Introdução à Álgebra Linear: Estruturas e Aplicações

Universidade Federal do Piauı Campus Senador Helvıdio Nunes de Barros Curso de Graduacao em Matematica Algebra Linear Joao Santos Andrade Picos 2023 Sumario Introducao 1 1 Prerequisitos 2 11 Equacoes Lineares 2 12 Sistemas Lineares 2 13 Matrizes 4 14 Matrizes e Sistemas Lineares 10 2 Espacos Vetoriais 12 21 Introducao 12 22 Espaco Vetorial 13 3 Subespacos Vetorial 20 31 Definicao e exemplos 20 32 Subespaco Gerado 23 33 Soma de Subespacos 25 4 Base 27 41 Dependˆencia e Independˆencia Linear 27 42 Base de espaco vetorial 30 43 Dimensao de um espaco vetorial 32 44 Mudanca de Base 34 5 Transformacoes Lineares 36 51 Aplicacoes 36 52 Transformacoes Lineares 38 53 Nucleo e Imagem 42 1 Sumario 2 54 Isomorfismos 46 55 Matriz de uma Transformacao Linear 49 6 Espacos com Produto Interno 51 61 Produto Interno 51 62 Norma 53 63 Distˆancia 54 64 ˆAngulo 55 65 Ortogonalidade 56 66 Projecao Ortogonal 57 67 Complemento Ortogonal 61 68 Isometria 62 Introducao Algebra Linear e o estudo dos espacos vetoriais e das transformacoes lineares en tre eles Quando os espacos tˆem dimensoes finitas as transformacoes lineares possuem matrizes Tambem possuem matrizes as formas bilineares e mais particularmente as formas quadraticas Assim a Algebra Linear alem de vetores e transformacoes linea res lida tambem com matrizes e formas quadraticas Sao numerosas e bastante variadas as situacoes em Matematica e em suas aplicacoes onde esses objetos ocorrem Daı a importˆancia central da Algebra Linear no ensino da Matematica A algebra linear e de fato uma das ferramentas mais importantes versateis e uteis da matematica Tambem e considerada como conhecimento elementar nao so para ma tematicos mas para diversos profissionais tais como engenheiros economistas fısicos cientistas da computacao programadores estatısticos biologos entre outros Para iniciar os estudos em algebra linear e necessario ter um contato previo com a geometria analıtica ter nocoes sobre sistemas de equacoes lineares matrizes determinantes e tambem sobre vetores Uma vez habituado com estes temas e possıvel aprender conteudos mais apro fundados em algebra linear 1 Capıtulo 1 Prerequisitos Neste capıtulo faremos um estudo sobre os sistemas lineares e matrizes sobre o conjunto R dos numeros reais 11 Equacoes Lineares Uma equacao do tipo α1x1 α2x2 αnxn β 11 e chamada equacao linear sobre R nas incognitas x1 x2 xn onde α1 α2 αn R e n 1 Uma solucao de 11 e uma sequˆencia de n numeros reais indicada por b1 b2 bn tal que α1b1 α2b2 αnbn β 12 Exemplo 1 Dada a equacao 2x1 x2 x3 1 a terna ordenda 1 1 0 e uma soluacao dessa equacao 12 Sistemas Lineares Um sistema de m equacoes lineares com n incognitas m n 1 e um conjunto de m equacoes lineares cada uma com com n icognitas consideradas simultaneamente 2 Capıtulo 1 Prerequisitos 3 Representacao S a11x1 a1nxn β1 a21x1 a2nxn β2 am1x1 amnxn βm Uma solucao de S e uma nupla b1 b2 bn de numeros reais que e solucao de cada uam das equacoes de S Se β1 β2 βm 0 dizemos que S e homogˆeneo S a11x1 a1nxn 0 a21x1 a2nxn 0 am1x1 amnxn 0 A nupla 0 0 0 e solucao do sistema homogˆeneo S Chamada solucao trivial Exemplo 2 S 2x y z 1 x 2y 6 uma solucao de S e 0 3 4 Note que essa solucao nao e unica pois 8 5 11 5 0 e tambem solucao de S Quanto a solucao um sistema linear pode ser classificado da seguinte forma Sistema linear incompatıvel nao admite solucao Sistema linear compatıvel admite solucao i determinado possui uma unica solucao Capıtulo 1 Prerequisitos 4 ii Indeterminado possui infinitas solucoes Sistemas escalonadas um sistema linear da forma abaixo e um sistema linear escalo nado S a1r1x1 a1nxn β1 a2r2xr2 a2nxn β2 akrkx1 aknxn βk 0xn βk1 onde a1r1 0 a2r2 0 akrk 0 e cada ri 1 Observacao 1 Em um sistema escalonado o numero de coeficientes iniciais nulos0 em cada equacao a partir da segunda e maior que na anterior O sistema original e o sistema escalonado sao chamados sistemas equivalentes e possuem as mesmas solucoes Exemplo 3 O sistema abaixo e um sistema linear na forma escalonado 2x y 3t 0 z t 1 2t 2 Exercıcio 1 Determine a de modo que o sistema x 2y 3z 4 5x 6y 7z 8 6x 8y az 12 seja indeterminado E tambem o valor de a para que o sistema seja determinado 13 Matrizes Chamase matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas Mais preci samente dados m n 1 numeros inteiros uma matriz m n e uma dupla sequˆencia de Capıtulo 1 Prerequisitos 5 numeros reais distribuıdas em m linhas e n colunas formando uma tabela que se indica do seguinte modo a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn Observacao 2 Os elementos de uma matriz podem ser numeros reais ou complexos funcoes ou ainda outras matrizes Vejamos algumas observacoes importantes para melhor compreensao das matrizes Notacao aij ou aij com 1 i m e 1 j n MmnR conjunto das matrizes reais m n Se m n usase MnR conjunto das matrizes quadradas a11 uma matriz 1 1 se identifica com o numero a11 Exemplo 4 A matriz A 1 0 1 3 0 4 e uma matriz 3 2 Logo A M32R Exemplo 5 A matriz B 1 0 3 1 3 5 0 4 6 e uma matriz quadrada 3 3 Logo B M3 Igualdade de matrizes Consideremos as matrizes A aij e B bij MmnR entao A B aij bij onde i 1 2 m e j 1 2 n Capitulo 1 Prérequisitos 6 3 1 logl 9 sinZ OY Exemplo 6 As matrizes A eB sao iguais 2 22 5 2 4 5 Tipos Especiais de Matrizes e Matriz linha toda matriz 1 x n an aig ain e Matriz coluna toda matriz m x 1 ai1 a21 Omi e Matriz nula Possui todos aj 0 00 0 00 0 O 00 0 e Matriz quadrada quantidade de linhas igual a quantidade de colunas Qi Gig Gin M21 G22 dan Oni Gn2 Ann e Matriz triangular superior toda matriz quadrada tal que aj 0 sei j Qi1 Gig Gin QO dg an 0 0 Ann Capıtulo 1 Prerequisitos 7 Matriz triangular inferior toda matriz quadrada tal que aij 0 se i j a11 0 0 a21 a22 0 an1 an2 ann Matriz diagonal toda matriz quadrada tal que aij 0 se i j a11 0 0 0 a22 0 0 0 ann A Matriz quadrada In 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e chamada de matriz identidade Matriz simetrica toda matriz quadrada tal queaij aji 2 1 1 0 5 1 3 1 0 2 3 2 1 In toda matriz