Lista de Exercícios de Vibrações Mecânicas-2019 1

Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Mecânica Disciplina de Vibrações Mecânicas Lista de Exercícios de Vibrações Mecânicas 05/05/2019 ---Prof. João M. da Silva Neto 1) Uma mola é sucessivamente carregada com massas diferentes, o deslocamento estático apresentado devido ao carregamento; é registrado para cada massa utilizada na distenção da mola (ver tabela abaixo). a) Calcule a frequência natural como base na rigidez média e na média das massas; b) compare o resultado desta frequência do item (a) com as freqüências naturais computadas uma a uma, ou seja, calcule a rigidez para o deslocamento imposto e obtenha a frequência natural por meio da massa que impôs este deslocamento utilizado no computo da rigidez. Considere g=9,81 m/s2. 2) Derive a solução da equação diferencial 𝑚𝑥 (𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 0. Se o sistema físico possui condições iniciais 𝑥 0 = 1 𝑚𝑚 𝑒 𝑥 0 = 5 𝑚𝑚/𝑠, mostre que as constantes 𝐶1 𝑒 𝐶2 da equação 𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 + 𝐶2𝑒𝑠2𝑡, são complexas. Considere 𝑚 = 1 𝑘𝑔 𝑒 𝑘 = 4 𝑁/𝑚. 3) O sistema de um grau de liberdade conforme a figura abaixo, não apresenta fricção entre a superfície e a massa do sistema. Derive a expressão da equação diferencial que governa o movimento do sistema. Considere 𝑥 como a coordenada generalizada que referencia a posição de equilíbrio. Considere 𝐹(𝑡) = 0 4) A amplitude de um sistema vibratório de um grau de liberdade sem amortecimento é medida, e o valor encontrado foi de 1 𝑚𝑚. O ângulo de fase medido para 𝑡 = 0, foi de 2 𝑟𝑎𝑑, e a frequência natural obtida foi de 5 𝑟𝑎𝑑/𝑠. Considerando os dados apresentados, determine as condições iniciais que causaram esta vibração, a saber: 𝑥0 𝑒 𝑥 0. 5) Um sistema não amortecido possui uma freqüência natural de 10𝐻𝑧 e amplitude de 1 𝑚𝑚, encontre os valores máximos para a velocidade e aceleração desse sistema. 6) Uma massa de 0,5 𝑘𝑔 está fixada uma mola linear de rigidez 0,25 𝑁/𝑚. Determine a freqüência natural desse sistema em Hertz. Encontre a freqüência natural, também em Hertz, para outro sistema similar com massa igual 375,0 𝑘𝑔 e rigidez igual 187,5 𝑁/𝑚. Compare os resultados e apresente as diferenças obtidas, se existirem. 7) Um simples sistema massa mola não amortecido oscila, com condições iniciais 𝑥0 = 0 𝑒 𝑥 0 = 100𝑚𝑚/𝑠. Se este sistema oscila com uma amplitude máxima de 10 𝑚𝑚, determine a sua freqüência natural. 8) Uma máquina oscila em um movimento harmônico, após esta ser modelada como um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento, sua aceleração foi registrada como 10.000,00 𝑚𝑚/𝑠2. Determine o máximo deslocamento da máquina se sua freqüência de oscilação é 8 𝐻𝑧. 9) A massa abaixo de 5 kg é largada sobre extremidade de uma viga engastada. Esta massa cai de uma altura, que pode ser desconsiderada visto a velocidade de impacto da massa na viga é de 5 m/s, conforme a figura abaixo. Após o impacto uma vibração livre é gerada na extremidade da viga onde a massa impactada permanece fixada na extremidade livre da viga. Determine a resposta de vibração livre desse sistema viga-massa, negligenciando a massa da viga e considerando o sistema como um sistema de um grau de liberdade equivalente. Encontre a equação das amplitudes de vibração do sistema, 𝑥 𝑡 , a ser representada na forma senoidal. Considere o Ev = 210 GPa; I = 3.10-6 m4; c = 0 e 𝑘𝑣 = 3𝐸𝐼 𝑙3 10) Um disco de massa 𝑚 e momento de inércia 𝐼 com unidade [𝑘𝑔. 𝑚2] está fixado à extremidade de um eixo de seção circular e comprimento 𝐿 conforme a figura abaixo. O eixo possui o segundo momento de área polar igual a 𝐽 com unidade de 𝑚4 e módulo de elasticidade ao cisalhamento de 𝐺 com unidade em 𝑃𝑎. Se um momento 𝑀(𝑡) é aplicado ao disco por um instante de tempo muito curto para provocar uma vibração torcional transiente, derive a equação dinâmica do movimento do sistema considerando uma vibração livre. 11) Derive a equação diferencial do movimento para um pêndulo simples. Mostre utilizando a série de Taylor em torno de 𝜃0 = 0 que para pequenos valores de 𝜃 pode-se utilizar a aproximação 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≅ 𝜃 𝑒 cos 𝜃 ≅ 1 . E que, neste caso, o valor de 𝜔𝑛 ≅ 𝑔 𝑙 12) Um sistema é composto por massa mola e polia, conforme a figura. Derive a equação diferencial que governa o deslocamento da massa apresentada, se a força 𝐹(𝑡) é apenas para provocar uma vibração livre. Considere a 𝑥 como a coordenada generalizada de referencia da posição de equilíbrio da massa e que para pequenos deslocamentos 𝑥 = 𝑟𝜃. 13) Para o sistema mecânico mostrado abaixo, considere a barra de massa m como rígida e fixada pelo seu centro de forma que possa girar em torno desse centro O. a) Determine a equação do movimento do sistema; b) Determine a massa equivalente, o coeficiente de amortecimento viscoso equivalente e a rigidez equivalente do sistema; c) Identifique o fator de amortecimento e a freqüência natural do sistema em termos dos parâmetros m, c, k e l. d) Para 𝑚 = 2 𝑘𝑔; 𝑘 = 50 𝑁 𝑚 ; 𝑐 = 0.25 𝑁. 𝑠 𝑚 𝑒 𝑙 = 25 𝑐𝑚 encontre o deslocamento angular 𝜃 𝑡 da barra, para as seguintes condições iniciais: 𝜃 0 = 0 𝑒 𝜃 0 = 10 𝑟𝑎𝑑 𝑠 . 14) Para o sistema a seguir mostrado logo abaixo, o disco de massa 𝑚 rola sem deslizar onde 𝑥 mede o deslocamento do disco em que a mola encontra-se não distendida. A superfície é inclinada em relação à horizontal de um ângulo ∅. a) Determine a equação do movimento; b) Se o sistema é subamortecido, qual é a frequência livre de vibração do sistema (frequência natural do sistema) em função dos parâmetros m, k e c; c) Para que valor da constante de amortecimento viscoso c, o sistema será criticamente amortecido; d) Qual o descolamento em 𝑥 que é equilíbrio estático, ou seja, 𝑥 = 𝛿𝑠𝑡. Determine o equilíbrio estático em função dos parâmetros 𝑚, 𝑔, ∅ 𝑒 𝑘. 15) Um disco fino de massa 𝑚 possui momento de inércia 𝐼 = 1 2 𝑚𝑟2, se a rigidez da mola é 𝑘 o a constante de amortecimento viscoso é 𝑐; e estes estão fixados ao centro de massa do disco (ver figura). Determine a equação diferencial do movimento do sistema para uma vibração livre, considerando que a coordenada generalizada 𝑥 que representa a posição de equilíbrio está no cento do disco e este não apresenta deslizamento em relação ao piso na horizontal. Considere 𝑥 = 𝑟𝜃.