Trabalho 1 Resolvido-2022 2

Vibrações Mecânicas TMEC031 - Prof. João M. da Silva Neto Aluno:________________________________________ GRR:____________ Trabalho I 1) O sistema abaixo é um sistema com dois graus de liberdade conforme a figura abaixo, as massas apresentam movimento segundo as coordenadas 𝑥1, 𝑒 𝑥2. As massas estão submetidas a forças de excitação do tipo 𝑃1, 𝑒 𝑃2, na mesma direção das coordenadas dos deslocamentos. Os valores das massas são respectivamente 5kg e 7kg. As rigidezes apresentadas são 𝑘1 = 500 𝑘𝑁 𝑚 , 𝑘2 = 1200 𝑘𝑁 𝑚 , 𝑘3 = 700 𝑘𝑁 𝑚 , 𝑘4 = 800 𝑘𝑁 𝑚 , 𝑘5 = 600 𝑘𝑁 𝑚 . Considere que as barras nas extremidades estão fixadas e não apresentam movimento em nenhuma direção. Determine os seguintes pontos, a saber: a) A equação diferencial do movimento dinâmico do sistema, na forma matricial. Mostre todos os passos necessários para a obtenção da mesma, inclusive o diagrama de corpo livre. b) Determine as freqüências naturais (autovalores) e os autovetores do problema em questão por meio da solução de um problema de autovalores utilizando a função eig do Matlab, e desconsidere o amortecimento para isso e faça uso do Matlab por meio da função eig. c) Refaça o problema anterior para a figura a baixo, e considere os seguintes parâmetros 𝑐1 = 5,1 𝑁𝑠 𝑚 , 𝑐2 = 7,6 𝑁𝑠 𝑚 , 𝑐3 = 4,5 𝑁𝑠 𝑚 , 𝑐4 = 3,6 𝑁𝑠 𝑚 𝑒 𝑐5 = 6.3 𝑁𝑠 𝑚 ; computando os autovalores dessa questão, com amortecimento. Para tal tarefa, use somente uma matriz A, que deverá ser calculada desta forma A = [0 I; -M-1K -M-1C]. . Universidade Federal do Paraná Setor de Tecnologia Departamento de Engenharia Mecânica Disciplina de Vibrações Mecânicas 2) O Sistema baixo, composto por massas, molas e amortecedores, representa um modelo vibratório da metade de um veículo automotor, do tipo BMW série. Este tipo de modelo é muito comum entre os projetistas, na avaliação do projeto das suspensões envolvidas. Se considerarmos o sistema apresentado, determine as seguintes proposições: a) o sistema de equações diferenciais do sistema na forma matricial; b) Determine as frequencias naturais não amortecidas do sistema (use o Matlab); c) Determine as frequências naturais amortecidas do sistema conforme o item c da primeira questão (use o Matlab); d) determine as funções resposta em frequência considerando os