diagonal Matriz Antissimetrica toda matriz quadrada tal que aij aji 0 1 1 0 0 4 8 4 0 1 8 1 0 matriz quadrada nula Matriz escada ou escalonada e toda matriz tal que 1 as possıveis linhas nulas ficam abaixo da possıveis linhas nao nulas Capıtulo 1 Prerequisitos 8 2 os demais termos da coluna a qual o primeiro o termo nao nulo de uma linha nao nula sao todos nulos 3 a coluna a qual pertence o primeiro termo nao nulo de uma linha nao nula fica a direita da coluna a qual pertence o primeiro termo nao nuloda linha anterior Exemplo 7 Veja alguns exemplos de matrizes escalonadas 2 1 0 3 1 4 8 1 0 0 1 5 0 0 0 0 1 3 7 2 0 2 5 1 0 0 1 7 0 0 0 3 In O Observacao 3 Toda matriz e linha equivalente a uma matriz na forma escada Operacoes com Matrizes Considere as matrizes A aij e B bij MmnR Adicao de Matrizes A B a11 b11 a12 b12 a1n b1n a21 b21 a22 b22 a2n b2n am1 bm1 am2 bm2 amn bmn Observacao 4 A B aij bij aij bij MmnR Exemplo 8 Sejam A 1 2 1 0 1 2 e B 0 1 2 2 4 7 entao A B 1 0 2 1 1 2 0 2 1 4 2 7 1 3 1 2 5 9 Propriedades Sejam A B C MmnR e α β R entao vale as seguintes propriedades I Associativa A B C A B C II Comutativa A B B A Capıtulo 1 Prerequisitos 9 III Elemento Neutro A O O A A IV Elemento Oposto AA AA O onde A aij e a matriz oposta de A aij Entao A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn Exercıcio 2 Prove as propriedades de adicao de matrizes Multiplicacao de uma Matriz por um Numero Sejam A aij MmnR e α R Entao o produto de α por A e definido por αA αa11 αa12 αa1n αa21 αa22 αa2n αam1 αam2 αamn Observacao 5 αA αaij αaij MmnR Exemplo 9 B 0 1 2 2 4 7 temos 2B 0 2 4 4 8 14 Propriedades Sejam A B MmnR e α β R entao vale as seguintes proprie dades I αβA αβA II α βA αA βA III αA B αA αB IV 1A A Capıtulo 1 Prerequisitos 10 Exercıcio 3 Prove as propriedades de multiplicacao de matrizes por um numero real Observacao 6 As operacoes de adicao de matrizes e multiplicacao de uma matriz por um numero definidas no conjunto das matrizes MmnR sao chamadas de operacoes usuais Multiplicacao de Matrizes Sejam A aij uma matriz m n e B bjk uma matriz n p A matriz A B cik e chamada de matriz produto das matrizes A e B onde cik ai1b1k ai2b2k ainbnk Exemplo 10 2 1 4 2 5 3 32 1 1 0 4 22 2 1 1 0 2 1 1 4 4 1 2 0 4 1 2 4 5 1 3 0 5 1 3 4 32 Exercıcio 4 Mostre com um exemplocontraexemplo que a multiplicacao de matrizes nao e comutativa isto e A B B A Alem disso note que A B O sem que A O ou B O Em seguida enuncie algumas propriedade que sao validas para o produto de matrizes 14 Matrizes e Sistemas Lineares S a11x1 a1nxn β1 a21x1 a2nxn β2 am1x1 amnxn βm A esse sistema linear S associamos as seguintes mtrizes X x1 x2 xn A a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann e B β1 β2 βm Capıtulo 1 Prerequisitos 11 matrizes respectivamente das incognitas dos coeficientes e dos termos independentes tais que A X B A seguinte matriz C a11 a12 a1n β1 a21 a22 a2n β2 an1 an2 ann βm e chamada matriz aumentada do sistema S Observacao 7 Para resolver o sistema S e suficiente escalonar a matriz aumentada de S Exemplo 11 Resolva o sistema abaixo usando escalonamento de matrizes x 2y 3z 4 5x 6y 7z 8 6x 8y az 12 Capıtulo 2 Espacos Vetoriais 21 Introducao Neste capıtulo introduziremos o conceito de espaco vetorial que sera usado em todo o decorrer do curso A nocao de espaco vetorial e a base do estudo que faremos e o terreno onde se desenvolve toda a Algebra Linear Porem antes de apresentarmos a definicao de espaco vetorial passemos a analisar em paralelo o seguinte objeto o conjunto das matrizes de ordem m n com coe ficientes reais que denotaremos por MmnR ou simplesmente por Mmn Dadas as matrizes A B C MmnR e α β R mostramos no capıtulo anterior que as seguintes propriedades sao satisfeitas com as operacoes usuais Propriedades I Associativa A B C A B C II Comutativa A B B A III Elemento Neutro A O O A A IV Elemento Oposto A A A A O V αβA αβA VI α βA αA βA VII αA B αA αB 12 Capitulo 2 Espacos Vetoriais 13 VIII 1AA Assim MyynR apresenta uma estrutura importante com as operacoes de adicao de matrizes e a multiplicagao de matrizes por um ntmero real definidas sobre ele MinxnR é um espago vetorial real 22 Espaco Vetorial Um conjunto E 4 munido de uma adigao e de uma multiplicagao por escalarntimero real uyvEeEHutveeE VEEAMECRH AEE é um espaco vetorial real quando para quaisquer uvw Ee af R as seguintes propriedades axiomas de espaco vetorial sao satisfeitas 1 Associativa u vw uvw 2 Comutativa uvvu 3 Elemento Neutro Existe em E um elemento neutro para essa adicao denotado por o tal que uoouUuUu 4 Elemento Oposto Para todo u E existe u E tal que u u uwu O 5 xBu aBu 6 a Bu aus Bu 7 Xuttv aut av 8 luu Capıtulo 2 Espacos Vetoriais 14 Observacao 8 Segue algumas observacoes relativas a definicao de Espacos Vetoriais i αu α u ii E comum chamarmos os elementos de um espaco vetorial de vetores independente mente da natureza dos mesmos Tambem chamamos de escalares os numeros reais quando estes desempenham o seu papel na acao de multiplicar um vetor iii A rigor a definicao de espaco vetorial que demos acima se refere a espacos vetoriais reais visto que estamos permitindo que os escalares sejam apenas numeros reais A nocao de espaco vetorial complexo pode ser feita naturalmente a partir da definicao acima com as devidas mudancas Exemplo 12 O conjunto E MmnR e um espaco vetorial real com as operacoes usuais Exemplo 13 O conjunto E R com as operacoes usuais de numeros reais e um espaco vetorial real a b R e ab a b R Isto e para quaisquer a b c R valem 1 a b c a b c 2 a b b a 3 a 0 0 a a 4 a a a a 0 5 abc abc 6 a bc ac bc 7 ab c ab ac 8 1a a Exemplo 14 Seja E R2 x y x y R onde u x1 y1 v x2 y2 w x3 y3 R2 e α β R o 0 0 e u x1 y1 Considere em R2 as operacoesusuais u v x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 αu αx1 y1 αx1 αy1 Com essas duas operacoes e facil ver que R2 e um espaco vetorial real Capıtulo 2 Espacos Vetoriais 15 Prova 1 De fato 1 u v w x1 y1 x2 x3 y2 y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 e u v w x1 x2 y1 y2 x3 y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 