica geral 140 43 Resposta a uma força periódica de forma irregular 143 44 Resposta a uma força não periódica 144 45 Integral de convolução 145 451 Resposta a um impulso 145 452 Resposta a uma condição forçante geral 147 453 Resposta à excitação de base 147 46 Espectro de resposta 151 461 Espectro de resposta para excitação de base 152 462 Espectros de resposta a terremoto 154 463 Projeto para ambiente sujeito a choque 156 47 Transformadas de Laplace 157 48 Resposta a condições forçantes irregulares usando métodos numéricos 160 49 Exemplos usando MATLAB 163 410 Programas em C 166 4101 Resposta a uma força periódica arbitrária 166 4102 Resposta a uma função forçante arbitrária 167 411 Programas em FORTRAN 167 4111 Resposta a uma força periódica arbitrária 167 4112 Resposta a uma função forçante arbitrária 167 Referências bibliográficas 168 Perguntas de revisão 168 Problemas 170 Exercícios de projeto 176 CAPÍTULO 5 Sistemas com dois graus de liberdade 178 51 Introdução 178 52 Equações de movimento para vibração forçada 179 53 Análise da vibração livre de um sistema não amortecido 180 54 Sistema torcional 184 55 Acoplamento de coordenadas e coordenadas principais 186 56 Análise de vibração forçada 190 57 Sistemas semidefinidos 191 58 Autoexcitação e análise de estabilidade 192 59 Exemplos usando MATLAB 193 510 Programa em C 196 511 Programa em FORTRAN 196 Referências bibliográficas 196 Perguntas de revisão 197 Problemas 198 Exercícios de projeto 206 CAPÍTULO 6 Sistemas com vários graus de liberdade 207 61 Introdução 207 62 Modelagem de sistemas contínuos como sistemas com vários graus de liberdade 207 63 Utilização da segunda lei de Newton para deduzir equações de movimento 208 64 Coeficientes de influência 210 641 Coeficientes de influência de rigidez 211 642 Coeficientes de influência de flexibilidade 213 643 Coeficientes de influência de inércia 216 65 Expressões de energia potencial e energia cinética na forma matricial 217 66 Coordenadas generalizadas e forças generalizadas 217 67 Utilização de equações de Lagrange para deduzir equações de movimento 218 68 Equações de movimento de sistemas não amortecidos na forma matricial 220 69 Problema de autovalor 221 610 Solução do problema de autovalor 222 6101 Solução da equação característica ou polinomial 222 6102 Ortogonalidade de modos normais 224 6103 Autovalores repetidos 225 611 Teorema de expansão 226 612 Sistemas irrestritos 226 613 Vibração livre de sistemas não amortecidos 228 614 Vibração forçada de sistemas não amortecidos usando análise modal 229 615 Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso 232 616 Autoexcitação e análise de estabilidade 235 617 Exemplos utilizando MATLAB 236 618 Programas em C 240 619 Programas em FORTRAN 240 Referências bibliográficas 241 Perguntas de revisão 241 Problemas 243 Exercício de projeto 250 CAPÍTULO 7 Determinação de frequências naturais e formas modais 251 71 Introdução 251 72 Fórmula de Dunkerley 251 73 Método de Rayleigh 252 731 Propriedades do quociente de Rayleigh 253 732 Cálculo da frequência natural fundamental 253 733 Frequência fundamental de vigas e eixos 254 74 Método de Holzer 256 741 Sistemas torcionais 256 742 Sistemas massamola 257 75 Método de iteração matricial 258 751 Convergência para a frequência natural mais alta 259 752 Cálculo de frequências naturais intermediárias 259 76 Método de Jacobi 261 77 Problema padrão de autovalor 262 771 Decomposição de Choleski 263 772 Outros métodos de solução 263 78 Exemplos utilizando MATLAB 263 79 Programas em C 265 710 Programas em FORTRAN 266 Referências bibliográficas 266 Perguntas de revisão 267 Problemas 268 Exercícios de projeto 271 CAPÍTULO 8 Sistemas contínuos 272 81 Introdução 272 82 Vibração transversal de uma corda ou cabo 272 821 Equação de movimento 272 822 Condições iniciais e condições de contorno 273 823 Vibração livre de uma corda uniforme 273 824 Vibração livre de uma corda fixa em ambas as extremidades 274 825 Solução de uma onda em propagação 275 83 Vibração longitudinal de uma barra ou haste 276 831 Equação de movimento e solução 276 832 Ortogonalidade de funções normais 278 84 Vibração torcional de um eixo ou haste 280 85 Vibração lateral de vigas 282 851 Equação de movimento 282 852 Condições iniciais 283 853 Vibração livre 283 854 Condições de contorno 283 855 Ortogonalidade de funções normais 284 856 Vibração forçada 286 857 Efeito da força axial 287 858 Efeitos da inércia de rotação e da deformação por cisalhamento 289 859 Outros efeitos 291 86 Vibração de membranas 291 861 Equação de movimento 291 862 Condições iniciais e condições de contorno 292 87 Método de Rayleigh 292 88 O método de RayleighRitz 294 89 Exemplos utilizando MATLAB 295 810 Programa em C 296 811 Programa em FORTRAN 297 Referências bibliográficas 297 Perguntas de revisão 297 Problemas 299 Exercício de projeto 304 CAPÍTULO 9 Controle de vibração 305 91 Introdução 305 92 Nomograma de vibração e critérios de vibração 305 93 Redução da vibração na fonte 307 94 Balanceamento de máquinas rotativas 308 941 Balanceamento em um plano 308 942 Balanceamento em dois planos 309 95 Rodopio whirling de eixos rotativos 312 951 Equações de movimento 312 952 Velocidades críticas 313 953 Resposta do sistema 313 954 Análise de estabilidade 314 96 Balanceamento de motores alternativos 315 961 Forças desbalanceadas resultantes da variação da pressão dos gases 315 962 Forças desbalanceadas resultantes da inércia das partes móveis 316 963 Balanceamento de motores alternativos 317 97 Controle de vibração 318 98 Controle de frequências naturais 318 99 Introdução de amortecimento 318 910 Isolamento da vibração 320 9101 Sistema de isolamento da vibração com fundação rígida 320 9102 Isolamento entre a fonte de vibração e o ambiente 322 9103 Sistema de isolamento da vibração com fundação flexível 323 9104 Sistema de isolamento da vibração com fundação parcialmente flexível 324 9105 Isolamento contra choque 325 9106 Controle ativo de vibração 326 911 Absorvedores de vibração 327 9111 Absorvedor dinâmico de vibração nãoamortecido 327 9112 Absorvedor dinâmico de vibração amortecido 329 912 Exemplos usando MATLAB 331 913 Programa em C 334 914 Programa em FORTRAN 334 Referências bibliográficas 334 Sumário xiii Perguntas de revisão 335 Problemas 337 Projeto 343 CAPÍTULO 10 Medições de vibração e aplicações 344 101 Introdução 344 102 Transdutores 345 1021 Transdutores de resistência variável 345 1022 Transdutores piezelétricos 346 1023 Transdutores eletrodinâmicos 347 1024 Transdutor transformador diferencial linear variável 347 103 Sensores de vibração 348 1031 Transdutor de deslocamento 349 1032 Acelerômetro 349 1033 Transdutor de velocidade 350 1034 Distorção de fase 351 104 Instrumentos de medição de frequência 352 105 Excitadores de vibração 353 1051 Excitadores mecânicos 353 1052 Excitador eletrodinâmico 353 106 Análise de sinal 354 1061 Analisadores de espectro 355 1062 Filtro passafaixa 355 1063 Analisadores de largura de faixa percentual constante e analisadores de largura de faixa constante 356 107 Ensaio dinâmico de máquinas e estruturas 356 1071 Utilização de medições da forma operacional de deflexão 356 1072 Utilização de teste modal 357 108 Análise modal experimental 357 1081 Idéia básica 357 1082 O equipamento necessário 357 1083 Processador digital de sinal 358 1084 Análise de sinais aleatórios 359 1085 Determinação de parâmetros modais pelos picos observados 360 1086 Determinação de parâmetros modais pelo diagrama de Nyquist 362 1087 Medição de formas modais 363 109 Monitoração e diagnóstico de falha de máquinas 364 1091 Critério de severidade da vibração 364 1092 Técnicas de manutenção de máquinas 364 1093 Técnicas de monitoração prognóstica 365 1094 Técnicas de monitoração da vibração 366 1095 Sistemas de instrumentação 368 1096 Escolha de parâmetros de monitoração 369 1010 Exemplos usando MATLAB 369 Referências bibliográficas 370 Perguntas de revisão 371 Problemas 373 Exercícios de projeto 375 xiv Vibrações mecânicas CAPÍTULO 11 Métodos de integração numérica em análise de vibração 376 111 Introdução 376 112 Método de diferenças finitas 377 113 Método de diferença central para sistema com um grau de liberdade 378 114 Método de RungeKutta para sistemas com um grau de liberdade 379 115 Método de diferença central para sistemas com vários graus de liberdade 380 116 Método de diferenças finitas para sistemas contínuos 380 1161 Vibração longitudinal de barras 382 1162 Vibração transversal de vigas 384 117 Método de RungeKutta para sistemas com vários graus de liberdade 384 118 Método de Houbolt 386 119 Método de Wilson 388 1110 Método de Newmark 389 1111 Exemplos usando MATLAB 392 1112 Programas em C 393 1113 Programas em FORTRAN 394 Referências bibliográficas 394 Perguntas de revisão 396 Problemas APÊNDICE A Relações matemáticas 399 APÊNDICE B Deflexão em vigas e placas 401 APÊNDICE C Matrizes 403 APÊNDICE D Pares de transformadas de Laplace 406 APÊNDICE E Unidades 407 APÊNDICE F Introdução ao MATLAB 409 Respostas a problemas selecionados 413 Índice remissivo 420 Prefácio Esta obra é uma introdução à engenharia de vibrações para nível universitário A teoria os aspectos de computação e as aplicações das vibrações são apresentados do modo mais simples possível e ilustrados por um grande número de exemplos e problemas Enfatizamos diversas técnicas de análise por computador destacamos as explicações dos aspectos fundamentais e ressaltamos o significado físico e a interpretação que aproveitam o conhecimento prévio em mecânica adquirida no curso universitário As reações favoráveis e o incentivo de professores e estudantes deramnos o ímpeto para redigir esta edição Destacamos alguns pontos importantes Inúmeras perguntas de revisão auxiliam o aluno a rever e testar seu conhecimento Elas incluem perguntas de múltipla escolha com respostas curtas do tipo verdadeirofalso que envolvem ligar descrições relacionadas e perguntas com lacunas a preencher Apêndice com as idéias básicas da programação MATLAB Vários exemplos baseados em MATLAB são apresentados em todos os capítulos Programas de computador de uso geral em programação MATLAB C e FORTRAN com as aplicações constam em todos os capítulos para a solução de problemas de vibração Diversos problemas incluindo aqueles baseados na utilização de programação MATLAB em C e em FORTRAN são propostos ao final de cada capítulo para expor aos estudantes detalhes importantes de computação e programação Características Cada tópico de Vibrações mecânicas é independente todos os conceitos são totalmente explicados e as deduções são apresentadas com detalhes completos Os aspectos de computação são enfatizados por todo o livro Todos os capítulos contam com exemplos baseados em MATLAB Vários programas de computador interativos em MATLAB C e FORTRAN sendo que a maioria deles é apresentada na forma de subrotinas de uso geral também foram incluídos em todos os capítulos A intenção é que tais programas sejam utilizados pelos estudantes Tanto exemplos quanto problemas baseados na utilização dos vários programas de computador são disponibilizados em cada capítulo a fim de expor aos estudantes detalhes importantes de computação e de programação Contudo embora os programas tenham sido testados não podemos garantir sua exatidão A maioria dos livros didáticos discute isoladores absorvedores e balanceamento em locais diferentes Tendo em vista que uma das principais finalidades do estudo de vibrações é controlar a resposta à vibração todos os tópicos relacionados diretamente ao controle da vibração são apresentados no Capítulo 9 Os instrumentos de medição de vibrações como excitadores de vibração procedimentos de análise modal e monitoração de máquinas são apresentados no Capítulo 10 De maneira semelhante todos os métodos de integração numérica aplicáveis a sistemas com um ou vários graus de liberdade bem como a sistemas contínuos foram unificados no Capítulo 11 Citamos ainda características específicas de Vibrações mecânicas Mais de 200 exemplos ilustrativos acompanham a maioria dos tópicos Mais de 1000 problemas com suas respectivas soluções estão disponíveis no manual do professor no Companion Website do livro em inglês e com acesso exclusivo para professores Mais de 30 problemas de projeto são dados ao final de vários capítulos Mais de 70 programas de computador em MATLAB C e FORTRAN auxiliam os alunos na implementação numérica dos métodos discutidos no texto Informações biográficas sobre cientistas e engenheiros que contribuíram para o desenvolvimento da teoria das vibrações são apresentadas na página inicial de cada capítulo e dos apêndices Notação e unidades Foram usados o sistema de unidades SI e o sistema de unidades inglês nos exemplos e nos problemas Uma lista de símbolos com as unidades associadas ao SI e ao sistema inglês é apresentada após os agradecimentos Uma breve discussão de unidades SI aplicadas à área das vibrações é dada no Apêndice E Foram usadas setas sobre símbolos para representar vetores coluna e colchetes para indicar matrizes Conteúdo Vibrações mecânicas está organizado em 11 capítulos e 6 apêndices O material deste livro permite opções flexíveis para diferentes tipos de cursos sobre vibrações Por exemplo para um curso avançado com a duração de um semestre os Capítulos 1 a 5 e 9 e partes dos Capítulos 6 7 8 e 10 podem ser usados O curso pode ter uma orientação para computador com a inclusão do Capítulo 11 no lugar do Capítulo 8 O Capítulo 1 começa com uma breve discussão sobre os aspectos históricos e a importância das vibrações Os conceitos básicos e a terminologia utilizados em análise de vibrações são apresentados A análise da vibração livre de sistemas transacionais e torcionais não amortecidos com um grau de liberdade é dada no Capítulo 2 Os efeitos do amortecimento viscoso de Coulomb e por histerese também são discutidos A resposta harmônica de sistemas com um grau de liberdade é considerada no Capítulo 3 O Capítulo 4 trata da resposta de um sistema com um grau de liberdade sob funções forçantes gerais São discutidos também os papéis desempenhados pela integral de convolução transformadas de Laplace e métodos numéricos O conceito de espectro de resposta também é apresentado nesse capítulo A vibração livre e forçada de sistemas com dois graus de liberdade é considerada no Capítulo 5 A vibração autoexcitada e a estabilidade do sistema também são discutidas O Capítulo 6 apresenta a análise da vibração de sistemas com vários graus de liberdade Métodos matriciais de análise são usados para a apresentação da teoria O procedimento da análise modal é descrito para a solução de problemas de vibração forçada Vários métodos para determinar as frequências naturais de sistemas discretos são esquematizados no Capítulo 7 Os métodos de Dunkerley Rayleigh Holzer e Jacobi a iteração de matrizes são igualmente discutidos A análise de vibração de sistemas contínuos incluindo cordas barras eixos vigas e membranas é dada no Capítulo 8 Do mesmo modo os métodos de Rayleigh e RayleighRitz para determinar as frequências naturais aproximadas são estudados O Capítulo 9 discute os vários aspectos do controle de vibração incluindo os problemas de eliminação isolamento e absorção O balanceamento de máquinas rotativas e alternativas e o rodopio de eixos também são considerados Os instrumentos de medição de vibração excitadores de vibração e instrumentos de análise de sinais são os tópicos do Capítulo 10 Finalmente o Capítulo 11 apresenta técnicas de integração numérica para determinar a resposta dinâmica de sistemas discretos e contínuos Os métodos de diferença central de RungeKutta Houbolt Wilson e Newmark são resumidos e ilustrados S S RAO Companion Website No Companion Website deste livro wwwprenhallcomraobr professores e estudantes têm acesso a materiais adicionais que facilitam tanto a exposição das aulas quanto o processo de aprendizagem Para professores Galeria de imagens Apresentações em PowerPoint Manual do professor Esses materiais são de uso exclusivo dos professores e estão protegidos por senha Para ter acesso a eles os professores que adoram o livro devem entrar em contato com seu representante Pearson ou enviar um email para universitariospearsonedcom Para estudantes Exercícios adicionais Lista de programas em linguagem MATLAB C e FORTRAN Respostas às perguntas de revisão Capítulos 12 13 e 14 do livro Original em Inglês Esses capítulos encontramse protegidos Para acessálos é necessário inserir a senha 345rao no local indicado no Companion