inputs (as entradas) na base do sistema. Considere 𝑦1 = 𝑓1 𝑡 𝑒 𝑦2 = 𝑓2(𝑡) Considere 𝐿 = 900 𝑚𝑚, 𝑣 = 60 𝑘𝑚/𝑕. Parâmetros do modelo 2𝑚 = 1375 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 , 2𝐼𝑦 = 1800 𝑘𝑔𝑚2 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 , 𝑚1 = 75 𝑘𝑔, 𝑚2 = 110 𝑘𝑔, 𝑘1 = 15 𝑁 𝑚𝑚 , 𝑘2 = 18 𝑁 𝑚𝑚 𝑒 𝑘𝑡1 = 𝑘𝑡2 = 170 𝑁 𝑚𝑚 , 𝑐1 = 𝑐2 = 170 𝑁𝑠 𝑚 . As dimensões 𝑎1 = 1400 𝑚𝑚 𝑒 𝑎2 = 1600 𝑚𝑚. Entrega dia 16/08/2022 (Pode ser feito em duplas). “Pode-se viver no mundo uma vida magnífica, quando se sabe trabalhar e amar; trabalhar pelo que se ama e amar aquilo em se trabalha." Léon Tolstói 1. a) O diagrama de corpo livre é: Bloco 1: A equação do movimento será dado pela segunda lei de Newton: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 → −𝑘1𝑥1 − 𝑐1𝑥1 ′ − 𝑘4𝑥1 − 𝑐4𝑥1 ′ − 𝑘2(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑐2(𝑥1 ′ − 𝑥2 ′) + 𝑃1 = 𝑚1𝑥1 ′′ −(𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘4)𝑥1 − 𝑘2𝑥2 − (𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐4)𝑥1 ′ − 𝑐2𝑥2 ′ + 𝑃1 = 𝑚1𝑥1 ′′ 𝑚1𝑥1 ′′ + (𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐4)𝑥1 ′ + 𝑐2𝑥2 ′ + (𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘4)𝑥1 + 𝑘2𝑥2 = 𝑃1 Bloco 2: A equação do movimento é: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 → 𝑘2(𝑥1 − 𝑥2) + 𝑐2(𝑥1 ′ − 𝑥2 ′) − 𝑘3𝑥2 − 𝑐3𝑥2 ′ − 𝑘5𝑥2 − 𝑐5𝑥2 ′ + 𝑃2 = 𝑚2𝑥2 ′′ 𝑘2𝑥1 − (𝑘2 + 𝑘3 + 𝑘5)𝑥2 + 𝑐2𝑥1 ′ − (𝑐2 + 𝑐3 + 𝑐5)𝑥2 ′ + 𝑃2 = 𝑚2𝑥2 ′′ 𝑚2𝑥2 ′′ − 𝑐2𝑥1 ′ + (𝑐2 + 𝑐3 + 𝑐5)𝑥2 ′ − 𝑘2𝑥1 + (𝑘2 + 𝑘3 + 𝑘5)𝑥2 = 𝑃2 Na forma matricial: [𝑚1 0 0 𝑚2] [𝑥1 ′′ 𝑥2 ′′] + [𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐4 𝑐2 −𝑐2 𝑐2 + 𝑐3 + 𝑐5] [𝑥1 ′ 𝑥2 ′] + [𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘4 𝑘2 −𝑘2 𝑘2 + 𝑘3 + 𝑘5] [𝑥1 𝑥2] = [𝑃1 𝑃2] [5 0 0 7] [𝑥1 ′′ 𝑥2 ′′] + [5,1 + 7,6 + 3,6 7,6 −7,6 7,6 + 4,5 + 6,3] [𝑥1 ′ 𝑥2 ′] + [(500 + 1200 + 800) ∗ 103 1,2 ∗ 106 −1,2 ∗ 106 (1200 + 700 + 600) ∗ 103] [𝑥1 𝑥2] = [𝑃1 𝑃2] [5 0 0 7] [𝑥1 ′′ 𝑥2 ′′] + [16,3 7,6 −7,6 18,4] [𝑥1 ′ 𝑥2 ′] + [ 2,5 ∗ 106 1,2 ∗ 106 −1,2 ∗ 106 2,5 ∗ 106] [𝑥1 𝑥2] = [𝑃1 𝑃2] b) O problema de autovalor pode ser solucionado encontrando a matriz A da seguinte forma: 𝐴 = 𝑀−1𝑘 A solução no MATLAB é: Os autovalores são λ1 = 4,2857 + 1,8984i e λ2 = 4,2857 – 1,8984i. E os autovetores: 𝑋1 = [ 0,7638 −0,2273 − 0,6041 𝑖] & 𝑋2 = [ 0,7638 −0,2273 + 0,6041 𝑖] c) Considerando o amortecimento a matriz A será, uma matriz 4x4, dada por: 𝐴 = [ 0 𝐼 −𝑀−1𝐾 −𝑀−1𝑐] Do MATLAB, temos: −𝑀−1𝐾 = [−500000 −240000 171429 −357143] −𝑀−1𝑐 = [ −3,26 −1,52 1,08571 −2,62857] → 𝐴 = [ 0 0 0 0 1 0 0 1 −500000 −240000 171429 −357143 −3,26 −1,52 1,08571 −2,62857 ] A solução no MATLAB é: Os autovalores e autovetores são: 𝜆12 = 1,4024 ± 6,7044 𝑖 & 𝜆34 = −1,4318 ± 6,6919 𝑖 𝑋1 = [ −0,0002 + 0,0011 𝑖 0,0009 − 0,0001 𝑖 0,7636 −0,2274 − 0,6043 𝑖 ] & 𝑋2 = [ −0,0002 − 0,0011 𝑖 0,0009 + 0,0001 𝑖 0,7636 −0,2274 + 0,6043 𝑖 ] 𝑋3 = [ 0,0002 + 0,0011 𝑖 −0,0009 − 0,0001 𝑖 0,7639 −0,2274 + 0,604 𝑖 ] & 𝑋4 = [ 0,0002 − 0,0011 𝑖 −0,0009 + 0,0001 𝑖 0,7639 −0,2274 − 0,604 𝑖 ] 2. O diagrama de corpo livre é: Para o bloco m1: ∑ 𝐹 = 𝑚1𝑥1 ′′ → −𝑘1(𝑥1 − 𝑥 − 𝑎1𝜃) − 𝑘𝑡1(𝑥1 − 𝑦1) − 𝑐′(𝑥1 ′ − 𝑥′ − 𝑎1𝜃′) = 𝑚1𝑥1 ′′ 𝑚1𝑥1 ′′ + 𝑐1𝑥1 ′ − 𝑐1𝑥′ − 𝑐1𝑎1𝜃′ + (𝑘1 + 𝑘𝑡1)𝑥1 − 𝑘1𝑥 − 𝑘1𝑎1𝜃 = 𝑘𝑡1 𝑦1 Para o bloco m2: ∑ 𝐹 = 𝑚2𝑥2 ′′ → −𝑘2(𝑥2 − 𝑥 − 𝑎2𝜃) − 𝑘𝑡2(𝑥2 − 𝑦2) − 𝑐2(𝑥2 ′ − 𝑥′ − 𝑎2𝜃′) = 𝑚2𝑥2 ′′ 𝑚2𝑥2 ′′ + 𝑐2𝑥2 ′ − 𝑐2𝑥′ − 𝑐2𝑎2𝜃′ + (𝑘2 + 𝑘𝑡2)𝑥2 − 𝑘2𝑥 − 𝑘2𝑎2𝜃 = 𝑘𝑡2 𝑦2 Para o bloco m: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑥′′ → 𝑘2(𝑥2 − 𝑥 − 𝑎2𝜃) + 𝑐2(𝑥2 ′ − 𝑥′ − 𝑎2𝜃′) + 𝑘1(𝑥1 − 𝑥 − 𝑎1𝜃) + 𝑐′(𝑥1 ′ − 𝑥′ − 𝑎1𝜃′) = 𝑚𝑥′′ 𝑚𝑥′′ − 𝑐1𝑥1 ′ − 𝑐2𝑥2 ′ + (𝑐1 + 𝑐2)𝑥′ + (𝑐1𝑎1 + 𝑐2𝑎2)𝜃′ − 𝑘1𝑥1 − 𝑘2𝑥2 + (𝑘1 + 𝑘2)𝑥 + (𝑘1𝑎1 + 𝑘2𝑎2)𝜃 = 0 Da conservação do momento: ∑ 𝑀 = 𝐽𝜃′′ → 𝑘2(𝑥2 − 𝑥 − 𝑎2𝜃)𝑎2 + 𝑐2(𝑥2 ′ − 𝑥′ − 𝑎2𝜃′)𝑎2 + 𝑘1(𝑥1 − 𝑥 − 𝑎1𝜃)𝑎1 + 𝑐′(𝑥1 ′ − 𝑥′ − 𝑎1𝜃′)𝑎1 = 𝐽𝜃′′ 𝐽𝜃′′ − 𝑐1𝑎1𝑥1 ′ − 𝑐2𝑎2𝑥2 ′ + (𝑐1𝑎1 + 𝑐2𝑎2)𝑥′ + (𝑐1𝑎1 2 + 𝑐2𝑎2 2)𝜃′ − 𝑘1𝑎1𝑥1 − 𝑘2𝑎2𝑥2 + (𝑘1𝑎1 + 𝑘2𝑎2)𝑥 + (𝑘1𝑎1 2 + 𝑘2𝑎2 2)𝜃 = 0 Na forma matricial (Sendo J = 2I. Da metade do veículo, J/2 = I): 𝑀𝑥′′ ⃗⃗⃗⃗ + 𝑐 𝑥′⃗⃗⃗ + 𝐾𝑥 = 𝐹 𝑀𝑥′′ ⃗⃗⃗⃗ = [ 𝑚1 0 0 𝑚2 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑚 0 0 𝐽 ] [ 𝑥1 ′′ 𝑥2 ′′ 𝑥′′ 𝜃′′ ] = [ 75 0 0 110 0 0 0 0 0 0 0 0 1375/2 0 0 1800/2 ] [ 𝑥1 ′′ 𝑥2 ′′ 𝑥′′ 𝜃′′ ] 𝑀𝑥′′ ⃗⃗⃗⃗ = [ 𝑚1 0 0 𝑚2 0 0 0 0 0 0 0 0 𝑚 0 0 𝐽 ] [ 𝑥1 ′′ 𝑥2 ′′ 𝑥′′ 𝜃′′ ] = [ 75 0 0 110 0 0 0 0 0 0 0 0 687,5 0 0 900 ] [ 𝑥1 ′′ 𝑥2 ′′ 𝑥′′ 𝜃′′ ] 𝑐 𝑥′⃗⃗⃗ = [ 𝑐1 0 0 𝑐2 −𝑐1 −𝑐1𝑎1 −𝑐2 −𝑐2𝑎2 −𝑐1 −𝑐2 −𝑐1𝑎1 −𝑐2𝑎2 𝑐1 + 𝑐2 𝑐1𝑎1 + 𝑐2𝑎2 𝑐1𝑎1 + 𝑐2𝑎2 𝑐1𝑎1 2 + 𝑐2𝑎2 2 ] [ 𝑥1 ′ 𝑥2 ′ 𝑥′ 𝜃′ ] 𝑐 𝑥′⃗⃗⃗ = [ 170 0 0 170 −170 −238 −170 −272 −170 −170 −238 −272 340 510 510 768,4 ] [ 𝑥1 ′ 𝑥2 ′ 𝑥′ 𝜃′ ] 𝐾𝑥 = [ 𝑘1 + 𝑘𝑡1 