Portanto u v w u v w 2 u v x1 x2 y1 y2 x2 x1 y2 y1 v u Portanto u v v u 3 u o x1 y1 0 0 x1 0 y1 0 x1 y1 u Portante u o u 4 u u x1 y1 x1 y1 x1 x1 y1 y1 0 0 o 5 αβu αβx1 y1 αβx1 βy1 αβx1 αβy1 αβx1 αβy1 αβx1 y1 αβu Logo αβu αβu Capıtulo 2 Espacos Vetoriais 16 6 α βu α βx1 y1 α βx1 α βy1 αx1 βx1 αy1 βy1 αx1 αy1 βx1 βy1 αu βu Logo α βu αu βu 7 αu v αx1 x2 y1 y2 αx1 x2 αy1 y2 αx1 αx2 αy1 αy2 αx1 αy1 αx2 αy2 αu αv Logo αu v αu αv 8 1u 1x1 y1 1 x1 1 y1 x1 y1 u Portanto R2 com essa duas operacoesusuais de adicao e multiplicacao por esca larnumero real e um espaco vetorial real Exemplo 15 O conjunto E R2 com as operacoes x1 y1 x2 y2 x1 x2 0 αx y αx αy e um espaco vetorial Prova 2 1 u v w x1 y1 x2 y2 x3 y3 x1 y1 x2 x3 0 x1 x2 x3 0 e Capıtulo 2 Espacos Vetoriais 17 uvw x1 y1x2 y2 x3 y3 x1x2 0x3 y3 x1x2x3 0 Logou v w u v w 2u v x1 y1 x2 y2 x1 x2 0 x2 x1 0 v u 3 u o x1 y1 0 0 x1 0 0 x1 0 x1 y1 u se y1 0 Por exemplo u 1 2 temos u o 1 0 0 1 0 1 2 u Portanto R2 com essas operacoes nao e um espaco vetorial Valem num espaco vetorial real como o consequˆencia direta da definicao de espaco vetorial real as regras operacionais habitualmente usadas nas manipulacoes numericas Na proposicao seguinte veremos algumas delas Proposicao 1 Seja E um espaco vetorial real entao valem as seguintes propriedades operacionais 1 Se w u w v entao u v 2 i Se w u w entao u o ii Se w u o entao u w 3 αo o 4 0u o 5 Se α 0 e u o entao αu o 6 Se αu o entao α 0 ou u o 7 1v v 8 temse i αu αu ii αu αu iii αu αu Capıtulo 2 Espacos Vetoriais 18 Observacao 9 Segue da Proposicao 1 propriedade 2 que o vetor nulo e o vetor oposto do espaco vetorial E sao unicos Alem disso a propriedade 7 permite definir a diferenca de vetores em E por u v u v Assim u v w u v w Exercıcios 1 Seja R3 x y z x y z R a Defina operacoes de adicao e multiplicacao por escalarnumero real em R3 b Verifique se com essas operacoes o conjunto R3 e um espaco vetorial 2 a Defina o espaco Rn b Defina operacoes de adicao e multiplicacao por escalarnumero real em Rn c Defina vetor nuloelemento neutro da adicao e oposto d Verifique se com essas operacoes o espaco Rn e um espaco vetorial 3 Sejam U e V espacos vetoriais Mostre que U V u v u U e v V e um espaco vetorial em relacao as operacoes u1 v1 u2 v2 u1 u2 v1 v2 αu v αu αv Capıtulo 2 Espacos Vetoriais 19 4 Defina operacoes em R2 por x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 αx y αx 0 Com essas operacoes R2 e um espaco vetorial Justifique sua resposta 5 Seja X um conjunto nao vazio qualquer O sımbolo FX R representa o conjunto de todas as funcoes reais f g X R Ele se torna um espaco vetorial quando se definem a soma f g de duas funcoes e o produto por escalar α f do numero α por f da seguinte maneira f gx fx gx e αfx αfx 6 Seja E u R u 0 com as seguintes operacoes Adicao u v uv para quaisquer u v V Multiplicacao por escalar αu uα para todo u V e todo α R Mostre que com essas duas operacoes temos que E e um espaco vetorial real 7 Seja PnR o conjunto dos polinˆomios reais de grau n mais o polinˆomio nulo Dados px a0 a1x a2x2 anxn qx b0 b1x b2x2 bnxn PnR e α R considere em PnR as seguintes operacoes px qx a0 b0 a1 b1x a2 b2x2 an bnxn R αpx αa0 αa1x αa2x2 αanxn PnR Mostre que PnR e um espaco vetorial Capıtulo 3 Subespacos Vetorial As vezes e necessario detectar dentro de um espaco vetorial E subconjuntos F que sejam eles proprios espacos vetoriais menores ou seja os subconjuntos F do espaco vetorial E possuem a propriedade de que a soma de dois de seus elementos e um elemento do proprio subconjunto bem como quando multiplicamos um elemento do subconjunto F por um escalar o resultado continua pertencendo a F Tais conjuntos serao chamados de subespacos vetoriais de E 31 Definicao e exemplos Definicao 1 Seja E um espaco vetorial Um subespaco vetorial ou simplesmente um subespaco de E e um subconjunto F de E com as seguintes propriedades 1 o F 2 Se u v F entao u v F 3 Se v F entao αv F para todo α R Observacao 10 1 A condicao 1 da definicao acima garante que o vetor nulo do espaco E sempre estara no subespaco F 2 As condicoes 2 e 3 da definicao garantem que ao operarmos a soma e a multiplicacao por escalar em F nao obtemos um vetor for de F 20 Capıtulo 3 Subespacos Vetorial 21 Proposicao 2 Se F e um subespaco vetorial de E entao F e um espaco vetorial Prova 3 Pela Observacao acima basta ver que para todo u F temse u F De fato tome α 1 na condicao 3 entao u 1u F Exemplo 16 F o e F E sao subespacos triviais de Eprove Exemplo 17 Seja E R2 e v x y R2 nao nulo entao F αv R2 α R e um subespaco vetorial do R2 F α1 1 α R Exemplo 18 E R3 e F x y z R3 x y 0 Entao F e um subespaco vetorial do R3 Capıtulo 3 Subespacos Vetorial 22 Exemplo 19 Sejam a1 a2 an R O conjunto H v x1 x2 xn Rn a1x1 a2x2 anxn 0 e um subespaco vetorial de Rn chamado hiperplano de Rn Proposicao 3 Sejam F1 e F2 subespacos vetoriais de um espaco vetorial E entao F1 F2 e tambem subespaco de E Observacao 11 E facil mostra que se F1 F2 Fn subespacos vetoriais de um espaco vetorial E entao F1 F2 Fn e tambem subespaco de E Exemplo 20 Considere o seguinte sistema linear S 2x 4y z 0 x y 2z 0 x 3y z 0 O conjunto solucao F do sistema linear S e um subespaco vetorial do R3 Exemplo 21 E R2 e F x x2 R2 x R Escolhendo u 1 1 e v 2 4 em F temos u v 3 5 F Portanto F nao e subespaco vetorial do R2 Capıtulo 3 Subespacos Vetorial 23 Exemplo 22 E R3 e F x y 1 R3 x y R se entao F nao e subespaco vetorial do R3 De fato o 0 0 0 F Por que 32 Subespaco Gerado Definicao 2 Sejam E um espaco vetorial real v1 v2 vn E e a1 a2 an R Entao o vetor v a1v1 a2v2 anvn e um elemento de E chamado de COMBINAC AO LINEAR de v1 v2 vn Exemplo 23 u 1 2 3 v 4 5 6 e w 7 8 9 vetores em R3 temos que 7 8 9 24 5 6 11 2 3 w 2v 1u Logo w e combinacao linear de v e u Seja E um espaco vetorial real e S v1 v2 vn E Considere o seguinte conjunto gerado por S S a1v1 a2v2 anvn a1 a2 an R o conjunto de todas as combinacoes de v1 v2 vn E facil provar que S e um subespaco de E De fato 1 Como o 0v1 0v2 0vn entao o S Capıtulo 3 Subespacos Vetorial 24 2 Se u a1v1 a2v2 anvn e v b1v1 b2v2 bnvn Entao