Website do livro Agradecimentos Gostaria de expressar meu apreço aos meus alunos e membros do corpo docente cujos comentários ajudaram a melhorar o livro Sou muito grato às seguintes pessoas por terem oferecido seus comentários sugestões e idéias Richard Alexander Texas AM University C W Bert University of Oklahoma Raymond M Brach University of Notre Dame Alfonso DiazJimenez Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Colômbia George Doyle University of Dayton Hamid Hamidzadeh South Dakota State University H N Hashemi Northeastern University Zhikun Hou Worchester Polytechnic Institute J Richard Houghton Tennessee Technological University Faryar Jabbari University of California Irvine Robert Jeffers University of Connecticut Richard Keltie North Carolina State University J S Lamancusa Pennsylvania State University Harry Law Clemson University Robert Leonard Virginia Polytechnic Institute and State University James Li Columbia University Sameer Madanshetty Boston University M G Prasad Stevens Institute of Technology F P J Rimrott University of Toronto Subhash Sinha Auburn University Daniel Stutts University of MissouriRolla Massoud Tavakoli Georgia Institute of Technology Theodore Terry Lehigh University Chung Tsui University of Maryland College Park Alexander Vakakis University of IllinoisUrbana Champaign Chuck Van Karsen Michigan Technological University Aleksandra Vinogradov Montana State University K W Wang Pennsylvania State University William Webster GMI Engineering and Management Institute Gostaria ainda de agradecer à Purdue University por ter me dado permissão de utilizar o Boilermaker Special no Problema 291 Meus sinceros agradecimentos ao Dr Qing Liu exaluno de pósgraduação na University of Miami por ter me ajudado a escrever alguns dos programas em MATLAB e C Por fim agradeço à minha esposa Kamala às minhas filhas Sridevi e Shobha e à minha neta Siriveena Rosa sem sua paciência incentivo e apoio esta edição poderia não ter sido concluída SS RAO sraomiamiedu Lista de Símbolos Símbolo Significado Unidades inglesas Unidades SI a a0 a1 a2 constantes comprimentos aij coeficiente de flexibilidade inlb mN a matriz de flexibilidade inlb mN A área in2 m2 A A0 A1 constantes b b1 b2 constantes comprimentos B B1 B2 constantes B peso de balanceamento lb N c c coeficiente de amortecimento viscoso lbsecin Nsm c c0 c1 c2 constantes c velocidade de onda insec ms cc constante de amortecimento viscoso crítico lbsecin Nsm ci constante de amortecimento do iésimo amortecedor lbsecin Nsm cij coeficiente de amortecimento lbsecin Nsm c matriz de amortecimento lbsecin Nsm C C1 C2 C1 C2 Constantes d diâmetro dimensão in m D diâmetro in m D matriz dinâmica sec2 s2 e base de logaritmos naturais excentricidade vetores unitários paralelos às direções x e y E Módulo de Young lbin2 Pa Ex valor esperado de x f frequência linear Hz Hz ff força por unidade de comprimento lbin Nm impulso unitário lbsec Ns F Fd força lb N F0 amplitude de força Ft lb N Ff FT força transmitida lb N Fi força que age sobre a iésima massa lb N F vetor de força lb N F Impulso lbsec Ns g aceleração devido à gravidade insec2 ms2 gt função resposta a impulso G módulo de elasticidade transversal lbin2 Nm2 h constante de amortecimento por histerese lbin Nm Hiw função resposta em frequência i 1 I Momento de inércia de área in4 m4 I matriz identidade Im parte imaginária de j inteiro J momento de inércia polar in4 m4 J J0 J1 J2 momento de inércia de massa lbinsec2 kgm2 k k constante elástica lbin Nm ki constante elástica da iésima mola lbin Nm kt constante elástica torcional lbinrad Nmrad kij coeficiente de rigidez lbin Nm k matriz de rigidez lbin Nm l li comprimento in m m m massa lbsec2in kg mi iésima massa lbsec2in kg mij coeficiente de massa lbsec2in kg m matriz de massa lbsec2in kg M Massa lbsec2in kg M momento fletor lbin Nm Mp Ml M12 Torque lbin Nm M0 amplitude de M1t lbin Nm Símbolo Significado Unidades inglesas Unidades SI n um inteiro n número de graus de liberdade N força normal lb N N número total de passos de tempo p pressão lbin2 Nm2 px função densidade de probabilidade de x Px função distribuição de probabilidade de x P força tensão lb N qj jésima coordenada generalizada q vetor de deslocamentos generalizados q vetor de velocidades generalizadas Qj jéssima força generalizada r razão de frequências wwn vetor raio in m Re parte real de Rτ função de autocorrelação R resistência elétrica ohm ohm R função de dissipação de Rayleigh lbins Nms R quociente de Rayleigh 1sec2 1s2 S coeficiente exponencial raiz da equação Sa Sd Sv espectro de aceleração deslocamento velocidade Sxω espectro de x t tempo sec s ti iésima estação de tempo sec s T torque lbin Nm T energia cinética inlb J Ti energia cinética da iésima massa inlb J Tr razão de transmissibilidade uij um elemento da matriz U U Ui deslocamento axial in m U energia potencial inlb J U peso desbalanceado lb N U matriz triangular superior v v0 velocidade linear insec ms V força de cisalhamento lb N V energia potencial inlb J Vi energia potencial da iésima mola inlb J w w1 w2 ωi deflexões transversais in m w0 valor de w em t 0 in m w0 valor de w em t 0 insec ms wn nésimo modo de vibração W peso de uma massa lb N W energia total inlb J W deflexão transversal in m Wi valor de W em t ti in m Wx uma função de x x y z coordenadas cartesianas deslocamentos in m x0 x0 valor de x em t 0 in m x0 x0 valor de x em t t0 insec ms xj deslocamento da jésima massa in m xj valor de x em t tj in m xj valor de x em t tj insec ms xh parte homogênea de xt in m xp parte particular de xt in m x vetor de deslocamentos in m xi valor de x em t ti in m xi valor de x em t ti insec ms xi valor de x em t ti insec2 ms2 xit iésimo modo X amplitude de xt in m Xj amplitude de xjt in m Xi iésimo vetor modal in m Xji iésimo componente do jésimo modo in m Símbolo Significado Unidades inglesas Unidades SI X matriz modal in m X r résima aproximação de uma forma modal y deslocamento de base in m Y amplitude de yt in m z deslocamento relativo x y in m Z amplitude de zt in m Ziω impedância mecânica lbin Nm α ângulo constante β ângulo constante β constante de amortecimento por histerese γ peso específico lbin3 Nm3 δ decremento logarítmico δ1 δ2 deflexões in m δ static deflexão in m δij delta de Kronecker determinante F incremento em F lb N x incremento em x in m t incremento no tempo t sec s W energia dissipada em um ciclo inlb J ε uma pequena quantidade ε deformação ζ fator de amortecimento θ constante deslocamento angular θi iésimo deslocamento angular rad rad θ0 valor de θ em t 0 rad rad θ0 valor de θ em t 0 radsec rads Θ amplitude de θt rad rad Θi amplitude de θit rad rad λ autovalor 1ω2 sec2 s2 λ matriz de transformação μ viscosidade de um fluido lbsecin2 kgms μ coeficiente de atrito μx valor esperado de x ρ densidade de massa lbsec2in4 kgm3 η fator de perda σx desvio padrão de x σ tensão lbin2 Nm2 τ período de oscilação tempo sec s τ tensão de cisalhamento lbin2 Nm2 Φ Ângulo ângulo de fase rad rad Φi ângulo de fase no iésimo modo rad rad ω frequência de oscilação radsec rads ωi iésima frequência natural radsec rads ωn frequência natural radsec rads ωd frequência de vibração amortecida radsec rads Índices Operações Símbolo Significado Símbolo Significado cri valor crítico d eq valor equivalente dt i iésimo valor d2 L plano esquerdo dt2 max valor máximo vetor coluna n correspondete à frequência natural matriz R plano direito 1 inversa de O valor específico ou de referência T transposta de t torcional incremento em l transformada de Laplace de l1 transformada inversa de Laplace de Massas molas e amortecedores equivalentes Massas equivalentes m Massa M ligada à extremidade da mola de massa m meq M m3 m M Viga em balanço de massa m que suporta uma massa M em sua extremidade meq M 023 m m M Viga simplesmente apoiada de massa m que suporta uma massa M no meio meq M 05 m J0 Massas translacional e rotacional acopladas meq m J0R2 Jeq J0 mR2 m1 m2 m3 Massas sobre uma barra articulada meq1 m1 l2l12 m2 l3l12 m3 Molas equivalentes Barra sob carga axial l comprimento A área da seção transversal keq EAl Barra cônica sob carga axial D d diâmetros das extremidades keq πEDd4l Mola helicoidal sob carga axial d diâmetro do arame D diâmetro médio do enrolamento n número de espiras ativas keq Gd48nD3 Viga fixafixa com carga no meio keq 192EIl3 Viga em balanço com carga na extremidade keq 3EIl3 Viga simplesmente apoiada com carga no meio keq 48EIl3 Molas em série 1keq 1k1 1k2 1kn Molas em paralelo keq k k kn θ Eixo oco sob torção l comprimento D diâmetro externo d diâmetro interno keq πGk D4 d4 Amortecedores viscosos equivalentes h Movimento relativo entre superfícies paralelas A área da placa menor ceq μAh Amortecedor a pistão movimento axial de um pistão dentro de um cilindro ceq μ 3πD3ld 1 2dD Amortecedor torcional ceq πμD2l h2d πμD332h Atrito seco amortecimento de Coulomb fN força de atrito ω frequência X amplitude de vibração ceq 4fNπωX Galileu Galilei Galileo Galilei 15641642 um astrônomo filósofo e professor de matemática italiano das Universidades de Pisa e Pádua tornouse em 1609 o primeiro homem a apontar um telescópio para o céu Ele escreveu o primeiro tratado de dinâmica moderna em 1590 e seu trabalho sobre as oscilações de um pêndulo simples e a vibração de cordas são de significância fundamental para a teoria de vibrações Fotografia por cortesia de Dirk J Struik A Concise history of mathematics 2ª edição revisada Nova York Dover Publications Inc 1948 CAPÍTULO UM Fundamentos de vibrações 11 Observações preliminares O assunto de vibrações é apresentado aqui de uma maneira relativamente simples O capítulo começa com uma breve história desse tema e continua com uma apreciação de sua importância As várias etapas envolvidas na análise de vibrações de um sistema de engenharia são delineadas e as definições e conceitos essenciais de vibração são apresentados Em seguida é apresentado o conceito de análise harmônica que pode ser utilizada para a análise de movimentos periódicos gerais Não há nenhuma tentativa de tratamento exaustivo no Capítulo 1 os capítulos subsequentes desenvolverão muitas das idéias com mais detalhes 12 Breve história da vibração 121 Origens da vibração As pessoas começaram a se interessar pela vibração quando foram descobertos os primeiros instrumentos musicais provavelmente ápitos ou tambores Desde então elas têm aplicado engenhosidade e investigação crítica ao estudo do fenômeno da vibração Embora certas regras muito definidas fossem observadas em relação à arte da música já na antigüidade elas dificilmente poderiam ser consideradas uma ciência A música era muito desenvolvida e muito apreciada pelos chineses hindus japoneses e talvez pelos egípcios desde 4000 aC 11 Desde aproximadamente 3000 aC instrumentos de corda semelhantes a harpas apareciam nas paredes das tumbas egípcias 12 Na realidade o Museu Britânico British Museum exibe uma harpa com uma caixa de ressonância em forma de cabeça de touro encontrada em um painel esculpido em uma tumba real na cidade de Ur datada de 2600 aC É provável que os instrumentos musicais de corda tenhamse originado do arco do caçador uma arma preferida pelos exércitos do antigo Egito Um dos instrumentos de corda mais primitivos denominado nanga datado de 1500 aC pode ser visto no British Museum Nosso sistema musical atual é baseado na antiga civilização grega Desde a antigüidade músicos e filósofos pesquisavam as regras e leis da produção do som usavamnas para aperfeiçoar instrumentos musicais e transmitiamnas de geração a geração O filósofo e matemático grego Pitágoras 582507 aC é considerado o primeiro a investigar sons musicais com base científica Figura 11 Entre outras coisas Pitágoras realizou experimentos com uma corda vibratória utilizando um instrumento simples denominado monocórdio No monocórdio mostrado na Figura 12 os cavaletes de madeira denominados 1 e 3 são fixos O cavalete 2 é móvel e a tensão na corda é mantida constante pelo peso pendurado em uma de suas extremidades Pitágoras observou que se duas cordas iguais de comprimentos diferentes forem sujeitas à mesma tensão a mais curta emite uma nota mais aguda além disso se o comprimento da corda mais curta for a metade do comprimento da mais longa a mais curta emitirá uma nota uma oitava acima da outra Todavia Pitágoras não deixou nenhum registro escrito de seu trabalho Figura 13 Embora o conceito de tonalidade já estivesse desenvolvido na época de Pitágoras sua relação com a freqüência de vibração do corpo sonoro não era entendida Na verdade a relação entre tonalidade e frequência não foi entendida até a época de Galileu no século XVI dC Por volta de 350 aC Aristóteles escreveu tratados sobre música e som fazendo observações como a voz é mais doce do que o som de instrumentos e o som da flauta é mais doce do que o som da lira Em 320 aC Aristóxenes aluno de Aristóteles e também musicista escreveu uma obra em três volumes intitulada Elementos de harmonia Esses livros talvez sejam os mais antigos disponíveis sobre o assunto da música escritos diretamente pelo autor Euclides por volta de 300 aC escreveu brevemente sobre música sem qualquer referência à natureza física do som em um tratado chamado Introdução aos harmônicos Nenhuma outra contribuição científica ao som foi feita pelos gregos Parece que os romanos derivaram seu conhecimento de música completamente dos gregos com exceção de Vitrúvio famoso arquiteto romano que por volta de 20 aC escreveu sobre as propriedades acústicas de teatros Seu tratado intitulado De architectura libri decem ficou extraviado durante séculos e só foi redescoberto no século XVI dC Aparentemente não houve nenhum desenvolvimento nas teorias do som e da vibração durante cerca de dezesseis séculos após a obra de Vitrúvio A China sofreu muitos terremotos na antigüidade Zhang Heng que trabalhou como historiador e astrônomo no segundo século percebeu a necessidade de desenvolver um instrumento para medir terremotos com precisão Em 132 dC ele inventou o primeiro sismógrafo do mundo para medir a intensidade de terremotos 13 14 Esse sismógrafo foi fabricado em fino bronze fundido tinha um diâmetro de oito chi um chi é igual a 0237 m e o formato de uma jarra de vinho Figura 14 Dentro da jarra havia um mecanismo que consistia em pêndulos cercados por um grupo de oito mecanismos de alavanca apontados para oito direções Oito figuras de dragão cada um com uma bola na boca estavam posicionados ao redor do sismógrafo Embaixo de cada dragão havia sapos com a boca aberta Um forte terremoto em qualquer direção inclinaria o pêndulo nessa mesma direção e acionaria a alavanca na cabeça de dragão Isso abriria a boca do animal e liberava a bola de bronze que caía dentro da boca do sapo com um som metálico Assim o sismógrafo permitia que o pessoal da monitoração soubesse a hora e a direção em que o terremoto ocorreu 122 De Galileu a Rayleigh Galileu Galilei 15641642 é considerado o fundador da ciência experimental moderna Na verdade o século XVII dC costuma ser considerado o século do gênio visto que os fundamentos da filosofia e da ciência modernas foram lançados durante esse período Galileu teve a idéia de estudar o comportamento de um pêndulo simples observando os movimentos pendulares de uma lâmpada em uma igreja de Pisa Certo dia entediado durante um sermão Galileu estava olhando para o teto da igreja Uma lâmpada que balançava chamou sua atenção Ele começou a medir o período dos movimentos pendulares da lâmpada com sua própria pulsação e para seu espanto constatou que o período era independente da amplitude das oscilações Isso o levou a realizar mais experimentos com o pêndulo simples Em Discourses concerning two new sciences publicado em 1638 Galileu discutiu corpos vibratórios Ele descreveu a dependência entre a frequência e vibração e o comprimento de um pêndulo simples juntamente com o fenômeno das vibrações solidárias ressonância Os escritos de Galileu também indicam que ele tinha um claro entendimento da relação entre freqüência comprimento tensão e densidade de uma corda vibratória esticada 15 Todavia a primeira explicação correta publicada sobre a vibração de cordas foi dada pelo matemático e teólogo francês Marin Mersenne 15881648 em seu livro Harmonicorum liber publicado em 1636 Mersenne também mediu pela primeira vez a frequência de vibração de uma corda longa e por essa medição previu a freqüência de uma corda mais curta que tivesse a mesma densidade e tensam Mersenne é considerado por muitos o pai da