0 0 𝑘2 + 𝑘𝑡2 −𝑘1 −𝑘1𝑎1 −𝑘2 −𝑘2𝑎2 −𝑘1 −𝑘2 −𝑘1𝑎1 −𝑘2𝑎2 𝑘1 + 𝑘2 𝑘1𝑎1 + 𝑘2𝑎2 𝑘1𝑎1 + 𝑘2𝑎2 𝑘1𝑎1 2 + 𝑘2𝑎2 2] [ 𝑥1 𝑥2𝑥 𝜃 ] 𝐾𝑥 = [ 0,185 0 0 0,188 −0,015 −0,021 −0,018 −0,0288 −0,015 −0,018 −0,021 −0,0288 0,033 0,0498 0,0498 0,07548 ] [ 𝑥1 𝑥2𝑥 𝜃 ] a) → [ 75 0 0 110 0 0 0 0 0 0 0 0 687,5 0 0 900 ] [ 𝑥1 ′′ 𝑥2 ′′ 𝑥′′ 𝜃′′ ] + [ 170 0 0 170 −170 −238 −170 −272 −170 −170 −238 −272 340 510 510 768,4 ] [ 𝑥1 ′ 𝑥2 ′ 𝑥′ 𝜃′ ] + [ 0,185 0 0 0,188 −0,015 −0,021 −0,018 −0,0288 −0,015 −0,018 −0,021 −0,0288 0,033 0,0498 0,0498 0,07548 ] [ 𝑥1 𝑥2𝑥 𝜃 ] = [ 𝐾𝑡1𝑦1 𝑘𝑡2𝑦2 0 0 ] b) Determinando os autovalores (frequência natural não amortecida) através do MATLAB: c) Considerando o amortecimento a matriz A será, uma matriz 8x8, dada por: 𝐴 = [ 0 𝐼 −𝑀−1𝐾 −𝑀−1𝑐] = [0 𝐼 𝐷 𝐸] Do MATLAB, temos: >> D = -B D = -0.002466666666667 0 0.002000000000000 0.002280000000000 0 -0.001709090909091 0.000163636363636 0.000261818181818 0.000218181818182 0.000261818181818 -0.000400000000000 -0.000872436363636 0.000233333333333 0.000032000000000 -0.000553333333333 -0.000083666666667 >> E = -inv(M)*c E = -2.266666666666667 0 2.266666666666667 3.173333333333333 0 -1.545454545454545 1.545454545454545 2.472727272727273 0.247272727272727 0.247272727272727 -0.494545454545455 -0.741818181818182 0.264444444444444 0.302222222222222 -0.566666666666667 -0.853777777777778 A matriz A é: >> A = [H;J] A = Columns 1 through 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.002466666666667 0 0.002000000000000 0.002280000000000 0 -0.001709090909091 0.000163636363636 0.000261818181818 0.000218181818182 0.000261818181818 -0.000400000000000 -0.000872436363636 0.000233333333333 0.000032000000000 -0.000553333333333 -0.000083666666667 Columns 5 through 8 1.000000000000000 0 0 0 0 1.000000000000000 0 0 0 0 1.000000000000000 0 -2.266666666666667 0 2.266666666666667 1.000000000000000 0 -1.545454545454545 1.545454545454545 0 0.247272727272727 0.247272727272727 -0.494545454545455 0 0.264444444444444 0.302222222222222 -0.566666666666667 0 >> [autoVetor,autoValor] = eig(A) d) Considerando a entrada como uma função senoidal: 𝑦1 = 𝑦2 = 𝑌 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) Sendo: 𝜔 = 2𝜋 𝑇 , 𝑇 = 𝐿 𝑉 = 0,9 (60 000 3600 ) = 0,054𝑠 𝜔 = 2𝜋 𝑇 = 2𝜋 0,054 = 116,35 Supondo uma amplitude de 50mm: 𝑦1 = 𝑦2 = 0,05 ∗ 𝑠𝑒𝑛(116,35𝑡)