u v a1v1 a2v2 anvn b1v1 b2v2 bnvn a1 b1v1 a2 b2v2 an bnvn Logo u v S 3 Se u a1v1 a2v2 anvn e α R Entao αu αa1v1 a2v2 anvn αa1v1 αa2v2 αanvn Logo αu S Definicao 3 O subespaco vetorial S de E e chamado de subespaco gerado por S Observacao 12 i Notacao S v1 v2 vn subespaco gerado por v1 v2 vn ii o iii Se S E for infinito temos que u S se e somente se existem v1 v2 vt S e a1 a2 at R tais que u a1v1 a2v2 atvt Definicao 4 Dizemos que um espaco vetorial E e FINITAMENTE GERADO se existe S E finito tal que S E Explicitamente um conjunto S e um conjunto de geradores do espaco vetorial quando para todo vetor de w E pode exprimirse como combinacao linear w a1v1 a2v2 anvn de vetores v1 v2 vn pertencentes a S Exemplo 24 Considere o conjunto S 1 0 0 0 1 0 0 0 1 em R3 Entao para todo x y z R3 temos que Capıtulo 3 Subespacos Vetorial 25 x y z x1 0 0 y0 1 0 z0 0 1 x y z R Portanto 1 0 0 0 1 0 0 0 1 S R3 33 Soma de Subespacos Considere os subespaco vetoriais F1 1 1 e F2 1 1 de R2 Note que F1 F2 nao e subespaco vetorial de R2 De fato para u1 1 F1 e v 1 1 F2 temos que u v 0 2 F1 F2 Com isso concluımos que a uniao de subespacos vetoriais nem sempre e um subespaco vetorial Porem veremos que a uniao gera um subespaco vetorial chamado soma de subespacos Definicao 5 Sejam F1 e F2 subespacos vetoriais de um espaco vetorial E Indicaremos por F1 F2 e chamamos de SOMA de F1 com F2 o seguinte subconjunto de E F1 F2 u v E u F1 e v F2 Observacao 13 1 F1 F2 F2 F1 2 F1 o F1 3 F1 F1 F2 e F2 F1 F2 Proposicao 4 Se F1 e F2 subespacos vetoriais de um espaco vetorial E entao F1 F2 e subespaco vetorial de E Definicao 6 Sejam F1 e F2 subespacos vetoriais de um espaco vetorial E tais que F1F2 o escrevese F1 F2 em vez de F1 F2 e dizse que F F1 F2 e SOMA DIRETA de F1 e F2 Observacao 14 Note que sempre O F1 F2 se F1 e F2 forem subespacos vetoriais Entao para mostrar que a soma e direta devese mostrar que essa intersecao e somente o espaco nulo Capıtulo 3 Subespacos Vetorial 26 Exemplo 25 F1 x 0 R2 x R e F2 0 y R2 y R temos que R2 F1 F2 Isto e R2 e soma direta de F1 e F2 Exemplo 26 Considere os subespacos F1 x y z R3 x y 0 e F2 x y z R3 x 0 do R3 Sera que R3 e soma direta de F1 e F2 Proposicao 5 Sejam F1 e F2 subespacos vetoriais de um espaco vetorial E Entao E F1F2 se e somente se cada vetor w E admite uma unica decomposicao w uv com u F1 e v F2 Capıtulo 4 Base Nosso objetivo principal aqui e mostrar que em todo espaco vetorial finitamente gerado E existe um subconjunto B finito tal que todo elemento de E e combinacao linear de uma unica maneira desse conjunto Alem disso todo subconjunto de E que tˆem esse propriedade possuem o mesmo numero de elementos 41 Dependˆencia e Independˆencia Linear No capıtulo anterior ao estudarmos os geradores de um espaco vetorial procuramos encontrar um determinado conjunto de vetores de modo que qualquer vetor do espaco em questao pudesse ser escrito como combinacao linear dos vetores deste conjunto Note que se E u v entao para cada w E existem numeros reais α e β tal que w αu βv Entao αu βv 1w 0 implicando que a combinacao linear acima e nula embora nem todos os escalares que aparecem na sua formacao sao nulos Por outro lado nao e possıvel encontrar numeros reais α β e γ nao todos nulos de modo que α1 0 0 β0 1 0 γ0 0 1 0 0 0 Isto significa que nao e possıvel escrever nenhum dos vetores acima como combinacao 27 Capıtulo 4 Base 28 linear dos outros dois Isto contraria o que ocorre com os vetores u v e w acima Neste sentido os vetores do primeiro exemplo guardam uma certa dependˆencia entre um e outro enquanto que no segundo os trˆes vetores sao independentes Vejamos com as definicoes e exemplos que seguem como podemos tornar estes con ceitos mais precisos Definicao 7 Seja E um espaco vetorial real Dizemos que um conjunto X u1 u2 un E e linearmente independenteLI se e somente se uma igualdadecombinacao linear nula do tipo α1u1 α2u2 αnun 0 e possıvel somente quando α1 α2 αn 0 onde α1 αn R Exemplo 27 O conjunto X 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 R4 e LI Exemplo 28 Verifique se o conjunto X 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 e LI Exemplo 29 Os vetores u 1 2 3 v 4 5 6 e w 7 8 9 do R3 sao LI Definicao 8 Dizemos que um conjunto X u1 u2 un E e linearmente depen denteLD se e somente se X nao e LI ou seja uma igualdadecombinacao linear nula do tipo α1u1 α2u2 αnun 0 e possıvel somente quando algum αi 0 Observacao 15 A definicao acima significa que algum ui e combinacao linear dos ou tros Por exemplo se α1 0 temse u1 α2 α1 u2 αn α1 un Com isso convencionamos que o conjunto vazio E e LI Exemplo 30 Os vetores u 1 2 3 v 4 5 6 e w 7 8 9 do R3 sao LD pois w 2v u Observacao 16 Quando os vetores v1 v2 vn sao LD isto nao significa que qualquer um deles seja combinacao linear dos demais Veja o exemplo abaixo Capitulo 4 Base 29 Exemplo 31 Os vetores u 12v 34 e w 48 do R sao LD ou seja uvw é LD pois w 4u Ov Por outro lado v nao combinacao linear de u e w Exemplo 32 O conjunto X 1100 0 100 2100 c R é LD Exemplo 33 a O conjunto X 1xx2 x 2x Cc PR é LD b Mostre que qualquer subconjunto com trés elementos de X LI Proposigao 6 Seja E um espaco vetorial V1 V2Vm vetores LI deb Sev av X2Vo XnVn V Bivi Bove BmVm entao oo B1n Bm Demonstragao De fato pelas duas combinacoes lineares de v temos que X1Vi XgV2 AmVm Bivi Bevo BmVm Entao x Bivy 2 Bavo Om BimVm 0 Sendo v1 V2 Vm vetores LI segue que Bi PoAnfhm 0 O Teorema 1 Seja E espaco vetorial Um conjunto X v1V2Vn C E LD se e somente se um destes for combinacao linear dos outros Demonstracao Suponha que X seja LD entaéo para a combinacéo nula XV HyVo XVy 0 41 existe algum a 0 comj 12 n Por simplicidade digamos que seja 4 0 segue entao de 41 que X X aX Uy 2 ve 2 vet 22 vn X1 XY a Capıtulo 4 Base 30 Logo u1 e combinacao linear dos demais Suponha agora que algum vj seja combinacao linear dos outros mais uma vez por simplicidade podemos supor v2 entao v2 β1v1 β3v3 βnvn Equivalente β1v1 1v2 β3v3 βnvn 0 Assim temos uma combinacao nula de v1 v2 vn com um coeficiente 1 logo v1 v2 vn sao LD Veremos abaixo algumas propriedades