acústica Frequentemente atribuise a ele a descoberta das leis das cordas vibratórias porque ele publicou os resultados em 1636 dois anos antes de Galileu Contudo o crédito pertence a Galileu visto que as leis foram escritas muitos anos antes mas sua publicação foi proibida por ordens do Inquisidor de Roma até 1638 O trabalho de Galileu inspirou a fundação da Academia del Cimento em Florença em 1657 logo em seguida foram instituídas a Royal Society of London em 1662 e a Paris Academie des Sciences em 1666 Mais tarde Robert Hooke 16351703 também fez experimentos para determinar a relação entre a tonalidade e a frequência de vibração de uma corda Contudo foi Joseph Sauveur 16531716 quem investigou esses experimentos minuciosamente e cunhou a palavra acústica para a ciência do som 16 Sauveur na França e John Wallis 16161703 na Inglaterra observaram independentemente o fenômeno de formas modais e constataram que certos pontos de uma corda esticada em vibração permanecem sem movimento algum e outros pontos intermediários apresentam um movimento violento Sauveur denominou os primeiros nós e os outros ventres Foi constatado que as frequências de tais vibrações eram mais altas em comparação com a freqüência associada à vibração simples da corda sem nenhum nó De fato constatouse que as frequências mais altas eram múltiplos inteiros da frequência de vibração simples e Sauveur deu o nome harmônicas às frequências mais altas e frequência fundamental à frequência de vibração simples Ele também constatou que uma corda pode vibrar com várias de suas harmônicas presentes ao mesmo tempo Além disso observou o fenômeno de batimentos quando dois tubos de órgão de tonalidades ligeiramente diferentes soavam ao mesmo tempo Em 1700 Sauveur calculou por um método um pouco dúbio a frequência de um corda esticada pela medida da curvatura de seu ponto médio Sir Isaac Newton 16421727 publicou sua obra monumental Philosophiae naturalis principia mathematica em 1686 na qual descreveu a lei da gravitação universal bem como as três leis do movimento e outras descobertas A segunda lei do movimento de Newton é usada rotineiramente em livros modernos sobre vibrações para derivar as equações de movimento de um corpo em vibração A solução teórica dinâmica do problema da corda vibratória foi descoberta pelo matemático inglês Brook Taylor 16851731 em 1713 que também apresentou o famoso teorema de Taylor para séries infinitas A freqüência natural de vibração obtida pela equação de movimento derivada por Taylor concordava com os valores experimentais observados por Galileu e Mersenne O procedimento adotado por Taylor foi aperfeiçoado com a introdução de derivadas parciais nas equações de movimento FIGURA 13 Pitágoras como musicista Reproduzido com a permissão de D E Smith History of Mathematics v 1 Nova York Dover Publications Inc 1958 FIGURA 14 O primeiro sismógrafo do mundo inventado na China em 132 dC Reproduzido com a permissão de R Taton Editor History of science Nova York Basic Books Inc 1957 por Daniel Bernoulli 17001782 Jean DAlembert 17171783 e Leonard Euler 17071783 A possibilidade de uma corda vibrar com várias de suas harmônicas presentes ao mesmo tempo sendo o deslocamento de qualquer ponto em qualquer instante igual à soma algébrica dos deslocamentos para cada harmônica foi provada por meio das equações dinâmicas de Daniel em suas memórias publicadas pela Berlin Academy Academia de Berlim em 1755 17 Essa característica foi denominada princípio da coexistência de pequenas oscilações que na terminologia moderna é o princípio da superposição Esse princípio mostrou ser o mais valioso no desenvolvimento da teoria de vibrações e levou à possibilidade de expressar qualquer função arbitrária isto é qualquer forma inicial da corda usando uma série infinita de senos e cosenos Em razão dessa implicação DAlembert e Euler duvidaram da validade desse princípio Contudo a validade desse tipo de expansão foi provada por J B J Fourier 17681830 em sua obra Analytical theory of heat Teoria analítica do calor em 1822 A solução analítica da corda vibratória foi apresentada por Joseph Lagrange 17361813 em suas memórias publicadas pela Academia de Turim Turin Academy em 1759 Em seu estudo Lagrange admitiu que a corda era composta por um número finito de partículas de massas idênticas espaçadas igualmente e estabeleceu a existência de um número de frequências independentes igual ao número de partículas de massa Considerandose o número de partículas infinito constatouse que as frequências resultantes eram as mesmas frequências harmônicas da corda estirada O método para estabelecer a equação diferencial do movimento de uma corda denominada equação de onda apresentado na maioria dos livros modernos sobre a teoria de vibração foi desenvolvida primeiro por DAlembert em suas memórias publicadas pela Academia de Berlim Berlin Academy em 1750 As vibrações de vigas delgadas apoiadas e engastadas de várias maneiras foram estudadas pela primeira vez por Euler em 1744 e Daniel Bernoulli em 1751 Essa abordagem ficou conhecida como a teoria de EulerBernoulli ou da viga delgada Charles Coulomb realizou estudos teóricos e experimentais em 1784 sobre as oscilações torcionais de um cilindro de metal suspenso por um arame Figura 15 Admitindo que o torque resistente do arame torcido é proporcional ao ângulo de torção ele derivou a equação de movimento para a vibração torcional do cilindro suspenso Integrando a equação de movimento ele constatou que o período de oscilação é independente do ângulo de torção Há uma história interessante relacionada com o desenvolvimento da teoria da vibração de placas 18 Em 1802 o cientista alemão E F F Chladni 17561824 desenvolveu um método de espalhar areia sobre uma placa vibratória para determinar suas formas modais e observou a beleza e a complexidade das formas modais das placas vibratórias Em 1809 a Academia Francesa French Academy convidou Chladni a dar uma demonstração de seus experimentos Napoleão Bonaparte que foi à reunião ficou muito impressionado e doou a quantia de três mil francos à Academia como prêmio para a primeira pessoa que produzisse uma teoria matemática satisfatória para a vibração de placas Perto da data de encerramento do concurso em outubro de 1811 havia somente uma candidata Sophie Germain Porém Lagrange que era um dos juízes percebeu um erro na derivação da equação diferencial de movimento de Sophie A academia abriu novamente o concurso com uma nova data de encerramento em outubro de 1813 Sophie Germain candidatouse novamente e apresentou a forma correta da equação diferencial Todavia a Academia não lhe concedeu o prêmio porque os juízes queriam uma justificativa física para as premissas que ela adotou na derivação O concurso foi aberto mais uma vez Em sua terceira tentativa Sophie Germain finalmente ganhou o prêmio em FIGURA 15 Dispositivo de Coulomb para testes de vibração torcional Reproduzido com a permissão de S P Timoshenko History of strength of materials História da resistência dos materiais Nova York McGrawHill Book Company Inc 1953 1815 embora os juízes não estivessem totalmente satisfeitos com sua teoria Na verdade mais tarde foi constatado que a equação diferencial de Sophie estava correta mas as condições de contorno estavam erradas As condições de contorno corretas para a vibração de placas foram estabelecidas em 1850 por G R Kirchhoff 18241887 Entremetns o problema da vibração de uma membrana retangular flexível que é importante para o entendimento do som emitido por tambores foi resolvido pela primeira vez por Simeon Poisson 17811840 A vibração de uma membrana circular foi estudada por R F A Clebsch 18331872 em 1862 Depois disso foram realizados estudos de vibração em vários sistemas mecânicos e estruturais usuais Em 1877 Lord Baron Rayleigh publicou seu livro sobre a teoria do som 19 esse livro é considerado um clássico no assunto do som e da vibração até hoje Notável entre as muitas contribuições de Rayleigh é o método para determinar a frequência fundamental de vibração de um sistema conservativo fazendo uso do princípio da conservação de energia agora conhecido como método de Rayleigh Esse método mostrou ser uma técnica útil para a solução de difíceis problemas de vibração Uma extensão do método que pode ser usado para determinar várias frequências naturais é conhecida como o método de RayleighRitz 123 Contribuições recentes Em 1902 Frahm investigou a importância do estudo da vibração torcional no projeto de eixos de hélices de navios a vapor O absorvedor de vibração dinâmica que envolve a adição de um sistema massamola secundário para eliminar as vibrações de um sistema principal foi também proposto por Frahm em 1909 Entre os contribuintes modernos para a teoria de vibrações são notáveis os nomes de Stodola de Laval Timoshenko e Mindlin Aurel Stodola 18591943 contribuiu para o estudo da vibração de vigas placas e membranas Ele desenvolveu um método para analisar vigas vibratórias que também é aplicável a pás de turbinas Observando que todo tipo importante de motor de acionamento dá origem a problemas de vibração C G P de Laval 18451913 apresentou uma solução prática para o problema da vibração de um disco rotativo desbalanceado Após notar falhas em eixos de aço em turbinas de alta velocidade ele usou uma vara de pescar de bambu como eixo para montar o rotor e observou que esse sistema não somente eliminava a vibração do rotor desbalanceado como também suportava altas velocidades 110 Stephen Timoshenko 18781972 apresentou uma teoria aperfeiçoada de vibração de vigas que ficou conhecida como a teoria de Timoshenko ou de viga grossa que considera os efeitos da inércia de rotação e da deformação por cisalhamento Uma teoria semelhante foi apresentada por R D Mindlin para a análise de vibração de placas grossas que inclui os efeitos da inércia de rotação e da deformação por cisalhamento Há muito foi reconhecido que muitos problemas básicos de mecânica incluindo os de vibrações são não lineares Embora os tratamentos lineares comumente adotados sejam bastante satisfatórios para a maioria das finalidades não são adequados em todos os casos Em sistemas não lineares podem ocorrer fenômenos que são teoricamente impossíveis em sistemas lineares A teoria matemática de vibrações não lineares começou a desenvolverse com o trabalho de Poincaré e Lyapunov no final do século XIX dC Poincaré desenvolveu o método da perturbação em 1892 em conexão com a solução aproximada de problemas de mecânica celeste não lineares Lyapunov lançou as bases da teoria moderna de estabilidade em 1892 que é aplicável a todos os tipos de sistemas dinâmicos Após 1920 os estudos realizados por Duffing e van der Pol resultaram nas primeiras soluções definidas da teoria de vibrações não lineares e chamaram a atenção para sua importância na engenharia Nos últimos 30 anos autores como Minorsky e Stoker empenharamse em coletar e reunir em monografias os principais resultados referentes às vibrações não lineares Grande parte das aplicações práticas de vibração não linear envolvia a utilização de algum tipo de abordagem da teoria da perturbação Nayfeh 111 fez um levantamento de métodos modernos da teoria da perturbação Características aleatórias estão presentes em diversos fenômenos como terremotos ventos transporte de mercadorias em veículos sobre rodas e ruído de foguetes e motores a jato Tornouse necessário elaborar conceitos e métodos de análise de vibração para esses efeitos aleatórios Embora Einstein considerasse o movimento browniano um tipo particular de vibração aleatória já em 1905 nenhuma aplicação foi investigada até 1930 A introdução da função correlação por Taylor em 1920 e da densidade espectral por Wiener e Khinchin no início da década de 1930 abriram novas perspectivas para o progresso da teoria de vibrações aleatórias Artigos publicados por Lin e Rice entre 1943 e 1945 pavimentaram o caminho para a aplicação de vibrações aleatórias a problemas práticos de engenharia As monografias de Crandall e Mark e Robson sistematizaram o conhecimento existente da teoria de vibrações aleatórias 112 113 Até 30 anos atrás estudos de vibrações mesmo os que tratavam de complexos sistemas de engenharia eram realizados com a utilização de modelos grosseiros com apenas alguns graus de liberdade Todavia o advento de computadores digitais de alta velocidade na década de 1950 possibilitou o tratamento de sistemas de moderada complexidade e a geração de soluções aproximadas em forma semidefinida recorrendo a métodos clássicos de solução porém com a utilização de avaliação numérica de certos termos que não podem ser expressos em forma fechada O desenvolvimento simultâneo do método do elemento finito habilitou os engenheiros a usar computadores digitais para realizar análises numericamente detalhadas de vibrações de sistemas mecânicos veiculares e estruturais complexos que apresentam milhares de graus de liberdade 114 Embora o método do elemento finito tenha recebido esse nome apenas recentemente o conceito já era usado havia vários séculos Por exemplo matemáticos da antigüidade determinaram a circunferência de um círculo aproximandoa a um polígono no qual cada lado conforme a notação moderna pode ser denominado um elemento finito O método do elemento finito que conhecemos hoje foi apresentado por Turner Clough Martin e Topp em conexão com a análise de estruturas de aeronaves 115 A Figura 16 mostra a idealização do elemento finito da carroceria de um ônibus 116 13 Importância do estudo da vibração A maioria das atividades humanas envolve vibração de uma forma ou de outra Por exemplo ouvimos porque nossos tímpanos vibram e vemos porque as ondas de luz sofrem vibração A respiração está associada à vibração dos pulmões e andar envolve movimento oscilatório periódico de pernas e mãos Falamos devido ao movimento oscilatório da laringe e da língua 117 Os primeiros estudiosos da área de vibração concentraram seus esforços no entendimento dos fenômenos naturais e no desenvolvimento de teorias matemáticas para descrever a vibração de sistemas físicos Mais recentemente muitas investigações foram motivadas pelas aplicações da vibração na área da engenharia como projeto de máquinas fundações estruturas motores turbinas e sistemas de controle A maioria dos motores de acionamento tem problemas de vibração em razão do desbalanceamento inerente aos motores O desequilíbrio pode deverse a falha de projeto ou manutenção ruim O desbalanceamento de motores a diesel por exemplo pode causar ondas terrestres de potência suficiente para causar incômodo em áreas urbanas As rodas de algumas locomotivas podem afastarse mais de um centímetro do trilho em altas velocidades devido ao desbalanceamento Vibrações em turbinas causam espetaculares falhas mecânicas Os engenheiros ainda não conseguiram evitar as falhas que resultam das vibrações das pás e do rotor das turbinas Naturalmente as estruturas projetadas para apoiar máquinas centrífugas pesadas como motores e turbinas ou máquinas alternativas como motores a vapor e a gás e bombas recíprocas também estão sujeitas a vibrações Em todas essas situações a estrutura ou componente da máquina sujeito à vibração pode falhar devido à fadiga do material resultante da variação cíclica da tensão induzida Além do mais a vibração causa desgaste mais rápido de peças de máquina como rolamentos e engrenagens e também gera ruído excessivo Em máquinas a vibração pode afrouxar ou soltar elementos de fixação como porcas Em processos de corte de metais a vibração pode causar trepidação o que resulta em mau acabamento superficial FIGURA 16 Idealização de elemento finito da carroceria de um ônibus 116 Reproduzido com a permissão 1974 Society of Automotive Engineers Inc Sempre que a frequência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincidir com a frequência da excitação externa ocorre um fenômeno conhecido como ressonância que resulta em deflexões excessivas e falha A literatura está repleta de relatos de falhas de sistemas causados por ressonância e vibração excessiva de componentes e sistemas Figura 17 Devido ao efeito devastador que as vibrações podem causar às máquinas e estruturas o teste de vibrações 118 tornouse um procedimentopadrão no projeto e desenvolvimento da maioria dos sistemas de engenharia Figura 18 Em muitos sistemas de engenharia um ser humano age como parte integral do sistema A transmissão de vibração a seres humanos resulta em desconforto e perda de eficiência A vibração e o ruído gerado por motores causam aborrecimento