que sao consequˆencias das definicoes de con juntos LI e LD Proposicao 7 Seja E um espaco vetorial entao valem as seguintes propriedades P1 Se um conjunto finito X de E tem o vetor nulo entao X e LD P2 Se u E e nao nulo entao X u e LI P3 Sejam X e Y subconjunto finitos e nao vazios de E Se X Y e X e LD entao Y e LD P4 Sejam X e Y subconjunto finitos e nao vazios de E com X Y e Y e LI entao X e LI 42 Base de espaco vetorial A nocao de base de um espaco vetorial consiste em escolher um conjunto de geradores que seja linearmente independente Isto significa que todo elemento do espaco se exprime de modo unico como combinacao linear dos elementos desse conjunto Definicao 9 Uma base de um espaco vetorial finitamente gerado E e um subconjuntofinito B de E satisfazendo as seguintes condicoes a B E b B e LI Capıtulo 4 Base 31 Exemplo 34 Seja B 1 subconjunto do espaco vetorial R entao x x1 para qualquer x R Logo B R Alem disso B e um conjunto LI Portanto B e uma base de R Exemplo 35 Sejam e1 1 0 e e2 0 1 vetores do R2 entao B e1 e2 e uma base do espaco vetorial R2 chamada base cˆonica De fato a para todo x y R2 temse x y x1 0 y0 1 xe1 ye2 entao R2 e1 e2 b αe1 βe2 0 0 α1 0 β0 1 0 0 α β 0 Entao e1 e e2 sao LI Exemplo 36 Sejam e1 1 0 0 e2 0 1 0 e e3 0 0 1 vetores do R3 entao B e1 e2 e3 e uma base do espaco vetorial R3 chamada base canˆonica De fato a para todo x y z R3 temse x y z x1 0 0 y0 1 0 z0 0 1 xe1 ye2 ze3 entao R3 e1 e2 e3 b αe1 βe2 γe3 0 0 0 α1 0 0 β0 1 0 γ0 0 1 0 0 0 α β γ 0 Entao e1 e2 e e3 sao LI Exemplo 37 B 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 e uma base do espaco vetorial Rn Exemplo 38 O conjunto B 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 e uma base do espaco vetorial M2R das matrizes 2 2 Exemplo 39 O conjunto de polinˆomios 1 x 1 x 1 x2 e uma base do espaco ve torial P2R dos polinˆomios de grau igual ou menor que 2 Exemplo 40 O conjunto B 1 t t2 tn com n 1 elementos e uma base do espaco vetorial PnR dos polinˆomios de grau igual ou menor que n Teorema 2 Todo espaco vetorial finitamente gerado possui uma base Demonstracao Seja E um espaco vetorial finitamente gerado Suponha que E 0 entao uma base para E e B pois E nao ha conjunto LI Caso contrario E 0 existem v1 v2 vn em E tais que E v1 v2 vn Se v1 v2 vn sao LI logam formam uma base para E Capıtulo 4 Base 32 Caso v1 v2 vn fossem LD existiria algumvj 0 com j 1 2 n pelo fato que E 0 Podemos supor por simplicidade v1 0 Com isso se v2 vn fossem combinacao linear de v1 entao v1 E e v1 LI logo v1 seria uma base de E Por outro lado se algum dos vetores v2 vn nao for combinacao linear de v1 diga mos por simplicidade v2 entao v1 v2 sao LI Com isso se v3 vn fossem combinacao linear de v1 v2 entao v1 v2 E Logo v1 v2 seria uma base de E Mais uma vez se algum dos vetores v3 vn nao for combinacao linear de v1 v2 digamos por simplicidade v3 entao v1 v2 v3 sao LI Com isso se v4 vn fossem combinacao linear de v1 v2 V3 entao v1 v2 v3 E Logo v1 v2 v3 seria uma base de E Repetindo esse processo levando em conta que o numero de vetores v1 v2 vn e finito entao tem um fim Portanto desta forma existe um conjunto de vetores LI dentre os vetores v1 v2 vn E estes vetores formam uma base para E Observacao 17 Se E o espaco vetorial trivial nulo entao a base e conjunto vazio 43 Dimensao de um espaco vetorial Mostraremos agora que num espaco vetorial qualquer base possui o mesmo numero de elementos Lema 1 Todo sistema linear homogˆeneo cujo numero de incognitas e maior do que o numero de equacoes admite uma solucao nao trivial Prova 4 Ver Lima E L Algebra Linear Colecao Matematica Universitaria IMPA Rio de Janeiro 2004 Teorema 3 Se os vetores v1 v2 vn geram o espaco vetorial E entao qualquer con junto com mais de n vetores em E e LD Corolario 1 Se os vetores v1 v2 vn geram o espaco vetorial E e os vetores u1 u2 um sao LI entao m n Demonstracao Suponha por absurdo que m n com isso teremos m vetores LI contra riando o Teorema 3 Portanto m n Capıtulo 4 Base 33 Corolario 2 Teorema da Invariˆancia Se o espaco vetorial E admite uma base B u1 u2 un com n elementos entao qualquer outra base de E possui n elementos Demonstracao Seja B v1 u2 vm outra base de E Como B gera E e B e LI segue que m n De modo analogo como B gera E e B e LI segue que n m Portanto m n Definicao 1 Dizse que um espaco vetorial E tem dimensao finita quando admite uma base B u1 u2 un com um numero finito n de elementos Este numero denomina se dimensao de E que e o mesmo para qualquer uma de suas bases Observacao 18 Se n e a dimensao de E escrevese n dim E Exemplo 41 a dim o 0 b dim R 1 c dim R2 2 d dim Rn n e dim M2R 4 f dim MmnR m n g dim P3R 4 h dim PnR n 1 Corolario 3 Se dim E n entao um conjunto com n elementos gera E se e somente se e LI Em particular tal conjunto e uma base de E Teorema 4 Teorema do Completamento Seja E um espaco vetorial de dimensao n 1 Se u1 ur e LI com r n entao existem n r vetores ur1 un E tal que B u1 ur ur1 un e base de E Exemplo 42 E R3 e 1 0 0 0 1 0 e LI entao B 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e base do R3 Capıtulo 4 Base 34 Proposicao 8 Seja F um subespaco vetorial de E e dim E n Entao i dim F n ii Se dim F dim E entao F E Proposicao 9 Sejam E espaco vetorial de dimensao finita Se F1 e F2 sao subespacos de E entao dimF1 F2 dim F1 dim F2 dimF1 F2 Exemplo 43 Consideremos os seguintes subespacos do R4 U 1 0 0 0 1 0 0 e V x y z t x y 0 Determine a dimU V b dimU V 44 Mudanca de Base Ja vimos que as coordenadas de um vetor de um espaco vetorial podem variar quando se consideram bases distintas Passaremos a estudar agora e como esta mudanca ocorre ou seja como e possıvel encontrar as coordenadas de um vetor com relacao a uma base sabendose suas coordenadas com relacao a uma outra Seja E um espaco vetorial de dimensao finita n e consideremos duas bases de E A u1 un e B v1 vn Entao existem escalares αij tais que v1 α11u1 α21u2 αn1un v2 α12u1 α22u2 αn2un vn α1nu1 α2nu2 αnnun Capıtulo 4 Base 35 Definicao 10 A matriz quadrada de ordem n P α11 α12 α1n α21 α22 α2n αn1 αn2 αnn chamase matriz de mudanca da base A para base B Exemplo 44 Qual a matriz de mudanca da base A 1 1 t para a base B 1 t Exemplo 45 Qual a matriz de mudanca da base A 1 0 1 1 1 1 1 1 2 para base canˆonica B e1 e2 e3 onde e2 1 0 0 e2 0 1 0 e e3 0 0 1 Capıtulo 5 Transformacoes Lineares Estudamos ate agora alguns aspectos intrınsecos dos espacos vetoriais finitamente gerados base e dimensao principalmente O conceito de funcoes nao e algo novo para o estudante de Algebra Linear principalmente com aquelas que estao definidas em um subconjunto da reta e tomam seus valores tambem no conjunto dos numeros reais Nosso proximo passo e estudar funcoes que tˆem como domınio um espaco vetorial e que tomam seus valores em um outro espaco vetorial Note que os valores tomados sao na verdade vetores No entanto vamos nos restringir apenas alguns tipos especiais dentre estas funcoes Estamos interessados em funcoes que preservem as operacoes existentes no espaco vetorial que atua como o seu domınio e aquelas do espaco vetorial que age como contra domınio Trataremos agora de examinar essas correspondˆencias entre espacos vetoriais transformacoes lineares 51 Aplicacoes Definicao 11 Dados dois espacos vetoriais U e V ambos nao vazios uma aplicacao de U em V e uma correspondˆencia que associa cada elemento de U a um unico elemento de V 36 Capitulo 5 Transformacoes Lineares 37 Se indicarmos A por essa correspondencia e u um elemento de U entao o elemento associado a u é representado por Aulése A de uw e denominase imagem de u por A Observagao 19 1 O conjunto U 0 dominio e o conjunto V o contradominio da aplicagao A 2 Indicase a aplicagao A pela seguinte notagao A UV ur Au Definigao 12 Dado W C U chamase imagem de W por A o seguinte conjunto AW Auu Wh Definicgao 13 Seja A U V uma aplicagao de U em V O conjunto ImA AU Awu U chamado o conjunto imagem da aplicagao A Exemplo 46 1 A RR R dada por Axy x 2 Ag R R dada por Agxy xy x 0 3 Az IR M2R dada por A3xy Oy 4 Aq IR R dada por Agxy 0x y 0 Definicgao 14 Uma aplicagao A U V injetiva quando Yuve U comu4vAu 4Av Equivalentemente VYuv U com Au Av uv Exemplo 47 Az R R dada por Aoxy x y injetiva Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 38 A4 R2 R3 dada por A4x y 0 x y 0 nao e injetiva Definicao 15 Uma aplicacao A U V e sobrejetiva quando ImA V ou seja para todo v V existe u U tal que Au v Exemplo 48 A2 R2R2 dada por A2x y x y e sobrejetiva A4 R2 R3 dada por A4x y 0 x y 0 nao e sobrejetiva Definicao 16 Uma aplicacao A U V que e injetiva e sobrejetiva e dita bijetiva Exemplo 49 A2 R2 R2 dada por A2x y x y e bijetiva A4R2 R3 dada por A4x y 0 x y 0 nao e bijetiva 52 Transformacoes Lineares Definicao 17 Sejam E e F espacos vetoriais sobre R Uma aplicacao T E F e chamada transformacao linear de E e F quando a Tu v Tu Tv u v U e b Tαu αTu u E e α R Observacao 20 1 Se E F dizemos que a transformacao linear F e um operador linear 2 Se F R a transformacao linear T E R chamase funcional linear Exemplo 50 a A aplicacao O E F dada por Ou ovetor nulo de V para qualquer u E e uma transformacao linear b A aplicacao identidade IE E E dada por IEu u para todo u E e um operador linear c A aplicacao T R3 R2 dada por Tx y z x 2y z para todo x y z R3 e uma transformacao linear Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 39 d A aplicacao f R R dada por fx x2 e uma transformacao linear Proposicao 10 Propriedades Seja E e F espacos vetoriais e T E F uma trans formacao linear entao P1 TOE OF onde OE vetor nulo de E e OF vetor nulo de F P2 Tu Tu P3 Tv u Tv Tu P4 Tαu βv αTu βTv P5 Ta1u1 a2u2 anun a1Tu1 a2Tu2 anTun Exemplo 51 A aplicacao T PnR Rn dada por Tpx a0 a1 a2 an onde px a0 a1x a2x2 anxn e uma transformacao linear Com efeito dados px a0 a1x a2x2 anxn e qx b0 b1x b2x2 bnxn polinˆomios em PnR e t R temos que i px qx a0 b0 a1 b1x a2 b2x2 an bnxn entao Tpx qx a0 b0 a1 b1 a2 b2 an bn a0 a1 a2 an b0 b1 b2 bn Tpx Tqx ii tpx ta0 ta1x ta2x2 tanxn entao Ttpx ta0 ta1 ta2 tan ta0 a1 a2 an tTpx Portanto T e uma transformacao linear Capitulo 5 Transformacoes Lineares AO Exemplo 52 As aplicacgoes dadas abaixa nao sao transformacoes lineares a Seja T R R dada por Txyz xyz18e T fosse uma trans formacdao linear terfamos T000 0 porém T000 1 Entao T nao é uma transformagao linear LO b Seja T Cl01 R dada por Tf Jolfldt para toda funcao f C01 Se T fosse uma transformacao linear teriamos Tf Tf para toda funcao f C01 Tomef 01 R dada por fx 1 para todo x 01 Como 1 1Il entado temos que 1 1 1 1 Tf ftdt 1dt 1jdt ftdt Tf 0 0 0 0 Logo T nao é uma transformacao linear O c Seja T R R dada por Tx x Observe que T1 1T1 Entao nao temos T1 T1 ou seja T nao uma transformacao linear O Teorema 5 Existéncia de Transformacaéo Linear Dados dois espagos vetoriais E F B uyUn uma base de E e wyWn elemento de F Entao existe uma tinica transformacao linear TEF tal que Tu wWy Tun Wr Esta transformacao linear é dada por Tayuy agua GnUn aT uy agTu2 anTun ayWy GQWo AyWn Demonstragao Mostraremos primeiramente que T é uma transformacao linear Sejam uv E entao existem 1 X2 On B1 B2 Bn R tais que U Oj Uy XQUy AnUn CV Pity Pole Brun Entao Utv a1 Bita O2 Boa n BrUn Dai Tuv T o1 Bith o2 Bous On Bnun Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 41 Segue da definicao de T que Tu v α1 β1Tu1 α2 β2Tu2 αn βnTun α1 β1w1 α2 β2w2 αn βnwn α1w1 α2w2 αnwn β1w1 β2w2 βnwn Tu Tv De modo analogo para qualquer t R temos que tu tα1u1 tα2u2 tαnun Entao Ttu T tα1u1 tα2u2 tαnun tα1Tu1 tα2Tu2 αnTun tα1w1 tα2w2 tαnwn t α1w1 α2w2 αnwn tTu Portanto T e uma transformacao linear Provaremos agora que T e unica Para tanto suponhamos que exista A E F outra transformacao linear tal que Aa1u1a2u2anun a1Au1a2Au2anAun a1w1a2w2anwn Daı para todo u α1u1 α2u2 αnun E temos que Au Aα1u1 α2u2 αnun α1w1 α2w2 αnwn Tu u E Logo T A Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 42 Observacao 21 O conjunto de todas as combinacoes lineares T E F e dado por LE F Entao LE F T E F T e uma transformacao linear O conjunto LE F e um espaco vetorial Se E F entao usamos LE LE E o conjunto de todos os operadores lineares T E E Se F R escrevemos E LE R que e o conjunto