às pessoas e às vezes danos à propriedade Figura 19 A vibração de painéis de instrumentos pode provocar mau funcionamento ou dificultar a leitura dos medidores 119 Assim uma das finalidades importantes de estudar vibração é reduzila por meio do projeto adequado de máquinas e de seus suportes Por isso o engenheiro mecânico projeta o motor ou a máquina de modo a minimizar o desbalanceamento ao passo que o engenheiro de estruturas tenta projetar a estrutura de suporte de modo a assegurar que o efeito do desbalanceamento não seja danoso 120 Apesar de seus efeitos danosos a vibração pode ser utilizada a favor em várias aplicações industriais e de consumo Na verdade as aplicações de equipamentos vibratórios aumentaram consideravelmente nos últimos anos 121 Por exemplo a vibração entra em ação em esteiras transportadoras tremonhas peneiras compactadores máquinas de lavar escovas de dentes elétricas brocas odontológicas relógios e unidades de massagem elétrica todos equipamentos vibratórios A vibração também é usada em bateestacas testes FIGURA 17 Ponte Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento A ponte foi inaugurada em 1 de julho de 1940 e caiu em 7 de novembro de 1940 Foto Farquharson Historical Photography Collection University of Washington Libraries FIGURA 18 Teste de vibração do ônibus espacial Enterprise Cortesia da NASA vibratórios de materiais processos vibratórios de acabamento e circuitos eletrônicos na filtragem de frequências indesejadas Figura 110 Constatouse que a vibração melhora a eficiência de certos processos de usinagem fundição forjamento e soldagem Ela é empregada na simulação de terremotos em pesquisas geológicas e também para realizar estudos no projeto de reatores nucleares 14 Conceitos básicos de vibração 141 Vibração Qualquer movimento que se repita após um intervalo de tempo é denominado vibração ou oscilação O balançar de um pêndulo e o movimento de uma corda dedilhada são exemplos típicos de vibração A teoria de vibração trata do estudo de movimentos oscilatórios de corpos e as forças associadas a eles 142 Partes elementares de sistemas vibratórios Em geral um sistema vibratório inclui um meio para armazenar energia potencial mola ou elasticidade um meio para armazenar energia cinética massa ou inércia e um meio de perda gradual de energia amortecedor A vibração de um sistema envolve a transferência alternada de sua energia potencial para energia cinética e de energia cinética para energia potencial Se o sistema for amortecido certa quantidade de energia é dissipada em cada ciclo de vibração e deve ser substituída por uma fonte externa se for preciso manter um regime permanente de vibração Como exemplo considere a vibração do pêndulo simples mostrado na Figura 111 Digamos que o peso do pêndulo de massa m seja liberado após a aplicação de um deslocamento angular θ Na posição 1 a velocidade do peso e por consequência sua energia cinética é zero Porém ele tem uma energia potencial de magnitude mgl1 cos θ em relação à posição 2 no plano de referência Visto que a força gravitacional mg induz um torque mgl sen θ ao redor do ponto O o peso começa a oscilar para a esquerda partindo da posição 1 Isso lhe dá certa aceleração angular na direção horária e no instante em que ele alcança a posição 2 toda a sua energia potencial será convertida em energia cinética Por consequência o peso não parará na posição 2 mas continuará a oscilar até a posição 3 Contudo ao passar pela posição média 2 um torque no sentido antihorário começa a agir sobre o peso devido à gravidade e provoca uma desaceleração A velocidade do peso reduzse a zero na posição extrema esquerda A essa altura toda a energia cinética do peso será convertida em energia potencial Mais uma vez devido ao torque da gravidade a massa continua a adquirir uma velocidade no sentido antihorário Por consequência ela inicia a oscilação no sentido contrário com velocidade cada vez maior e passa pela posição média novamente Esse processo continua a repetirse e o pêndulo terá movimento oscilatório Contudo na prática a magnitude de oscilação θ diminui gradativamente e à certa altura o pêndulo pára devido à resistência amortecimento oferecida pelo meio circundante ar Isso significa que certa quantidade de energia é dissipada em cada ciclo de vibração devido ao amortecimento pelo ar 143 Graus de liberdade O número mínimo de coordenadas independentes requeridas para determinar completamente as posições de todas as partes de um sistema a qualquer instante define o grau de liberdade do sistema O pêndulo simples mostrado na Figura 111 bem como cada um dos sistemas mostrados na Figura 112 representa um sistema com apenas um grau de liberdade Por exemplo o movimento do pêndulo simples Figura 111 pode ser definido em termos do ângulo θ ou em termos das coordenadas cartesianas x e y Se as coordenadas x e y forem usadas para descrever o movimento devese reconhecer que essas coordenadas não são independentes Elas estão relacionadas uma com a outra pela relação x2 y2 l2 onde l é o comprimento constante do pêndulo Assim qualquer uma das coordenadas pode descrever o movimento do pêndulo Nesse exemplo constatamos que a escolha de θ como a coordenada independente será mais conveniente do que a escolha de x ou y Para o cursor mostrado na Figura 112a a coordenada angular θ ou a coordenada x podem ser usadas para descrever o movimento Na Figura 112b a coordenada linear x pode ser utilizada para especificar o movimento No caso do sistema torcional barra longa com um disco pesado na extremidade mostrado na Figura 112c a coordenada angular θ pode ser empregada para descrever o movimento FIGURA 19 Aborrecimento causado por vibração e ruído Reproduzido com a permissão de Sound and vibration fevereiro de 1997 Acoustical Publications Inc FIGURA 110 Processo vibratório de acabamento Reproduzido por cortesia de Society of Manufacturing Engineers 1964 The Tool and Manufacturing Engineer Alguns exemplos de sistemas de dois e três graus de liberdade são mostrados nas figuras 113 e 114 respectivamente A Figura 113a mostra um sistema de duas massas e duas molas que é descrito pelas duas coordenadas lineares x1 e x2 A Figura 113b denota um sistema de dois rotores cujo movimento pode ser especificado em termos de θ1 e θ2 O movimento do sistema mostrado na Figura 113c pode ser descrito completamente por X e θ ou por x y e X No último caso x e y são limitadas porque x2 y2 l2 onde l é uma constante Nos sistemas mostrados nas figuras 114a e 114c as coordenadas xi i 1 2 3 e θi i 1 2 3 podem ser usadas respectivamente para descrever o movimento No caso do sistema mostrado na Figura 114b θi i 1 2 3 especifica as posições das massas mi i 1 2 3 Um método alternativo para descrever esse sistema é em termos de xi e yi i 1 2 3 porém nesse caso as restrições xi2 yi2 li2 i 1 2 3 têm de ser consideradas As coordenadas necessárias para descrever o movimento de um sistema constituem um conjunto de coordenadas generalizadas As coordenadas generalizadas normalmente são denotadas por q1 q2 e podem representar coordenadas cartesianas ou não cartesianas 144 Sistemas discretos e contínuos Uma grande quantidade de sistemas práticos pode ser descrita usando um número finito de graus de liberdade como os sistemas simples mostrados nas figuras 111 a 114 Alguns sistemas em especial os que envolvem elementos FIGURA 113 Sistemas com dois graus de liberdade FIGURA 114 Sistemas com três graus de liberdade FIGURA 115 Uma viga em balanço um sistema com um número infinito de graus de liberdade molas e amortecedores finitos concentrados Em geral obtêmse resultados mais precisos aumentandose o número de massas molas e amortecedores isto é aumentando o número de graus de liberdade 15 Classificação de vibrações Vibrações podem ser classificadas de várias maneiras Apresentamos a seguir algumas das classificações importantes 151 Vibração livre e vibração forçada Vibração livre Se um sistema após uma perturbação inicial continuar a vibrar por conta própria a vibração resultante é conhecida como vibração livre Nenhuma força externa age sobre o sistema A oscilação de um pêndulo simples é um exemplo de vibração livre Vibração forçada Se um sistema estiver sujeito a uma força externa muitas vezes uma força repetitiva a vibração resultante é conhecida como vibração forçada A oscilação que surge em máquinas como motores a diesel é um exemplo de vibração forçada Se a frequência da força externa coincidir com uma das frequências naturais do sistema ocorre uma condição conhecida como ressonância e o sistema sofre oscilações perigosamente grandes Falhas de estruturas como edifícios pontes turbinas e asas de aviões foram associadas à ocorrência de ressonância 152 Vibração não amortecida e amortecida Se nenhuma energia for perdida ou dissipada por atrito ou outra resistência durante a oscilação a vibração é conhecida como vibração não amortecida Todavia se qualquer energia for perdida dessa maneira ela é denominada vibração amortecida Em muitos sistemas físicos a quantidade de amortecimento é tão pequena que pode ser desprezada para a maioria das finalidades de engenharia Contudo considerar o amortecimento tornase extremamente importante na análise de sistema vibratórios próximos à ressonância 153 Vibração linear e não linear Se todos os componentes básicos de um sistema vibratório a mola a massa e o amortecedor comportaremse linearmente a vibração resultante é conhecida como vibração linear Contudo se qualquer dos elementos se comportar não linearmente a vibração é denominada vibração não linear As equações diferenciais que comandam o comportamento de sistemas vibratórios lineares e não lineares são lineares e não lineares respectivamente Se a vibração for linear o princípio da superposição é válido e as técnicas matemáticas de análise são bem desenvolvidas Para vibração não linear o princípio da superposição não é válido e as técnicas de análise são menos bem conhecidas Uma vez que todos os sistemas vibratórios tendem a comportarse não linearmente com o aumento da amplitude de oscilação é bom conhecer vibrações não lineares ao lidar com sistemas vibratórios na prática 154 Vibração determinística e aleatória Se o valor ou magnitude da excitação força ou movimento que está agindo sobre um sistema vibratório for conhecido a qualquer dado instante a excitação é denominada determinística A vibração resultante é conhecida como vibração determinística Em alguns casos a excitação é não determinística ou aleatória o valor da excitação em dado instante não pode ser previsto Nesses casos um grande número de registros da excitação pode exibir alguma regularidade estatística É possível estimar médias como os valores médios e valores médios ao quadrado da excitação Exemplos de excitações aleatórias são a velocidade do vento a aspereza de uma estrada e o movimento do solo durante terremotos Se a excitação for aleatória a vibração resultante é denominada vibração aleatória No caso de vibração aleatória a resposta vibratória do sistema também é aleatória só pode ser descrita em termos de quantidades estatísticas A Figura 116 mostra exemplos de excitações determinísticas e aleatórias 16 Procedimento de análise de vibrações Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as variáveis como as excitações entradas e respostas saídas são dependentes do tempo Em geral a resposta de um sistema vibratório depende das condições iniciais bem como das excitações externas A maioria dos sistemas vibratórios encontrados na prática são muito complexos e é impossível considerar todos os detalhes para uma análise matemática Somente as características mais importantes são consideradas na análise para prever o comportamento do sistema sob condições de entradas especificadas Muitas vezes o comportamento global do sistema pode ser determinado considerando até mesmo um modelo simples do sistema físico complexo Assim a análise de um sistema vibratório normalmente envolve modelagem matemática obtenção de equações governantes solução das equações e interpretação dos resultados Etapa 1 Modelagem matemática A finalidade da modelagem matemática é representar todos os aspectos importantes do sistema com o propósito de obter as equações matemáticas ou analíticas que governam o comportamento do sistema O modelo matemático deve incluir detalhes suficientes para conseguir descrever o sistema em termos de equações sem tornálo muito complexo O modelo matemático pode ser linear ou não linear dependendo do comportamento dos componentes do sistema Modelos lineares permitem soluções rápidas e são simples de manipular contudo modelos não lineares às vezes revelam certas características do sistema que não podem ser previstas usando modelos lineares Assim é preciso ter uma boa capacidade de discernimento em termos de engenharia para propor um modelo matemático adequado de um sistema vibratório Às vezes o modelo matemático é aperfeiçoado gradativamente para obter resultados mais precisos Nessa abordagem em primeiro lugar é usado um modelo muito grosseiro ou elementar para terse uma idéia rápida do comportamento global de sistema Na seqüência o modelo é refinado com a inclusão de mais componentes eou detalhes de modo que o comportamento do sistema possa ser observado mais de perto Para ilustrar o procedimento de refinamento usado em modelagem matemática considere o martelo de forjar mostrado na Figura 117a O martelo de forjar consiste em um suporte um martelo de queda conhecido como pilão ou martelopilão uma bigorna e um bloco de base A bigorna é um bloco maciço de aço no qual o material é forjado até a forma desejada pelos golpes repetidos do martelopilão A bigorna normalmente é montada sobre um coxim elástico para reduzir a transmissão de vibração para o bloco de base e suporte 122 Para uma primeira aproximação suporte bigorna coxim bloco de base e solo são modelados como um sistema com um único grau de liberdade como mostra a Figura 117b Para refinar a aproximação os pesos do suporte e da bigorna e o peso do bloco de base são representados separadamente por um modelo com dois graus de liberdade como mostra a Figura 117c Podese refinar ainda mais o modelo considerando impactos excêntricos do martelopilão que provocam movimentos verticais e de balanço rotação em cada uma das massas mostradas na Figura 117c no plano do papel FIGURA 116 Excitações determinística e aleatória a Uma excitação determinística periódica b Uma excitação aleatória Força Tempo Força Tempo a Uma excitação determinística periódica b Uma excitação aleatória governantes entre elas a segunda lei do movimento de Newton o princípio de DAlembert e o princípio da conservação da energia Etapa 3 Solução das equações governantes As equações de movimento devem ser resolvidas para determinar a resposta do sistema vibratório Dependendo da natureza do problema podemos usar uma das seguintes técnicas para determinar a solução métodos padronizados para resolver equações diferenciais métodos que utilizam transformadas de Laplace métodos matriciais¹ e métodos numéricos Se as equações governantes forem não lineares raramente podem ser resolvidas na forma fechada Além do mais a solução de equações diferenciais parciais é muito mais elaborada do que a de equações diferenciais ordinárias Métodos numéricos que envolvem computadores podem ser usados para resolver as equações Todavia será difícil tirar conclusões gerais sobre o comportamento do sistema usando resultados de computador Etapa 4 Interpretação dos resultados A solução das equações governantes fornece os deslocamentos velocidades e acelerações das várias massas do sistema Esses resultados podem ser interpretados com uma clara visão da finalidade da análise e das possíveis implicações dos resultados no projeto EXEMPLO 11 Modelo matemático de uma motocicleta A Figura 118a mostra uma motocicleta com um motociclista Desenvolva uma seqüência de três modelos matemáticos do sistema para investigar vibrações no sentido vertical Considere a elasticidade dos pneus a elasticidade e o amortecimento das longarinas no sentido vertical as massas das rodas e a elasticidade amortecimento e massa do motociclista Solução Começamos com o modelo mais simples e o refinamos gradativamente Quando são usados os valores equivalentes da massa rigidez e amortecimento do sistema obtemos um modelo com um único grau de liberdade da motocicleta com um motociclista como indicado na Figura 118b Nesse modelo a rigidez equivalente keq inclui a rigidez dos pneus longarinas e motociclista A