dos funcionais lineares f E R chamado espaco vetorial dual de E Exemplo 53 Seja T R2 R3 uma transformacao linear tal que T1 0 2 1 0 e T0 1 0 0 1 Determine a T1 2 b a transformacao linear T isto e Tx y para todo x y R2 53 Nucleo e Imagem Nesta secao sera examinada com cuidado a possibilidade de uma transformacao linear admitir ou nao uma inversa Sera introduzido o conceito de isomorfismo que dara um sentido preciso a afirmacao de que dois espacos vetoriais de mesma dimensao sao algebri camente indistinguıveis Tudo comeca com o nucleo e a imagem de uma transformacao Definicao 18 Sejam E e F espacos vetoriais sobre R e T E F uma transformacao linear Indicase por kerT ou NT o nucleo de T o seguinte subconjunto de E KerT u E Tu o Exemplo 54 Seja T R2 R3 por Tx y 0 x y 0 Exemplo 55 Seja T R2 R2 por Tx y x y Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 43 Proposicao 11 Seja T E F uma transformacao linear Entao kerT e um subespaco vetorial de E Demonstracao De fato sejam u v kerT entao Tu oF e Tv oF Entao i Tu v Tu Tv oF oF oF Logo u v kerT ii Para qualquer α R entao Tαu αTu αoF oF Entao αu kerT Portanto kerT e um subespaco vetorial de E Proposicao 12 Seja T E F uma transformacao linear Entao T e injetiva se e somente se kerT 0 Demonstracao Suponha que T seja injetiva Seja u kerT entao Tu 0 Como T0 0 segue que Tu T0 Assim pela injetividade de T temos que u 0 Logo kerT 0 Seja agora kerT 0 Dados u v E tais que Tu Tv entao Tu Tv 0 Tu v 0 u v kerT u v 0 u v Portanto T e injetiva Proposicao 13 Uma transformacao linear e injetiva se e somente se leva vetores LI em vetores LI Demonstracao Suponha que T seja injetiva e considere o seguinte conjunto LI de E X u1 u2 un Devemos mostrar que TX Tu1 Tu2 Tun F e LI De fato sejam a1 a2 an R tais que a1Tu1 a2Tu2 anTun 0 Como T e uma transformacao linear segue da propriedade P5 que Ta1u1 a2u2 anun 0 Assim a1u1 a2u2 anun kerT Sendo T injetiva por hipotese segue da Proposicao 12 que kerT 0 Entao a1u1 a2u2 anun 0 Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 44 Logo a1 a2 an 0 pois u1 u2 un sao LI Portanto Tu1 Tu2 Tun sao LI Suponhamos agora que T leva vetores LI em vetores LI e mostraremos que T e injetiva De fato sejam u v E tais que u v Entao u v 0 implicando que u v e LI Segue que Tu v e LI Entao Tu v 0 logo Tu Tv e portanto T e injetiva Definicao 19 Sejam E e F espacos vetoriais A imagem da transformacao linear T E F e o conjunto ImT Tu u E Proposicao 14 Sejam E e F espacos vetoriais A imagem ImT da transformacao linear T E F e um subespaco vetorial de F Demonstracao Sejam w1 w2 ImT e α R entao existem u v E tais que w1 Tu e w2 Tv Daı i w1 w2 Tu Tv Tu v ImT ii αw1 αTu Tαw1 ImT Portanto ImT e um subespaco vetorial de F Teorema 6 Teorema do Nucleo e da Imagem Sejam E e F espacos vetoriais e T E F uma transformacao linear Entao dim E dim kerT dim ImT Demonstracao Considere B1 v1 v2 vn uma base de kerT Como kerT e subespaco de E podemos completar B1 de modo obter uma base de E Seja B v1 v2 vn w1 w2 wm entao uma base de E Afirmacao B2 Tw1 Tw2 Twm e uma base de ImT i Provemos que B2 ImT De fato para todo w ImT Existe uE tal que Tu w Como B e base de E temos que u a1v1 a2v2 anvn b1w1 b2w2 bmwm Sendo que v1 v2 vn vetores de kerT temos que v1 Tv2 Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 45 Tvn 0 Usando o fato que T e linear obtemos que w Tu Ta1v1 a2v2 anvn b1w1 b2w2 bmwm a1Tv1 a2Tv2 anTvn b1Tw1 b2Tw2 bmTwm b1Tw1 b2Tw2 bmTwm Logo w b1Tw1 b2Tw2 bmTwm e a ImT e gerada por B2 ii Provaremos agora que B2 e LI Consideremos a combinacao linear nula a1Tw1 a2Tw2 amTwm 0 Pela propriedade P5 segue que Ta1w1 a2w2 amwm 0 Assim a1w1 a2w2 amwm kerT e como B1 e base de kerT temos que a1w1 a2w2 amwm b1v1 b2v2 bnvn Equivalente a1w1 a2w2 amwm b1v1 b2v2 bnvn 0 Como B v1 v2 vn w1 w2 wm e base de E a mesma e LI entao a1 a2 am b1 b2 bn 0 Entao B2 e LI Assim temos por i e ii que B2 e base de ImT Portanto dim E n m dim kerT dim ImT Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 46 Corolario 4 Sejam E e F espacos vetoriais de mesma dimensao finita e T E F uma transformacao linear Entao T e injetiva se e somente se T e sobrejetiva Demonstracao Suponha que T seja injetiva Mostraremos que T e sobrejetiva Como T e injetiva segue da Proposicao 12 que kerT 0 entao dim kerT 0 Pelo teorema do Nucleo e da Imagem temos que dim E dim kerT dim ImT 0 dim ImT dim ImT Por hipotese dim E dim F entao dim F dim ImT e como ImT e subespaco vetorial de F temos que ImT F Portanto T e sobrejetiva Suponha agora que T seja sobrejetiva Entao ImT F ou seja dim ImT dim F Sendo dim E dim F segue do Teorema do Nucleo e da Imagem que dim kerT dim E dim ImT dim F dim ImT 0 Entao kerT 0 o que implica que T e injetiva pela Proposicao 12 Exemplo 56 Seja T R3 R2 a transformacao linear dada por Tx y z x y 2x y z a Dar uma base e a dimensao de kerT b Dar uma base e a dimensao de ImT 54 Isomorfismos Definicao 20 Um Isomorfismo do espaco vetorial E no espaco vetorial F e uma trans formacao linear T E F que seja bijetiva Observacao 22 Quando E F dizemos que o isomorfismo T E E e um automor fismo de E Exemplo 57 O operador identidade IE E E e um automorfismo de E Exemplo 58 T R2 R2 por Fx y x y e um isomorfismo Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 47 Exemplo 59 T R2 R3 por Fx y 0 x y 0 nao e um isomorfismos Proposicao 15 Se T E F e um isomorfismo entao T 1 F F e tambem um isomorfismo de F em E Demonstracao Como T e bijetiva segue que existe aplicacao inversa T 1 F E de T Devemos mostrar que T 1 F E e uma transformacao linear bijetiva i Vamos mostrar que T 1 e uma transformacao linear Com efeito dados w1 w2 F temos que T 1w1 u E e T 1w2 v E ou seja w1 Tu e w2 Tv Entao T 1w1 w2 T 1TuTv T 1Tuv uv T 1w1T 1w2 Agora para qualquer α R temos que T 1αw1 T 1αTu T 1Tαu αu αT 1w1 Portanto T 1 e uma transformacao linear ii Mostraremos agora que T 1 e bijetiva Com efeito como T e bijetiva temos que kerT 0 e ImT F Entao pelo Teorema do Nucleo e da Imagem temos que dim E dim kerT dim ImT 0 dim F dim F Assim basta mostrar que T 1 e injetiva que sera sobrejetiva pelo Corolario 