constante de amortecimento equivalente ceq engloba o amortecimento das longarinas e do motociclista A massa equivalente abrange as massas das rodas do corpo do veículo e do motociclista Esse modelo pode ser refinado representando as massas das rodas a elasticidade dos pneus e a elasticidade e amortecimento das longarinas em separado como mostra a Figura 118c Nesse modelo a massa do corpo do veículo mv e a massa do motociclista mr são mostradas como uma massa única m mr Quando são consideradas a elasticidade como a constante elástica kr e o amortecimento como constante de amortecimento cp do motociclista podese obter o modelo refinado mostrado na Figura 118d Observe que os modelos mostrados nas figuras 118b a d não são únicos Por exemplo combinando as constantes elásticas de ambos os pneus as massas de ambas as rodas e as constantes elásticas e de amortecimento de ambas as longarinas como quantidades únicas podese obter o modelo mostrado na Figura 118e em vez do mostrado na Figura 118c ¹ As definições e operações básicas da teoria matricial são dadas no Apêndice A Molas reais são não lineares e seguem a Equação 11 apenas até certa deformação Quando a deformação ultrpassa certo valor após o ponto A na Figura 119 a tensão ultrapassa o limite de escoamento do material e a relação forçadeformação tornase não linear 123 124 Em muitas aplicações práticas admitimos que as deflexões são pequenas e usamos a relação linear na Equação 11 Ainda que a relação forçadeflexão de uma mola seja não linear como mostra a Figura 120 freqüentemente nós a aproximamos como linear usando um processo de linearização 124 125 Para ilustrar o processo de linearização admitimos que a carga de equilíbrio estático F que age sobre a mola causa uma deflexão de x Se uma força incremental ΔF for adicionada a F a mola sofre uma deflexão equivalente a uma quantidade adicional Δx A nova força da mola F ΔF pode ser expressa usando expansão em série de Taylor ao redor da posição de equilíbrio estático x como F ΔF Fx Δx Fx dFdxx Δx 12 d2Fdx2x Δx2 13 Para valores pequenos de Δx os termos de derivadas de ordem superior podem ser desprezados para obter F ΔF Fx dFdxx Δx 14 Visto que F Fx podemos expressar ΔF como ΔF kΔx 15 onde k é a constante elástica linearizada em x dada por k dFdxx Podemos usar a Equação 15 por simplicidade porém às vezes o erro envolvido na aproximação pode ser muito grande Elementos elásticos como vigas também comportamse como molas Por exemplo considere uma viga em balanço com uma massa m na extremidade como mostrado na Figura 121 Admitimos por simplicidade que a massa da viga é desprezível em comparação com a massa m Pela resistência dos materiais 126 sabemos que a deflexão estática da viga na extremidade livre é dada por δst Wl3 3EI 16 onde W mg é o peso da massa m E é o módulo de Young e I é o momento de inércia da seção transversal da viga Como conseqüência a constante elástica é k W δst 3EI l3 17 Resultados semelhantes podem ser obtidos para vigas com extremidades em diferentes condições FIGURA 118 Motocicleta com um motociclista um sistema físico e modelo matemático 17 Elementos de mola Uma mola linear é um tipo de elo mecânico cuja massa e amortecimento são de modo geral considerados desprezíveis Uma força é desenvolvida na mola sempre que houver um movimento relativo entre suas duas extremidades A força da mola é proporcional à quantidade de deformação e é dada por F kx 11 onde F é a força da mola x é a deformação deslocamento de uma extremidade em relação a outra e k é a rigidez da mola ou constante elástica Se representarmos F e x em um gráfico obteremos uma linha reta de acordo com a Equação 11 O trabalho realizado U na deformação de uma mola é armazenado como deformação ou energia potencial na mola e é dado por U 12 kx2 12 Índices t pneu w roda s longarina v veículo r motociclista eq equivalente Motociclista Longarina Longarina Pneu Roda meq mv mr ks cs cs ks ks cw mw mw kt kt kf cr ms mw mw mr 2mw 2kt 2ks 2cs Vibrações mecânicas Tensão Limite de escoamento A Deformação Força F Limite de escoamento A Deformação x FIGURA 119 Não linearidade além do limite de proporcionalidade Força F F Fx F ΔF Fx Δx F Fx dF dx k x Deformação x x x Δx FIGURA 120 Processo de linearização k 3EI l3 E A I a Sistema atual m m b Modelo com um único grau de liberdade FIGURA 121 Viga em balanço com massa na extremidade As fórmulas dadas no Apêndice B podem ser usadas para determinar as constantes elásticas de vigas e placas 171 Associação de molas Em muitas aplicações práticas várias molas lineares são usadas em associação Essas molas podem ser associadas em uma única mola equivalente como indicado a seguir Caso 1 Molas em paralelo Para derivar uma expressão para a constante elástica equivalente de molas ligadas em paralelo considere as duas molas mostradas na Figura 122a Quando é aplicada uma carga W o sistema sofre uma deflexão estática δst como mostra a Figura 122b Então o diagrama de corpo livre representado na Figura 122c fornece a equação de equilíbrio W k1 δst k2 δst 18 Se keq é a constante elástica equivalente para a associação das duas molas então para a mesma deflexão estática δst temos W keqδst 19 As equações 18 e 19 resultam em keq k1 k2 110 Em geral se tivermos n molas com constantes elásticas k1 k2 kn em paralelo então podese obter a constante elástica equivalente keq keq k1 k2 kn 111 Caso 2 Molas em série Em seguida obteremos uma ex pressão para a constante elástica equivalente de molas ligadas em série considerando as duas molas mostradas na Figura 123a Sob a ação de uma carga W as molas 1 e 2 sofrem alongamentos δ1 e δ2 respectivamente como mostra a Figura 123b O alongamento total ou deflexão estática do sistema δst é dado por δst δ1 δ2 112 Visto que ambas as molas estão sujeitas à mesma força W temos o equilíbrio mostrado na Figura 123c W k1 δ1 W k2 δ2 113 Se keq denotar a constante elástica equivalente então para a mesma deflexão estática W keq δst 114 As equações 113 e 114 dão k1 δ1 k2 δ2 keq δst a b c k1 k2 k1 k2 k1k2 FIGURA 122 Molas em paralelo k1 δ1 k1 k2 δ1 δ2 δst FIGURA 123 Molas em série ou δ1 keqδst k1 e δ2 keqδst k2 115 Substituindo esses valores de δ1 e δ2 na Equação 112 obtemos keqδst keqδst δst k1 k2 isto é 1 1 1 keq k1 k2 116 A Equação 116 pode ser generalizada para o caso de n molas em série 1 1 1 1 keq k1 k2 kn 117 Em certas aplicações as molas estão ligadas a componentes rígidos como polias alavancas e engrenagens Nesses casos podese determinar uma constante elástica equivalente usando equivalência de energia como ilustrado no Exemplo 15 EXEMPLO 12 k equivalente de um sistema de suspensão A Figura 124 mostra o sistema de suspensão de um vagão ferroviário de carga com um arranjo de molas em paralelo Determine a constante elástica equivalente da suspensão se cada uma das três molas helicoidais for fabricada em aço com um módulo de elasticidade transversal G 80 x 109 Nm2 FIGURA 124 Arranjo em paralelo de molas em um vagão ferroviário de carga Cortesia de Buckeye Steel Castings Company e tiver cinco espiras efetivas diâmetro médio do enrolamento D 20 cm e diâmetro do arame d 2 cm Solução a rigidez de cada mola helicoidal é dada por d4G 0024 80 x 109 k 400000 Nm 8D3n 80235 Consulte a fórmula na capa interna Uma vez que as três molas são idênticas e paralelas a constante elástica equivalente do sistema de suspensão é dada por keq 3k 3400000 1200000 Nm EXEMPLO 13 Constante elástica torcional de um eixo de um propulsor a hélice Determine a constante elástica torcional do eixo de hélice em aço mostrado na Figura 125 Solução Precisamos considerar os segmentos 12 e 23 do eixo como uma associação de molas Pela Figura 125 podese verificar que o torque induzido em qualquer seção transversal do eixo como AA ou BB é igual ao torque aplicado à hélice T Por consequência as elasticidades molas correspondentes aos dois segmentos 12 e 23 devem ser consideradas como molas em série As constantes elásticas dos segmentos 12 e 23 do eixo kt12 e kt23 são dadas por kt12 GJ12 l12 GπD412 d412 32l12 80 x 109π034 024 322 255255 x 106 Nmrad kt23 GJ23 l23 GπD423 d423 32l23 80 x 109π0254 0154 323 89012 x 106 Nmrad Já que as molas estão em série a Equação 116 resulta em kt12 kt23 255255 10689012 x 106 k1eq kt12 kt23 255255 x 106 89012 x 106 65997 x 106 Nmrad Vibrações mecânicas FIGURA 125 Eixo de um propulsor a hélice EXEMPLO 14 k equivalente de um tambor de içamento Um tambor de içamento equipado com um cabo de aço é montado na extremidade de uma viga em balanço como mostrado na Figura 126a Determine a constante elástica equivalente do sistema quando o comprimento de suspensão do cabo é l Admita que o diâmetro efetivo da seção transversal do cabo é d e que o módulo de Young da viga e do cabo é E Solução A constante elástica da viga em balanço é dada por 3EI 3E 1 Eat3 kb at3 4b3 12 4b3 E1 A rigidez do cabo sujeito a carregamento axial é AE πd2E kr 4l l E2 Visto que tanto o cabo quanto a viga em balanço experimentam a mesma carga W como ilustra a Figura 126b eles podem ser modelados como molas em série como mostrado na Figura 126c A constante elástica equivalente keq é dada por 1 1 1 4b3 4l keq kb kr Eat3 πd2E ou k eq E πat3 d24 E3 4 7rd2b3 lat3 EXEMPLO 15 k equivalente de um guindaste A lança AB do guindaste mostrado na Figura 127a é uma barra de aço uniforme de comprimento de 10 m e área da seção transversal de 2500 mm2 Um peso W é suspenso enquanto o guindaste permanece estacionário O cabo CDEBF é feito de aço e tem uma área de seção transversal de 100 mm2 Desprezando o efeito do cabo CDEB determine a constante elástica equivalente do sistema na direção vertical a b c d FIGURA 126 Tambor de içamento Solução A constante elástica de mola equivalente pode ser determinada usando a equivalência de energias potenciais dos dois sistemas Visto que a base do guindaste é rígida o cabo e a lança podem ser considerados fixos nos pontos F e A respectivamente Além disso o efeito do cabo CDEB é desprezível como consequência podemos admitir que o peso W age no ponto B como mostrado na Figura 127b Um deslocamento vertical x do ponto B provocará uma deformação de x2 x cos 45 na mola k2 lança e de x1 x cos 90 θ na mola k1 cabo O comprimento do cabo FB l1 é dado pela Figura 127b l12 32 102 2310 cos 135 151426 l1 123055 m O ângulo θ satisfaz a relação l12 32 2l13 cos θ 102 cos θ 08184 θ 350736 FIGURA 127 Guindaste suspendendo uma carga A energia potencial total U armazenada nas molas k1 e k2 pode ser expressa pela Equação 12 como U 12 k1x cos 452 12 k2x cos 90 θ2 E1 onde k1 A1E1l1 100 x 106207 x 109 123055 16822 x 106 Nm e k2 A2E2l 2500 x 106207 x 10910 51750 x 107 Nm Uma vez que a mola equivalente na direção vertical sofre uma deformação x a energia potencial da mola equivalente Ueq é dada por Ueq 12 keqx2 E2 Se fizermos U Ueq obtemos a constante elástica equivalente do sistema como keq 264304 x 106 Nm 18 Elementos de massa ou inércia Admitese que o elemento de massa ou inércia é um corpo rígido pode ganhar ou perder energia cinética sempre que a velocidade do corpo mudar Pela segunda lei do movimento de Newton o produto da massa por sua aceleração é igual à força aplicada à massa Trabalho é igual à força multiplicada pelo deslocamento na direção da força e o trabalho realizado sobre uma massa é armazenado na forma de energia cinética da massa Na maioria dos casos temos de usar um modelo matemático para representar o sistema vibratório real e de modo geral sempre há vários modelos possíveis A finalidade da análise muitas vezes determina qual é o modelo matemático adequado Uma vez escolhido o modelo os elementos de massa ou inércia do sistema podem ser identificados com facilidade Por exemplo considere novamente a viga em balanço com uma massa na extremidade mostrada na Figura 121a Para uma análise rápida e de razoável precisão a massa e o amortecimento da viga podem ser desprezados o sistema pode ser modelado como um sistema massamola como mostrado na Figura 121b A massa na extremidade m representa o elemento de massa e a elasticidade da viga denota a rigidez da mola Em seguida considere um edifício de vários andares sujeito a um terremoto Admitindo que a massa da estrutura seja desprezível em comparação com a massa dos pisos o edifício pode ser modelado como um sistema com vários graus de liberdade como mostrado na Figura 128 As massas nos vários níveis de pisos representam os elementos de massa e as elasticidades dos membros verticais denotam os elementos de mola 181 Associação de massas Em muitas aplicações práticas várias massas aparecem associadas Para uma análise simples podemos substituir essas massas por uma única massa equivalente como indicado a seguir 127 Caso 1 Massas de translação ligadas por uma barra rígida Consideremos as massas ligadas a uma barra rígida articulada em uma extremidade como mostrado na Figura 129a Podemos supor que a massa equivalente está localizada em qualquer ponto ao longo da barra Para sermos específicos supomos que a localização da massa equivalente seja a da massa m1 As velocidades das massas m2 x2 e m3 x3 podem ser expressas em termos da velocidade da massa m1 x1 se admitirmos pequenos deslocamentos angulares para a barra como ṡx2 l2l1 ṡx1 ṡx3 l3l1 ṡx1 118 e ṡxeq ṡx1 119 Igualando a energia cinética do sistema de três massas à do sistema de massa equivalente obtemos 12 m1 ṡx12 12 m2 ṡx22 12 m3 ṡx32 12 meq ṡxeq2 120 Vibrações mecânicas a b FIGURA 128 Idealização de um edifício de vários andares como um sistema com múltiplos graus de liberdade Em vista das Equações 118 e 119 essa equação dá meq m1 l2l12 m2 l3l12 m3 121 Caso 2 Massas de translação e rotacionais acopladas Considere a massa m com velocidade de translação ṡx acoplada a outra massa de momento de inércia de massa J0 com uma velocidade rotacional ṡθ como no arranjo de cremalheira e pinhão mostrado na Figura 130 Essas duas massas podem ser associadas para obter 1 uma única massa equivalente de translação meq ou 2 uma única massa equivalente rotacional Jeq como mostrado 1 Massa equivalente de translação A energia cinética das duas massas é dada por T 12 m ṡx2 12 J0 ṡθ2 122 Ponto pivô a m1 m2 m3 A B C ṡeq ṡ1 Ponto pivô b FIGURA 129 Massas de translação ligadas por uma barra rígida Pinhão momento de inércia de massa J0 Cremalheira massa m FIGURA 130 Massas de translação e rotacional em um arranjo de cremalheira e pinhão e a energia cinética da massa equivalente pode ser expressa como Teq 12 meq ṡxeq2 123 Visto que xeq x e θ xR a equivalência de T e Teq dá 12 meq ṡx2 12 m ṡx2 12 J0 ṡxR2 isto é meq m J0R2 124 2 Massa rotacional equivalente Aqui ṡθeq ṡθ e x ṡθR e a equivalência de T e Teq leva a 12 Jeq ṡθ2 12 m ṡθR2 12 J0 ṡθ2 ou Jeq J0 mR2 125 EXEMPLO 16 Massa equivalente de um sistema Determine a massa equivalente do sistema mostrado na Figura 131 no qual a ligação rígida 1 está ligada à polia e gira com ela Solução Supondo pequenos deslocamentos a massa equivalente meq pode ser determinada pela equivalência das energias cinéticas dos dois sistemas Quando a massa m é deslocada a uma distância x a polia e a ligação rígida 1 giram por um ângulo θp θ1 xrp Isso faz que a ligação rígida 2 e o cilindro sejam deslocados de uma distância x2 θp l1 xl1rp Visto que o cilindro gira sem deslizamento gira por um ângulo θc x2rc xl1rp rc A energia cinética do sistema T pode ser expressa para pequenos deslocamentos como T 12 m ṡx2 12 Jp ṡθp2 12 J1 ṡθ12 12 m2 ṡx22 12 Jc ṡθc2 12 mc ṡx22 E1 onde J1 Jp e Jc denotam os momentos de inércia de massa da polia ligação 1 ao redor de O e cilindro e ṡx e ṡx2 representam as velocidades lineares de massa m e link 2 respectivamente Observando que Jc mc rc22 e J1 m1 l123 a Capítulo 1 Fundamentos de vibrações 17 Polia momento de inércia de massa Jp ṡ rp O O Ligação rígida 1 massa m1 gira com a polia ao redor de O Cilindro massa mc k2 rc Sem deslizamento Ligação rígida 2 massa m2 x2t l1 l2 FIGURA 131 Sistema considerado para determinar massa equivalente Equação E1 pode ser pode ser reescrita como T 12 m ṡx2 12 Jp ṡxrp2 12 m1 l123 ṡxrp2 12 m2 ṡx l1rp2 12 mc rc22 ṡx l1rp rc2 12 mc ṡx l1rp2 E2 Igualando a Equação E2 à energia cinética do sistema equivalente T 12 meq ṡx2 E3 obtemos a massa equivalente do sistema como meq m Jprp2 13 m1 l12rp2 m2 l12rp2 12 mc l12rp2 mc l12rp2 E4 para baixo por uma distância x1 θr l2 xll1 e o CG do balancim deslocase para baixo por uma distância xr θl3 xl3l1 A energia cinética do sistema T pode ser expressa como2 T 12 mp ṡxp2 12 mv ṡxv2 12 Jr ṡθr2 12 mr ṡxr2 E1 onde ṡxp ṡxr e ṡxv são respectivamente as velocidades lineares da haste de comando do CG do balancim e da válvula e ṡθr é a velocidade angular do balancim i Se denotarmos a massa equivalente colocada no ponto A por meq com ṡxeq ṡx a energia cinética do sistema de massa equivalente Teq é dada por Teq 12 meq ṡxeq2 E2 Igualando T e Teq e observando que ṡxp ṡx ṡxv ṡx l2l1 ṡxr ṡx l3l1 e ṡθr ṡxl1 obtemos meq mp Jrl12 mv l22l12 mr l32l12 E3 ii De maneira semelhante se a massa equivalente estiver localizada no ponto C ṡxeq ṡxv e Teq 12 meq ṡxeq2 12 mv ṡxv2 E4 Igualando E4 e E1 temos meq mv Jrl22 mp l1l22 mr l3l22 E5 19 Elementos de amortecimento Em muitos sistemas práticos a energia de vibração é gradativamente convertida em calor ou som Em virtude da redu2 Se a mola da válvula tiver uma massa mv então sua massa equivalente será 12 ms Exemplo 28 Assim a energia cinética da mola da válvula será 1213 ms ṡxv2 18 Vibrações mecânicas Balançim momento de massa de inércia Jr Haste de comando da válvula massa mp Rolete de came Came Eixo FIGURA 132 Sistema cameseguidor Mola da válvula Válvula massa mk cão da energia a resposta tal como o deslocamento do sistema diminui gradativamente O mecanismo pelo qual a energia de vibração é gradativamente convertida em calor ou som é conhecido como amortecimento Embora a quantidade de energia convertida em calor ou som seja relativamente pequena é importante considerar o amortecimento para uma previsão precisa da reposta de vibração de um sistema Admitese que um amortecedor não tem nem massa nem elasticidade e que a força de amortecimento só existe se houver uma velocidade relativa entre as suas duas extremidades É difícil determinar as causas do amortecimento em sistema práticos Como consequência ele é modelado como um ou mais dos tipos descritos a seguir Amortecimento viscoso Amortecimento viscoso é o mecanismo de amortecimento mais comumente usado em análise de vibrações Quando sistemas mecânicos vibram em um meio fluido como ar gás água e óleo a resistência oferecida pelo fluido ao corpo em movimento faz que a energia seja dissipada Nesse caso a quantidade de energia dissipada depende de muitos fatores como o tamanho e a forma do corpo em vibração a viscosidade do fluido a frequência de vibração e a velocidade do corpo em vibração No amortecimento viscoso a força de amortecimento é proporcional à velocidade do corpo vibratório Exemplos típicos de amortecimento viscoso são 1 película de fluído entre superfícies deslizantes 2 fluxo de fluído ao redor de um pistão dentro de um cilindro 3 fluxo de fluído através de um orifício e 4 película de fluído ao redor de um mancal de apoio Amortecimento Coulomb ou por atrito seco Aqui a magnitude da força de amortecimento é constante mas no sentido oposto ao movimento do corpo vibratório O amortecimento nesse caso é causado pelo atrito entre superfícies em contato que estejam secas ou não tenham lubrificação suficiente Amortecimento material ou sólido ou por histerese Quando um material é deformado ele absorve e dissipa energia 131 O efeito devese ao atrito entre os planos internos que deslizam ou escorregam enquanto as deformações ocorrem Quando um corpo com amortecimento material é sujeito à vibração o diagrama tensãodeformação mostra um ciclo de histerese como indicado na Figura 133a A área desse ciclo denota a energia perdida por unidade de volume do corpo por ciclo devido ao amortecimento3 191 Construção de amortecedores viscosos Um amortecedor viscoso pode ser construído usandose duas placas paralelas separadas por uma distância h com um fluído de viscosidade μ entre as placas Figura 134 Considere que uma das placas é fixa e a outra está movimentandose com uma velocidade v em seu próprio plano As camadas de fluído em contato com a placa em movimento movemse com uma velocidade v enquanto as que estão em contato com a placa fixa não se movem Admitese que as velocidades das camadas intermediárias de fluído variam linearmente entre 0 e v como mostra a Figura 134 Segundo a lei de Newton de fluxo viscoso a tensão de cisalhamento τ desenvolvida na camada de fluído a uma distância y da placa fixa é dada por τ μ dudy 126 Tensão força Carregamento Ciclo de histerese Descarregamento Deformação deslocamento Área a Tensão σ Energia gasta ABD Energia recuperada BCD Deformação ε FIGURA 133 Ciclo de histerese para materiais elásticos 3 Quando a carga aplicada a um corpo elástico é aumentada a tensão e a deformação no corpo também aumentam A área sob a curva dada por u σ dε denota a energia gasta trabalho realizado por unidade de volume do corpo Quando a carga aplicada ao corpo for diminuída a energia será recuperada Quando o caminho de descarregamento é diferente do caminho de carregamento a área ABC na Figura 133b a área do ciclo de histerese na Figura 133a denota a energia perdida por unidade de volume do corpo Área da superfície da placa A Fluido viscoso FIGURA 134 Placas paralelas com um fluido viscoso entre elas dxdt v Fforça de amortecimento onde dudy vh é o gradiente de velocidade A força de cisalhamento ou de resistência F desenvolvida na superfície inferior da placa em movimento é F τA μAvh cv 127 onde A é a área da superfície da placa em movimento e c μAh 128 é denominada constante de amortecimento Se um amortecedor for não linear normalmente é usado um procedimento de linearização ao redor da velocidade de operação v como no caso de uma mola não linear O processo de linearização fornece a constante de amortecimento equivalente como c dFdv v 129 192 Associação de amortecedores Quando amortecedores aparecem em associação eles podem ser substituídos por um amortecedor equivalente adotandose um procedimento semelhante ao descrito nas seções 17 e 18 Problema 135 EXEMPLO 18 Folga em um mancal Verificouse que um mancal que pode ser aproximado como duas placas planas separadas por uma fina película de lubrificante Figura 135 oferece uma resistência de 400 N quando é usado óleo SAE30 como lubrificante e a velocidade relativa entre as placas é 10 ms Se a área das placas A for 01 m² determine a folga entre as placas Suponha que a viscosidade absoluta do óleo SAE30 seja 50μ reyn ou 03445 Pas Solução Visto que a força de resistência F pode ser expressa como F cv onde c é a constante de amortecimento e v é a velocidade temos c Fv 40010 40 N sm E1 Modelando o mancal como um amortecedor do tipo placa plana a constante de amortecimento é dada pela Equação 128 c μAh E2 Área A FIGURA 135 Placas planas separadas por uma fina película de lubrificante Usando os dados conhecidos a Equação E2 dá c 40 0344501h ou h 086125 mm E3 EXEMPLO 19 Amortecedor a êmbolo pistãocilindro Desenvolva uma expressão para a constante de amortecimento do amortecedor a êmbolo mostrado na Figura 136a Solução A constante de amortecimento do amortecedor pode ser determinada usandose a equação da tensão de cisalhamento para fluxo de fluido viscoso e a equação da taxa de fluxo de fluido Como mostrado na Figura 136a o amortecedor a êmbolo consiste em um pistão de diâmetro D e comprimento l movendose com velocidade v0 dentro de um cilindro cheio de um líquido de viscosidade μ 124 132 Sejam d a folga entre o pistão e a parede do cilindro e v e τ a velocidade e a tensão de cisalhamento a uma distância y da superfície móvel e v dv e τ dτ a velocidade e tensão de cisalhamento a uma distância y dy da superfície móvel Figura 136b O sinal negativo para dv mostra que a velocidade diminui à medida que nos movimentamos em direção à parede do cilindro A força viscosa sobre esse anel circular é igual a F πDl dτ πDl dτdy dy E1 Porém a tensão de cisalhamento é dada por τ μ dvdy E2 onde o sinal negativo é consistente com um gradiente de velocidade decrescente 133 Usando a Equação E2 na Equação E1 obtemos F πDl dμ d²vdy² E3 A força sobre o pistão causará uma diferença de pressão nas extremidades do elemento dada por p PπD²4 4PπD² E4 20 Vibrações mecânicas P Cilindro Pistão Fluido viscoso l d D d a P Cilindro Pistão Fluido viscoso b FIGURA 136 Um amortecedor de êmbolo Desse modo a força devido à pressão na extremidade do elemento é p πD dy 4PD dy E5 onde πD dy denota a área anular entre y e y dy Se admitirmos velocidade média uniforme no sentido do movimento do fluido as forças dadas nas equações E3 e E5 devem ser iguais Assim obtemos 4PD dy πDl dμ d²vdy² ou d²vdy² 4PπD²lμ E6 Integrando essa equação duas vezes e usando as condições de contorno v v0 em y 0 e v 0 em y d obtemos v 2PπD²lμ yd y² v01 yd E7 A taxa de fluxo pelo espaço de folga pode ser obtida integrandose a taxa de fluxo por todo um elemento entre os limites y 0 e y d Q 0d vπD dy πD 2Pd³6πD² l μ 12 v0 d E8 O volume do líquido que escoa através do espaço de folga por segundo deve ser igual ao volume deslocado por segundo pelo pistão Por consequência a velocidade do pistão será igual à essa taxa de fluxo dividida pela área do pistão Isso dá v0 Q πD² 4 E9 As equações E9 e E8 levam a P 3πD³ l4d³ 1 2dD μ v0 E10 Expressando a força como P cv0 podemos determinar a constante de amortecimento c c μ 3πD³ l4d³ 1 2dD E11 EXEMPLO 110 Constante elástica equivalente e constante de amortecimento equivalente de um suporte de máquinaferramenta Uma fresadora de precisão está apoiada em quatro suportes isoladores de choque como mostrado na Figura 137a A elasticidade e o amortecimento de cada isolador de choque podem ser modeladas como uma mola e um amortecedor viscoso como mostrado na Figura 137b Determine a constante elástica equivalente keq e a constante de amortecimento equivalente ceq do suporte da máquinaferramenta em termos das constantes elásticas ki e das constantes de amortecimento ci dos apoios Solução Os diagramas de corpo livre das quatro molas e quatro amortecedores são mostrados na Figura 137c Admitindose que o centro de massa G esteja localizado em posição simétrica em relação às quatro molas e quatro amortecedores observamos que todas as molas estarão sujeitas ao mesmo deslocamento x e todos os amortecedores estarão sujeitos à mesma velocidade relativa x onde x e x denotam respectivamente o deslocamento e a velocidade do centro de massa G Como consequência as forças que agem sobre as molas Fsi e amortecedores Fdi podem ser expressas como Fsi ki x i 1 2 3 4 Fdi ci x i 1 2 3 4 E1 Denominemos as forças totais que agem sobre todas as molas e todos os amortecedores como Fs e Fd respectivamente Figura 137d Assim as equações de equilíbrio de força podem ser expressas como Fs Fs1 Fs2 Fs3 Fs4 Fd Fd1 Fd2 Fd3 Fd4 E2 Assim o deslocamento a velocidade e a aceleração podem ser expressos como4 deslocamento ReAeiwt A cos ωt 154 velocidade ReiωAeiwt ωA sen ωt 155 aceleração Re ω2Aeiwt ω2A cos ωt ω2A cosωt 180º 156 onde Re denota a parte real Essas quantidades são mostradas como vetores girantes na Figura 141 Podese ver que o vetor aceleração está deslocado de 90º em relação ao vetor velocidade e este está deslocado de 90º em relação ao vetor deslocamento Funções harmônicas podem ser somadas vetorialmente como mostra a Figura 142 Se ReX1 A1 cos ωt e ReX2 A2 cos ωt θ então a magnitude do vetor resultante X é dada por A A1 A2 cos θ2 A2 sen θ2 157 e o ângulo α por α tg1A2 sen θ A1 A2 cos θ 158 Uma vez que as funções originais são dadas como componentes reais a soma X1 X2 é dada por ReX A cosωt α EXEMPLO 111 Adição de movimentos harmônicos Determine a soma dos dois movimentos harmônicos x1t 10 cos ωt e x2t 15 cosωt 2 Solução Método 1 Usando relações trigonométricas Já que a frequência circular é a mesma para ambas x1t e x2t expressamos a soma como xt A cosωt α x1t x2t E1 FIGURA 141 Deslocamento velocidade e acelerações como vetores girantes 4 Se o deslocamento harmônico for dado originalmente como xt A sen ωt então temos deslocamento ImAe iwt A sen ωt velocidade ImiωAe iwt ωA senωt 90º aceleração Im ω2Ae iwt ω2 A senωt 180º onde Im denota a parte imaginária Isto é Acos ωt cos α sen ωt sen α 10 cos ωt 15 cosωt 2 10 cos ωt 15cos ωt cos 2 sen ωt sen 2 E2 Ou seja cos ωtA cos α sen ωtA sen α cos ωt10 15 cos 2 sen ωt15 sen 2 E3 Igualando os coeficientes correspondentes de cos ωt e sen ωt de ambos os lados obtemos A cos α 10 15 cos 2 A sen α 15 sen 2 A 10 15 cos 22 15 sen 22 141477 E4 α tg115 sen 2 10 15 cos 2 745963º E5 Método 2 Usando vetores Para um valor arbitrário de ωt os movimentos harmônicos x1t e x2t podem ser denotados graficamente como mostrado na Figura 143 A adição vetorial dá o vetor resultante xt xt 141477 cosωt 745963º E6 Método 3 Usando representação por números complexos Os dois movimentos harmônicos podem ser denotados na forma de números complexos x1t ReA1e iwt Re10e iwt x2t ReA2e iωt 2 Re15e iωt 2 E7 A soma de x1t e x2t pode ser expressa como xt ReAe iωt α E8 onde A e α podem ser determinados pelas equações 147 e 148 como A 141477 e α 745963º 1105 Definições e terminologia As seguintes definições e terminologia são úteis quando se trata de movimento harmônico e outras funções periódicas Capítulo 1 Fundamentos de vibrações 25 Ciclo O movimento de um corpo vibratório de sua posição de repouso ou equilíbrio até sua posição extrema em um sentido então até a posição de equilíbrio daí até sua posição extrema no outro sentido e de volta à posição de equilíbrio é denominada um ciclo de vibração Uma revolução isto é deslocamento angular de 2π radianos do pino P na Figura 138 ou uma revolução do vetor OP na Figura 139 constitui um ciclo Amplitude O máximo deslocamento de um corpo vibratório em relação à sua posição de equilíbrio é denominado amplitude de vibração Nas figuras 138 e 139 a amplitude de vibração é igual a A Período de oscilação O tempo que leva para concluir um ciclo de movimento é conhecido como período de oscilação ou período e é denotado por τ É igual ao tempo requerido para o vetor OP na Figura 139 girar um ângulo de 2π e por consequência τ 2πω 159 onde ω é denominada frequência circular Frequência de oscilação O número de ciclos por unidade de tempo é denominado frequência de oscilação ou simplesmente frequência e é denotado por f Assim f 1τ ω2π 160 Nesse caso ω é denominada frequência circular para distinguila da frequência linear f ω2π A variável ω denota a velocidade angular do movimento cíclico f é medida em ciclos por segundo Hertz enquanto ω é medida em radianos por segundo Ângulo de fase Considere dois movimentos vibratórios denotados por x1 A1 sen ωt 161 x2 A2 sen ωt ϕ 162 Os dois movimentos harmônicos dados pelas equações 161 e 162 são denominados síncronos porque têm a mesma frequência ou velocidade angular ω Duas oscilações síncronas não precisam ter a mesma amplitude e não devem atingir seus valores máximos ao mesmo tempo Os movimentos dados pelas equações 161 e 162 podem ser representados graficamente como mostra a Figura 144 Nessa figura o segundo vetor OP2 está à frente do primeiro OP1 por um ângulo ϕ conhecido como ângulo de fase Isso significa que o máximo do segundo vetor ocorreria ϕ radianos antes do que o do primeiro vetor Observe que em vez dos máximos quaisquer outros pontos correspondentes podem ser considerados para determinar o ângulo de fase Nas equações 161 e 162 ou na Figura 144 dizse que os dois vetores têm uma diferença de fase de ϕ Frequência natural Se após uma perturbação inicial um sistema continuar a vibrar por si próprio sem a ação de forças externas a frequência com que ele oscila é conhecida como sua frequência natural Como veremos adiante um sistema vibratório com n graus de liberdade terá em geral n frequências naturais de vibração distintas Batimentos Quando dois movimentos harmônicos cujas frequências estão próximas uma da outra são somados o movimento resultante exibe um fenômeno conhecido como batimentos Por exemplo se x1t X cos ωt 163 x2t X cos ω δt 164 onde δ é uma quantidade pequena a soma desses movimentos dá xt x1t x2t X cos ωt cos ω δt 165 Usando a relação cos A cos B 2 cos A B2 cos A B2 166 A Equação 165 pode ser reescrita como xt 2X cos δt2 cos ω δ2 t 167 Essa equação é mostrada em gráfico na Figura 145 Podese ver que o movimento resultante xt representa uma onda cosenoidal com frequência ω δ2 que é aproximadamente igual a ω e com uma amplitude variável de 2X cos δt2 Sempre que a amplitude alcançar um máximo ela é denominada um batimento A frequência δ à qual a amplitude aumenta gradativamente e depois diminui até desaparecer entre 0 e 2X é conhecida como frequência de batimento O fenômeno de batimentos é frequentemente observado em máquinas estruturas e centrais elétricas Por exemplo em máquinas e estruturas 26 Vibrações mecânicas o fenômeno do batimento ocorre quando a frequência excitadora está próxima da frequência natural do sistema Seção 332 Oitava Quando o valor máximo de uma faixa de frequência é duas vezes seu valor mínimo ela é conhecido como uma faixa de oitava Por exemplo cada uma das faixas 75150 Hz 150300 Hz e 300600 Hz pode ser denominada uma faixa de oitava Em cada caso dizse que os valores máximo e mínimo da frequência cuja razão é 21 diferem por uma oitava Decibel As várias quantidades encontradas na área da vibração e do som como deslocamento velocidade aceleração pressão e força são frequentemente representadas usando a notação de decibel Um decibel dB é definido originalmente como uma razão entre potências eletricas PP0 como dB 10 logP P0 168 onde P0 é algum valor de referência de potência Visto que a potência elétrica é proporcional ao quadrado da tensão X o decibel também pode ser expresso como dB 10 logX X02 20 logX X0 169 onde X0 é uma tensão de referência especificada Na prática a Equação 169 também é usada para expressar as razões entre outras quantidades como deslocamentos velocidades acelerações e pressões De modo geral os valores de referência de X0 na Equação 169 são geralmente considerados como 2 105 Nm² para pressão e 1 μg 981 106 ms² para aceleração 111 Análise harmônica5 Embora o movimento harmônico seja o mais simples de tratar o movimento de muitos sistemas vibratórios não é harmônico Contudo em muitos casos as vibrações são periódicas por exemplo o tipo mostrado na Figura 146a Felizmente qualquer função periódica de tempo pode ser representada por série de Fourier como uma soma infinita de termos em seno e coseno 136 1111 Expansão por série de Fourier Se xt é uma função periódica com período τ sua representação por série de Fourier é dada por xt a02 a1cos ωt a2cos 2 ωt b1sen ωt b2sen 2ωt a02 Σ an cos nωt bn sen nωt 170 onde ω 2πτ é a frequência fundamental e a0 a1 a2 b1 b2 são coeficientes constantes Para determinar os coeficientes an e bn multiplicamos a Equação 170 por cos nωt e sen nωt respectivamente e integramos sobre um período τ 2πω por exemplo de 0 a 2πω Então percebemos que todos os termos exceto um do lado direito da equação serão zero e obtemos a0 ωπ xt dt de 0 a 2πω 2τ xt dt de 0 a τ 171 an ωπ xt cos nωt dt de 0 a 2πω 2τ xt cos nωt dt de 0 a τ 172 bn ωπ xt sen nωt dt de 0 a 2πω 2τ xt sen nωt dt de 0 a τ 173 A interpretação física da Equação 170 é que qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de FIGURA 145 Fenômeno de batimentos 5 A análise harmônica forma a base para a Seção 42 FIGURA 146 Uma função periódica funções harmônicas Embora a série na Equação 170 seja uma soma infinita podemos aproximar a maioria das funções periódicas com a ajuda de apenas algumas funções harmônicas Por exemplo a onda triangular da Figura 146a pode ser representada muito aproximadamente pela soma de apenas três funções harmônicas como mostra a Figura 146b A série de Fourier também pode ser representada pela soma de termos somente em seno ou termos somente em coseno Por exemplo a série que usa apenas termos em coseno pode ser expressa como xt d0 d1 cosωt ϕ₁ d2 cos2ωt ϕ₂ 174 onde d0 a02 175 dn a²n b²n¹² 176 e ϕn tg¹ bn an 177 Fenômeno de Gibbs Quando uma função periódica é representada por uma série de Fourier podese observar um comportamento anômalo Por exemplo a Figura 147 mostra uma onda triangular e sua representação por série de Fourier usando números diferentes de termos À medida que o número de termos n aumenta podese perceber que a aproximação melhora em todos os lugares exceto na vizinhança da descontinuidade ponto P na Figura 147 Nesse caso o desvio em relação à verdadeira forma da onda estreitase cada vez mais porém não diminui quase nada em relação à amplitude Observouse que o erro na amplitude permanece em aproximadamente 9 mesmo quando k Esse comportamento é conhecido como fenômeno de Gibbs nome que se deve a seu descobridor FIGURA 147 Fenômeno de Gibbs 1112 Série de Fourier complexa Uma série de Fourier também pode ser representada por números complexos Observandose pelas equações 141 e 142 que eiωt cos ωt i sen ωt 178 e eiωt cos ωt i sen ωt 179 cos ωt e sen ωt podem ser expressos como cos ωt eiωt eiωt 2 180 e sen ωt eiωt eiωt 2i 181 Assim a Equação 170 pode ser escrita como xt a₀2 Σ from n1 to aₙ ei n ω t ei n ω t 2 bₙ ei n ω t ei n ω t 2 i ei0ωta₀2 ib₀2 Σ from n1 to ei n ω t aₙ 2 i bₙ 2 ei n ω t aₙ2 i bₙ 2 182 onde b₀0 Definindo os coeficientes complexos de Fourier cₙ e cₙ como cₙ aₙ i bₙ 2 183 e cₙ aₙ i bₙ 2 184 a Equação 182 pode ser expressa como xt Σ from n to cₙ ei n ω t 185 FIGURA 148 Espectro de frequência de uma típica função periódica de tempo Os coeficientes de Fourier podem ser determinados usando as equações 171 a 173 como cₙ aₙ i bₙ2 1τ ₀τ xt cos nωt i sen nωt dt 1τ ₀τ xt ei n ω t dt 186 1113 Espectro de frequência As funções harmônicas aₙ cos nωt ou bₙ sen nωt na Equação 170 são denominadas as harmônicas de ordem n da função periódica xt A harmônica de ordem n tem um período τn Essas harmônicas podem ser representadas como linhas verticais em um diagrama de amplitude aₙ e bₙ ou dₙ e ϕₙ em relação à frequência nω denominado espectro de frequência ou diagrama espectral A Figura 148 mostra um espectro de frequência típico 1114 Representações no domínio do tempo e da frequência A expansão por série de Fourier permite a descrição de qualquer função periódica usando uma representação no domínio do tempo ou da frequência Por exemplo uma função harmônica dada por xt A sen ωt no domínio do tempo Figura 149a pode ser representada pela amplitude e pela frequência ω no domínio da frequência Figura 149b De modo semelhante uma função periódica tal como uma onda triangular pode ser representada no domínio do tempo como mostrado na Figura 149c ou no domínio da frequência como indicado na Figura 149d Observe que as amplitudes dₙ e os ângulos de fase ϕₙ correspondentes às frequências ωₙ podem ser usados no lugar das amplitudes aₙ e bₙ para representação no domínio da frequência Usar uma integral de Fourier considerada na Seção 149 permite a representação de funções pares não periódicas em um domínio do tempo ou em um domínio da frequência A Figura 149 mostra que a representação no domínio da frequência não dá as condições iniciais Todavia essas condições são frequentemente consideradas desnecessárias em muitas aplicações práticas e somente as condições de regime permanente são de principal interesse FIGURA 149 Representação de uma função nos domínios do tempo e da frequência 1115 Funções pares e ímpares Uma função par satisfaz a relação xt xt 187 Nesse caso a expansão por série de Fourier de xt contém somente termos em coseno xt a₀2 Σ from n1 to aₙ cos nωt 188 onde a₀ e aₙ são dados pelas Equações 171 e 172 respectivamente Uma função ímpar satisfaz a relação xt xt 189 Nesse caso a expansão por série de Fourier de xt contém somente termos em seno xt Σ from n1 to bₙ sen nωt 190 onde bₙ é dado pela Equação 173 Em alguns casos determinada função pode ser considerada par ou ímpar dependendo da localização dos eixos coordenados Por exemplo o deslocamen to em relação ao eixo vertical de a para b ou c na Figura 150i a tornará uma função ímpar ou par Isso significa que precisamos calcular somente os coeficientes bₙ ou aₙ De maneira semelhante um deslocamento de d para e no eixo do tempo equivale a somar uma constante igual à quantidade de deslocamento No caso da Figura 150ii quando a função é considerada uma função ímpar a expansão por série de Fourier tornase Problema 165 x₁t 4Aπ Σ from n1 to 1 2n 1 sen 2π2n 1t τ 191 Por outro lado se a função for considerada uma função par como mostra a Figura 150iii sua expansão por série de Fourier tornase Problema 165 x₂t 4Aπ Σ from n1 to 1ⁿ¹ 2n 1 cos 2π2n 1t τ 192 Visto que as funções x₁t e x₂t representam a mesma onda exceto pela localização da origem também existe uma relação entre suas expansões por série de Fourier Observando que x₁t τ4 x₂t 193 determinamos pela Equação 191 x₁t τ4 4Aπ Σ from n1 to 1 2n 1 sen 2π2n 1τ t τ4 4Aπ Σ from n1 to 1 2n 1 sen 2π2n 1τ t 2π2n 14 194 Usando a relação sen A B sen A cos B cos A sen B a Equação 194 pode ser expressa como x₁t τ4 4Aπ Σ from n1 to 12n 1 cos 2π2n 14 sen 2π2n 1t τ sen 2π2n 14 cos 2π2n 1t τ 195 Visto que cos 2π2n 14 0 para n 1 2 3 e sen 2π2n 14 1ⁿ¹ para n 1 2 3 a Equação 195 reduzse a x₁t τ4 4Aπ Σ from n1 to 1ⁿ¹ 2n 1 cos 2π2n 1t τ 196 que podemos verificar que é igual à Equação 192 1116 Expansões em meiafaixa Em algumas aplicações práticas a função xt é definida somente no intervalo 0 a τ como mostrado na Figura 151a Nesse caso não há nenhuma condição de periodicidade da função já que a própria função não é definida fora do intervalo 0 a τ Todavia podemos estendêla arbitrariamente para incluir o intervalo τ a 0 como mostrado na Figura 151b ou na Figura 151c A extensão da função indicada na Figura 151b resulta em uma função ímpar x₁t ao passo que a extensão da função mostrada na Figura 151c resulta em uma função par x₂t Assim a expansão por série de Fourier de x₁t resulta em termos somente de seno e a de x₂t envolve somente termos FIGURA 150 Funções pares e ímpares FIGURA 151 Extensão de uma função por expansões de meiafaixa de coseno Essas expansões por série de Fourier de x1t e x2t são conhecidas como expansões de meiafaixa 137 Qualquer dessas expansões de meiafaixa pode ser usada para determinar xt no intervalo 0 a τ 1117 Cálculo numérico de coeficientes Para formas muito simples da função xt as integrais das equações 171 a 173 podem ser avaliadas com facilidade Contudo a integração tornase complicada se xt não tiver uma forma simples Em algumas aplicações práticas como no caso da determinação experimental da amplitude de vibração usando um transdutor de vibrações a função xt não está disponível na forma de uma expressão matemática somente os valores de xt em vários pontos t1 t2 tN estão disponíveis como mostra a Figura 152 Nesses casos os coeficientes an e bn das equações 171 a 173 podem ser avaliados usando um procedimento de integração numérica como a regra trapezoidal ou a de Simpson 138 Vamos supor que t1 t2 tN sejam um número par de pontos eqüidistantes no período τ N par com os valores correspondentes de xt dados por x1 xt1 x2 xt2 xN xtN respectivamente A aplicação da regra trapezoidal dá os coeficientes an e bn fazendo τ NΔt como6 a₀ 2N i1 to N xi 197 an 2N i1 to N xi cos2nπtiτ 198 bn 2N i1 to N xi sin2nπtiτ 199 EXEMPLO 112 Expansão por série de Fourier Determine a expansão por série de Fourier do movimento da válvula no sistema cameseguidor mostrado na Figura 153 Solução Se yt denotar o movimento vertical da haste de comando da válvula o movimento da válvula xt pode ser determinado pela relação tg θ ytl₁ xtl₂ ou xt l₂l₁ yt E1 onde yt Y tτ 0 t τ E2 6 N precisa ser um número par para a regra de Simpson mas não para a regra trapezoidal As equações 197 a 199 supõem que a condição de periodicidade x₀ xN seja válida e o período é dado por τ 2πω Definindo A Yl₂l₁ xt pode ser expressa como xt A tτ 0 t τ E3 A Equação E3 é mostrada na Figura 146a Para calcular os coeficientes de Fourier an e bn usamos as Equações 171 a 173 a₀ ωπ 0 to 2πω xt dt ωπ 0 to 2πω A tτ dt ωπ A t²2 ₀2πω A E4 an ωπ 0 to 2πω xtcos nωt dt ωπ 0 to 2πω A tτ cos nωt dt Aωπ 0 to 2πω t cos nωt dt A2π² cos nωt n² ωt sen nωt n ₀2πω 0 n 1 2 E5 bn ωπ 0 to 2πω xtsen nωt dt ωπ 0 to 2πω A tτ sen nωt dt Aωπ 0 to 2πω t sen nωt dt A2π² sen nωt n² ωt cos nωt n ₀2πω Anπ n 1 2 E6 Como consequência a expansão por série de Fourier de xt é xt A2 Aπ sen ωt A2π sen 2ωt Aπ π2 sen ωt 12 sen 2ωt 13 sen 3ωt E7 Os três primeiros termos são mostrados no gráfico da Figura 146b Podese ver que a aproximação chega ao formato de dente de serra mesmo com um número pequeno de termos EXEMPLO 113 Análise numérica de Fourier As variações da pressão da água dentro de um cano medidas a intervalos de 001 segundo são dadas na Tabela 11 Essas variações são de natureza repetitiva Faça uma análise harmônica das variações da pressão e determine as três primeiras harmônicas da expansão por série de Fourier Solução Visto que as variações de pressão dadas repetemse a cada 012 segundo o período é τ 012 s e a frequência circular da primeira harmônica é 2π radianos por 012 s ou xt Δt Δt Δt x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ t₁ t₂ t₃ t₄ t₅ tN1 xN1 tN xN τ N Δt FIGURA 152 Valores da função periódica xt em pontos discretos t₁ t₂ tN yt θ Balancim Haste de comando Mola da válvula Válvula yt Rolete Y 0 τ 2τ 3τ t FIGURA 153 Sistema cameseguidor TABELA 11 Estação de tempo i Tempo s ti Pressão kNm² pi 0 0 0 1 001 20 2 002 34 3 003 42 4 004 49 5 005 53 6 006 70 7 007 60 8 008 36 9 009 22 10 010 16 11 011 7 12 012 0 TABELA 12 n 1 n 2 n 3 2πti012 pi cos 2πti012 pi sen 2πti012 4πti012 pi cos 4πti012 pi sen 4πti012 6πti012 pi cos 6πti012 pi sen 6πti012 i ti pi 1 001 20000 17320 10000 10000 17320 0 20000 2 002 34000 17000 29444 17000 29444 34000 0 3 003 42000 0 42000 42000 0 0 42000 4 004 49000 24500 42434 24500 42434 49000 5 005 53000 45898 26500 26500 45898 0 53000 6 006 70000 70000 0 70000 0 70000 7 007 60000 51960 30000 30000 51960 0 60000 8 008 36000 18000 31176 18000 31176 36000 0 9 009 22000 0 22000 22000 0 16000 22000 10 010 16000 8000 13856 8000 13856 0 11 011 7000 6062 3500 3500 6062 0 7000 12 012 0 0 0 0 0 0 12 Σ 409000 161976 49846 8500 21650 35000 14000 i1 1 12 Σ 6 i1 681667 269960 83077 14167 36083 58333 23333 ω 2π012 5236 rads Como o número de valores observados em cada onda N é 12 obtemos pela Equação 197 a₀ 2N i1 to N pi 16 i1 to 12 pi 681667 E1 Os coeficientes an e bn podem ser determinados pelas equações 198 e 199 an 2N i1 to N pi cos2nπtiτ 16 i1 to 12 pi cos2nπti012 E2 bn 2N i1 to N pi sen2nπtiτ 16 i1 to 12 pi sen2nπti012 E3 Os cálculos envolvidos nas equações E2 e E3 são mostrados na Tabela 12 Por esses cálculos podese obter a expansão por série de Fourier das variações de pressão pt Equação 170 pt 340833 269960 cos 5236t 83077 sen 5236t 14167 cos 10472t 36083 sen 10472t 58333 cos 15708t 23333 sen 15708t Nm² E4 112 Exemplos usando MATLAB7 EXEMPLO 114 Representação gráfica de série de Fourier usando MATLAB Represente em gráfico a função xt A tτ 0 t τ E1 e sua representação por série de Fourier com quatro termos xt Aπ π2 sen ωt 12 sen 2ωt 13 sen 3ωt E2 para 0 t τ com A 1 ω π e τ 2πω 2 Solução Escrevese um programa MATLAB para representar em gráfico as Equações E1 e E2 com números diferentes de termos como mostrado a seguir ex114m plot the function xt A t tau A 1 w pi tao 2 for i 1 101 ti tau i1100 xi A ti tau end subplot231 plottx xlabelxt xlabelt titlext Attau for i 1 101 x1i A 2 end subplot232 plottx1 xlabelt titleOne term for i 1 101 x2i A2 A sinwti pi end subplot233 plottx2 xlabelt titleTwo terms for i 1 101 x3i A2 A sinwti pi A sin2wti 2pi end subplot234 plottx3 ylabelxt xlabelt titleThree terms for i 1 101 ti tau i1100 x4i A2 A sinwti pi A sin2wti 2pi A sin3wti 3pi end subplot235 plottx4 xlabelt titleFour terms EXEMPLO 115 Representação gráfica de batimentos Uma massa está sujeita a dois movimentos harmônicos dados por x1t X cos ωt e x2t X cos ω δt com X 1 cm ω 20 rads e δ 1 rads Represente o movimento resultante da massa em gráfico usando MATLAB e identifique a freqüência de batimento Solução O movimento resultante da massa xt é dado por xt x1t x2t X cos ωt X cos ω δt 2X cos δt2 cos ω δ2 t E1 Podese ver que o movimento exibe o fenômeno de batimentos com um freqüência de batimento ωb ω δ ω δ 1 rads A Equação E1 é representada em gráfico usando MATLAB como mostrado a seguir ex115m Plot the Phenomenon of beats A 5 1 w 5 20 delta 5 1 for i 5 1 1001 ti 5 15 i11000 xi 5 2 A cos deltati2 cos w 1 delta2 ti end plot tx xlabe1 t ylabel xt title Phenomenon of beats EXEMPLO 116 Análise numérica de Fourier usando MATLAB Faça uma análise harmônica das variações de pressão dadas na Tabela 11 e determine as cinco primeiras harmônicas da expansão por série de Fourier Solução Para determinar as cinco primeiras harmônicas das variações de pressão isto é aq a1 a5 b1 b5 desenvolvemos um programa MATLAB de finalidade geral para a análise harmônica de uma função xt usando as equações 197 a 199 O programa denominado Program1m requer os seguintes dados de entrada n número de pontos eqüidistantes nos quais os valores de xt são conhecidos m número de coeficientes de Fourier a calcular tempo período da função xt x arranjo de dimensão n contendo os valores conhecidos de xt xi xti t arranjo de dimensão n contendo os valores conhecidos de t ti ti Fenômeno de batidas 2 15 1 05 0 05 1 15 2 0 5 10 15 t Os seguintes resultados são gerados pelo programa azero a0 da Equação 197 i ai bi i 1 2 m onde ai e bi denotam os valores calculados de ai e bi dados pelas Equações 198 e 199 respectivamente program1 Fourier series expansion of the function xt Data Number of data points in one cycle 12 Number of Fourier Coefficients required 5 Time period 1200000e001 Station i Time at station i ti xi at ti 1 1000000e002 2000000e1004 2 2000000e002 3400000e1004 3 3000000e002 4200000e1004 4 4000000e002 4900000e1004 5 5000000e002 5300000e1004 6 6000000e002 7000000e1004 7 7000000e002 6000000e1004 8 8000000e002 3600000e1004 9 9000000e002 2200000e1004 11 1000000e001 1600000e1004 10 1100000e001 7000000e1003 12 1200000e001 0000000e1000 Results of Fourier analysis azero 6816667e004 values of i ai bi 1 2699630e1004 8307582e1003 2 1416632e1003 3608493e1003 3 5833248e1003 2333434e1003 4 5834026e1002 2165061e1003 5 2170284e1003 6411708e1002 420000 490000 530000 700000 600000 360000 220000 160000 70000 00 Please input the value of ti i 0 n1 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 FOURIER SERIES EXPANSION OF THE FUNCTION XT DATA NUMBER OF DATA POINTS IN ONE CYCLE 12 NUMBER OF FOURIER COEFFICIENTS REQUIRED 5 TIME PERIOD 1200000e001 TIME AT VARIOUS STATIONS TI 1000000e002 2000000e002 3000000e002 4000000e002 5000000e002 6000000e002 7000000e002 8000000e002 9000000e002 1000000e001 1100000e001 1200000e001 KNOWN VALUES OF XI AT TI 2000000e004 3400000e004 4200000e004 4900000e004 5300000e004 7000000e004 6000000e004 3600000e004 2200000e004 1600000e004 7000000e003 0000000e000 RESULTS OF FOURIER ANALYSIS AZERO 6816667e004 VALUES OF I AI AND BI ARE 1 2699630e004 8307582e003 2 1416632e003 3608493e003 3 5833248e003 2333434e003 4 5834026e002 2165061e003 5 2170284e003 6411708e002 113 Programa em C Um programa em C interativo denominado Program1cpp8 é dado para a análise de harmônicas de uma função xt Os parâmetros de entrada e de saída do programa são semelhantes aos do programa MATLAB dados no Exemplo 116 e também são descritos nas linhas de comentários do programa EXEMPLO 117 Análise numérica de Fourier Usando C Resolva o Exemplo 113 com M 5 usando o programa Program1cpp Solução Os dados de entrada são digitados interativamente A entrada e a saída do programa são dadas a seguir Results of Program1 cpp Please input the data Please input n 12 Please input m 5 Please input time 012 Please input the value of xi i 0 n1 200000 340000 FOURIER SERIES EXPANSION OF THE FUNCTION XT DATA NUMBER OF DATA POINTS IN ONE CYCLE 12 NUMBER OF FOURIER COEFFICIENTS REQUIRED 5 TIME PERIOD 012000000E00 TIME AT VARIOUS STATIONS TI 099999998E02 020000000E01 029999999E01 039999999E01 050000001E01 059999999E01 070000000E01 079999998E01 090000004E01 010000000E00 011000000E00 012000000E00 KNOWN VALUES OF XI AT TI 020000000E05 034000000E05 042000000E05 049000000E05 053000000E05 070000000E05 060000000E05 036000000E05 022000000E05 016000000E05 070000000E04 000000000E00 RESULTS OF FOURIER ANALYSIS AZERO 5 068166664E05 VALUES OF I AI AND I ARE 1 026996299E05 083075869E04 2 014166348E04 036084932E04 3 058332480E04 023334373E04 4 058340521E03 021650562E04 5 021702822E04 064117188E03 114 Programa em FORTRAN Um programa de computador em FORTRAN na forma de subrotina FORIERF é dado para a análise de harmônicas de uma função xt Os argumentos da subrotina são descritos nas linhas de comentário do programa principal que chama o FORIERF e são semelhantes aos do programa MATLAB dado no Exemplo 116 EXEMPLO 118 Análise numérica de Fourier usando FORTRAN Resolva o Exemplo 113 com M 5 usando a subrotina FORIERF Solução O programa principal que chama a subrotina FORIERF e a subrotina FORIERF é dado como PROGRAM1F9 O resultado do programa é dado a seguir 14 R Taton editor Ancient and medieval science from the beginnings to 1450 A J Pomerans tradução Nova York Basic Books 1957 15 S P Timoshenko History of strength of materials Nova York McGrawHill 1953 16 R B Lindsay The story of acoustics Journal of the Acoustical Society of America v 39 n 4 1966 p 629644 17 J T Cannon e S Dostrovsky The evolution of dynamics vibration theory from 1687 to 1742 Nova York SpringerVerlag 1981 18 L L Bucciarelli e N Dworsky Sophie Germain an essay in the history of the theory of elasticity Dordrecht Holanda D Reidel Publishing 1980 19 J W Strutt Baron Rayleigh The theory of sound Nova York Dover 1945 110 R Burton Vibration and impact Reading Mass AddisonWesley 1958 111 A H Nayfeh Perturbation methods Nova York Wiley 1973 112 S H Crandall e W D Mark Random vibration in mechanical systems Nova York Academic Press 1963 113 J D Robson Random vibration Edinburgh Edinburgh University Press 1964 114 S S Rao The finite element method in engineering 2 ed Oxford Pergamon Press 1989 115 M J Turner R W Clough H C Martin e L J Topp Stiffness and deflection analysis of complex structures Journal of Aeronautical Sciences v 23 1956 p 805824 116 D Radaj et al Finite element analysis an automóvel engineers tool International conference on vehicle structural mechanics finite element application to design Detroit Society of Automotive Engineers 1974 117 R E D Bishop Vibration 2 ed Cambridge Cambridge University Press 1979 118 M H Richardson e K A Ramsey Integration of dynamic testing into the product elabore o projeto cycle Sound and vibration v 15 n 11 nov 1981 p 1427 119 M J Griffin e E M Whitham The discomfort produced by impulsive wholebody vibration Journal of the Acoustical Society of America v 65 n 5 1980 p 12771284 120 J E Ruzicka Fundamental concepts of vibration control Sound and vibration v 5 n 7 jul 1971 p 1623 121 T W Black Vibratory finishing goes automatic Part 1 Types of machines Part 2 Steps to automation Tool and manufacturing engineer jul 1964 p 5356 e ago 1964 p 7276 122 S Prakash e V K Puri Foundations for machines analysis and design Nova York Wiley 1988 123 L Meirovitch Fundamentals of vibrations Nova York McGrawHill 2001 124 A Dimarogonas Vibration for engineers 2 ed Upper Saddle River NJ PrenticeHall 1996 125 E O Doebelin System modeling and response Nova York Wiley 1980 126 R W Fitzgerald Mechanics of materials 2 ed Reading Mass AddisonWesley 1982 127 I Cochin Analysis and design of dynamic systems Nova York Harper Row 1980 128 F Y Chen Mechanics and design of cam mechanisms Nova York Pergamon Press 1982 129 W T Thomson Theory of vibration with 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vibrations theory and applications Nova York John Wiley 2001 QUESTÕES DE REVISÃO 11 Dê respostas curtas para as seguintes questões 1 De dois exemplos de maus e dois de bons efeitos da vibração 2 Quais são as três partes elementares de um sistema vibratório 3 Defina o grau de liberdade de um sistema vibratório 4 Qual é a diferença entre um sistema discreto e um sistema contínuo É possível resolver qualquer problema de vibração como um sistema discreto 5 Em análise de vibrações o amortecimento pode ser sempre desprezado 6 Um problema de vibração não linear pode ser identificado pelo exame de sua equação diferencial governante 7 Qual é a diferença entre vibração determinística e vibração aleatória Dê dois exemplos práticos de cada uma 8 Quais são os métodos disponíveis para resolver as equações governantes de um problema de vibração 9 Como acoplar diversas molas para aumentar a rigidez global 10 Defina rigidez de mola e constante de amortecimento 11 Quais são os tipos comuns de amortecimento 12 Dê três modos diferentes de expressar uma função periódica em termos de suas harmônicas 13 Defina essas termos ciclo amplitude ângulo de fase frequência linear período e frequência natural 14 Qual é a relação entre τ ω e f 15 Como podemos obter frequência fase e amplitude de um movimento harmônico pelo vetor girante correspondente 16 Como somar dois movimentos harmônicos com frequências diferentes 17 O que são batimentos 18 Defina os termos decibel e oitava 19 Explique o fenômeno de Gibbs 20 O que são expansões de meiafaixa 12 Indique se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa 1 Se houver perda de energia por qualquer modo durante vibração o sistema pode ser considerado amortecido 2 O princípio da superposição é valido para sistemas lineares e não lineares 3 A frequência à qual um sistema submetido a uma perturbação inicial vibra por conta própria é conhecida como frequência natural 4 Qualquer função periódica pode ser expandida em uma série de Fourier 5 Um movimento harmônico é um movimento periódico 6 A massa equivalente de várias massas em lugares diferentes pode ser determinada usando a equivalência de energia cinética 7 As coordenadas generalizadas não são necessariamente coordenadas cartesianas 8 Sistema discreto é o mesmo que sistema de parâmetros concentrados 9 Considere a soma de movimentos harmônicos xt x₁t x₂t A cosωt α com x₁t 15 cos ωt e x₂t 20 cosωt 1 A amplitude A é dada por 308088 10 Considere a soma de movimentos harmônicos xt x₁t x₂t A cosωt α com x₁t 15 cos ωt e x₂t 20 cosωt 1 O ângulo de fase α é dado por 157 rad 13 Preencha os espaços em branco com a palavra adequada 1 Sistemas sofrem oscilações perigosamente grandes a 2 Vibração não amortecida é caracterizada por nenhuma perda de 3 Um sistema vibratório consiste em uma mola um amortecedor e 4 Se um movimento se repetir após intervalos de tempo iguais ele é denominado um movimento 5 Quando a aceleração é proporcional ao deslocamento e dirigida à posição média o movimento é denominado harmônico 6 O tempo que leva para completar um ciclo de movimento é denominado de vibração 7 O número de ciclos por unidade de tempo é denominado de vibração 8 Dizse que dois movimentos harmônicos que têm a mesma frequência são 9 A diferença angular entre a ocorrência de pontos semelhantes em dois movimentos harmônicos é denominada 10 Podese considerar que sistemas contínuos ou distribuídos têm um número de graus de liberdade 11 Sistemas que têm um número finito de graus de liberdade são denominados sistemas 12 O grau de liberdade de um sistema denota o número mínimo de independentes necessários para descrever as posições de todas as partes do sistema em qualquer instante do tempo 13 Se um sistema vibrar devido apenas à perturbação inicial é denominado vibração 14 Se um sistema vibrar devido a uma excitação externa é denominado vibração 15 Ressonância denota a coincidência da frequência de uma excitação externa com uma frequência do sistema 16 Uma função ft é denominada uma função ímpar se 17 As expansões de faixa podem ser usadas para representar funções definidas somente no intervalo 0 a τ 18 Análise trata da representação por série de Fourier de funções periódicas 14 Selecione a resposta mais adequada entre as múltiplas opções dadas 1 O primeiro sismógrafo do mundo foi inventado a no Japão b na China c no Egito 2 Os primeiros experimentos com um pêndulo simples foram realizados por a Galileu b Pitágoras c Aristóteles 3 A obra Philosophiae naturalis principia mathematica foi publicada por a Galileu b Pitágoras c Newton 4 Formas modais de placas obtidas com a colocação de areia sobre placas vibratórias foram observadas pela primeira vez por a Chladni b DAlembert c Galileu 5 A teoria de viga grossa foi apresentada pela primeira vez por a Mindlin b Einstein c Timoshenko 6 O grau de liberdade de um pêndulo simples é a 0 b 1 c 2 7 A vibração pode ser classificada em a um modo b dois modos c vários modos 8 O fenômeno de Gibbs denota um comportamento anômalo na representação por série de Fourier de uma a função harmônica b função periódica c função aleatória 9 A representação gráfica das amplitudes e ângulos de fase dos vários componentes da freqüência de uma função periódica é conhecida como a diagrama espectral b diagrama de frequência c diagrama harmônico 10 Quando um sistema vibra em um meio fluido o amortecimento é a viscoso b Coulomb c sólido 11 Quando partes de um sistema vibratório deslizam sobre uma superfície seca o amortecimento é a viscoso b Coulomb c sólido 12 Quando a curva tensãodeformação do material de um sistema vibratório exibe um ciclo de histerese o amortecimento é a viscoso b Coulomb c sólido 13 A constante elástica equivalente de duas molas paralelas com rigidez k₁ e k₂ respectivamente é a k₁ k₂ b c 14 A constante elástica equivalente de duas molas em série com rigidez k₁ e k₂ respectivamente é a k₁ k₂ b c 15 A constante elástica de uma viga em balanço com uma massa m na extremidade é a b c 16 Se ft ft dizse que a função ft é a par b ímpar c contínua 15 Ligue as afirmações correspondentes 1 Pitágoras 582507 aC a publicou um livro sobre a teoria do som 2 Euclides 300 aC b primeira pessoa a investigar sons musicais com base científica 3 Zhang Heng 132 dC c escreveu um tratado denominado Introdução aos Harmônicos 4 Galileu 15641642 d fundador da ciência experimental moderna 5 Rayleigh 1877 e inventou o primeiro sismógrafo do mundo 16 Ligue as afirmações correspondentes 1 Desbalanceamento em motores a diesel a pode causar falha de turbinas e motores de aeronaves 2 Vibração em máquinasferramentas durante corte de metal b causa desconforto em atividade humana 3 Vibração de pá e disco c pode fazer que rodas de locomotivas se afastem do trilho 4 Vibração induzida pelo vento d pode causar falha em pontes 5 Transmissão de vibração e pode dar origem a trepidação 17 Considere quatro molas com as constantes elásticas k₁ 20 lbin k₂ 50 lbin k₃ 100 lbin k₄ 200 lbin Ligue as constantes elásticas equivalentes 1 k₁ k₂ k₃ e k₄ estão em paralelo a 189189 lbin 2 k₁ k₂ k₃ e k₄ estão em série b 3700 lbin 3 k₁ e k₄ estão em paralelo keq k₁₂ c 117647 lbin 4 k₃ e k₄ estão paralelo keq k₃₄ d 3000 lbin 5 k₁ k₂ e k₃ estão em paralelo keq k₁₂₃ e 700 lbin 6 k₁₂₃ está em série com k₄ f 1700 lbin 7 k₂ k₃ e k₄ estão em paralelo keq k₂₃₄ g 3500 lbin 8 k₁ e k₂₃₄ estão em série h 918919 lbin PROBLEMAS Os problemas estão organizados da seguinte maneira Problemas Seção Tópico correspondente correspondente 11 a 16 16 Procedimento de análise de vibrações 17 a 129 17 Elementos de mola 113 129 a 134 18 Elementos de massa 135 a 142 19 Elementos de amortecimento 143 a 163 110 Movimento harmônico 164 a 175 111 Análise de harmônicas 176 a 180 112 Programas MATLAB 181 a 184 113 Programas em C 185 a 188 114 Programas em FORTRAN 189 a 194 Exercícios de projeto 11 O estudo da reação de um corpo humano sujeito à vibraçãochoque é importante em muitas aplicações Quando em pé as massas da cabeça parte superior do torso quadris e pernas e a elasticidadeamortecimento do pescoço coluna vertebral abdômen e pernas influenciam a resposta característica Desenvolva uma sequência de três aproximações melhoradas para modelar o corpo humano 12 A Figura 154 mostra um corpo humano e um sistema de cintos de segurança no momento da colisão de um automóvel 147 Sugira um modelo matemático simples considerando a elasticidade massa e amortecimento do banco do corpo humano e do sistema de cintos de segurança para uma análise de vibrações do sistema FIGURA 154 Um corpo humano e um sistema de cintos de segurança O asterisco denota um tipo de exercício de projeto ou um problema que não tem uma solução única 13 Um motor alternativo está montado sobre uma base como mostra a Figura 155 As forças e momentos de desbalanceamentos desenvolvidos no motor são transmitidos ao suporte e à base Uma proteção elástica é colocada entre o motor e o bloco da base para reduzir a transmissão da vibração Desenvolva dois modelos matemáticos do sistema usando um refinamento gradual do processo de modelagem 14 Um automóvel que trafega por uma estrada em mau estado Figura 156 pode ser modelado considerando a peso da carroceria passageiros bancos rodas da frente e rodas traseiras b elasticidade dos pneus suspensão molas principais e bancos e c amortecimento dos bancos absorvedores de choque e pneus Desenvolva três modelos matemáticos do sistema usando um refinamento gradual no processo de modelagem 15 As consequências de uma colisão frontal entre dois automóveis podem ser estudadas considerando o impacto do automóvel contra uma barreira como mostra a Figura 157 Construa um modelo matemático considerando as massas da carroceria do automóvel motor transmissão e suspensão e a elasticidade dos párachoques radiador carroceria em chapas metálicas sistema de transmissão e suportes do motor FIGURA 155 Um motor alternativo sobre uma base FIGURA 156 Um automóvel trafegando por uma rodovia em mau estado FIGURA 157 Colisão de um automóvel contra uma barreira 16 Desenvolva um modelo matemático para o trator e arado mostrados na Figura 158 considerando massa elasticidade e amortecimento dos pneus absorvedores de choque e arado lâminas