4 Sejam w1 w2 F tais que T 1w1 T 1w2 Entao T 1w1 u e T 1w2 u para u E Como T e uma aplicacao segue que w1 w2 Logo T 1 e injetiva e portanto sobrejetiva Portanto T 1 e um isomorfismo de F em E Observacao 23 A proposicao acima nos diz que sempre que existe um isomorfismo T E F tambem existe o isomorfismo inverso T 1 F E Neste caso dizemos que E e F sao espaco vetoriais isomorfos Dois espacos vetoriais isomorfos E e F muitas vezes sao considerados indistintos Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 48 Teorema 7 Dois espacos E e F de dimensao finita sao isomorfos se e somente se dim E dim F Demonstracao Suponha que E e F sejam isomorfos Entao existe uma trans formacao linear T E F bijetiva Assim T e injetiva implicando que kerT 0 entao dim kerT 0 E pela sobrejetividade de T temos que ImT F ou seja dim ImT dim F Usando o Teorema do Nucleo e da Imagem segue que dim E dim kerT dim ImT dim F Suponha que dim E dim F Pelo Teorema 5 para uma base u1 u2 un de E existe T E F transformacao linear tal que Tu1 w1 Tu2 w2 Tun wn vetores de F Dado u kerT temos que u E entao u a1u1 a2u2 anun 51 Como u kerT temos que Tu 0 Entao pela linearidade de T temos que Ta1u1 a2u2 anun Tu a1Tu1 a2Tu2 anTun 0 Como u1 u2 un sao LI segue da Proposicao 13 que Tu1 Tu2 Tun sao LI entao a1 a2 an 0 Assim por 51 temos que u 0 ou seja kerT 0 Entao T e injetiva pela Proposicao 12 Portanto pelo Corolario 4 segue que T e sobrejetiva Portanto T e bijetiva implicando que T e um isomorfismo Exemplo 60 Mostrar que o operador T de R3 definido por Tx y z x z x z y e um isomorfismo Determine o isomorfismo inverso T 1 Capitulo 5 Transformacoes Lineares A9 55 Matriz de uma Transformacao Linear Sejam E e F espacos vetoriais de dimensao n e m respectivamente Considere uma T E F uma transformacao linear Dadas as bases B ujUoUn de E e C v1VoVm deF entao cada Tu Tut2 Tt estao em F e consequéncia é combinacao linear da base T uy O11 X2iV2 Xm1Vm Tu2 XV K22Vo Xm2Vm 52 TtUn OinVi MonVe OmnVm Ou simplesmente Tu ajvi onde j 12n e a sao unicamente il determinados Definicgao 21 A matrizm x n sobre R O11 O12 Ain O21 O2Q Ag Tae XOm1 m2 Amn obtida de 52 chamada de matriz de T em relagao as bases B e Observacao 24 Se B indicaremos a matriz de T nessa base por Ts Para uma transformagao linear TR SR indicaremos a matriz de T nas base canénicas de R e R é denotada por T Exemplo 61 Qual a matriz de T R R dada por Txyz x yy2Z em relacao as bases B 100 0 10 001 e C 10 1 1 Capıtulo 5 Transformacoes Lineares 50 Note que T1 0 0 1 0 11 0 01 1 T0 1 0 1 1 01 0 11 1 T0 0 1 0 1 11 0 11 1 Entao TBC 1 0 1 0 1 1 Exemplo 62 Dada a matriz de T R3 R2 em relacao as bases B 1 0 0 0 1 0 0 1 2 e C 1 0 1 1 por TBC 1 2 3 0 1 0 Determine T Capitulo 6 Espacos com Produto Interno Neste capitulo apresentaremos a nocao de produto interno em espacos vetoriais Esta nocao como veremos generaliza a nocao de produto escalar em R e em R e enriquece a estrutura de um espaco vetorial permitindo definir varios conceitos de carater geométrico previamente estudados em R e R O conceito de produto interno permite calcularmos comprimento de vetores Angulo e distancia entre dois vetores Ou seja estabelece uma estrutura geométrica em um espaco vetorial 61 Produto Interno Definicao 22 Seja E um espaco vetorial de dimensao finita sobre R Um produto interno sobre E uma aplicagao ExEOR uv uv obedecendo as seguintes condigdes para uvweE Ee xeR a Bilinearidade uvw uw vw e au Ww au Ww b Comutatividadesimetria uv v u c Positividade uu 0 seuF0 Definigao 23 Um espaco vetorial munido com produto interno chamado de espaco com produto interno ou espago Euclidiano 51 Capitulo 6 Espacgos com Produto Interno 52 Observagao 25 1 O produto interno também é chamado de produto escalar e escrevese uv Uv 2 ow 0 VWeEE Além disso segue da positividade que se uw 0 para todo weeE entaouo 3 Sejam uv E tais que uw vw para todo w E entdouv 4 uv aw uv auU Ww Exemplo 63 Seja E R e u x1x2 e v Yi Y2 vetores em R O produto interno usual em R é dado por uv X1Y1 X22 Exemplo 64 Seja E R e u x1 x2 x3 ev Y1 Ye y3 vetores em R O produto interno usual em R é dado por uv X1Y1 X2Y2 X3yp3 Exemplo 65 Seja E R e u x1X2Xn ev yly2 Yn vetores em R O produto interno usual em IR é dado por uv xX1Y1 X2yo XnUn Ha varios outros tipos de produto interno no R além do apresentado no exemplo anterior Vejamos um exemplo no R Exemplo 66 Seja E R eu x1 X2x3 ev Yi Yo 3 vetores em R A seguinte expressao define um produto interno em R X1Y1 X2Y2 X3Y3 Exemplo 67 Um produto interno usual em E M2R é dado por a b e f aebfcgdh c d g h Capitulo 6 Espacgos com Produto Interno 53 Exemplo 68 Um produto interno usual em E P IR é dado por 1 ft gt ftgtdt 0 62 Norma Definigao 24 Seja E um espacgo com produto interno Dado um vetoru E indicase por u e chamase norma ou comprimento de u o niimero real positivo dado por ful Vv u u Observagao 26 Dizse que a norma definida acima provém do produto interno Note que posstvel extrair a raiz quadrada de uu pois este ntimero nao negativo Além disso ul uu Entao u v u 2uu lv para quaisquer uv EE Exemplo 69 Em R temos para u X1X2Xn que lue uw 4 xP x8 4 x2 Proposigao 16 Seja E uma espago vetorial com produto interno entdao i jocul alul Vee ReueV ii ful 0 ii lul OGuo Definigao 25 Um vetoru E tal que u 1 é chamado vetor unitario Exemplo 70 Os vetores canénicos do R sdo vetores unitdrios Jd o vetor u 11 nao unitario Observagao 27 Caso u 0 nao seja unitdrio temos pela proposigao anterior que 1 uw jue é unitdrio Neste caso dizse que uw é um vetor normalizado e é chamado de u versor de wu Capitulo 6 Espacgos com Produto Interno 54 Proposigao 17 Desigualdade de CauchySchwarz Seja E uma espago vetorial com produto interno entao vale a seguinte desigualdade uv fullfivi Vuv E Corolario 5 Desigualdade Triangular Seja E wma espaco vetorial com produto interno entao vale a seguinte desigualdade Ju vl ul lvl Vuv E Proposigao 18 Identidade do Paralelogramo Seja E um espago com produto interno Entdao Ju vi ju vl 2 lul Iv Vusv E A proposigao seguinte mostra como se pode obter o produto interno entre dois vetores a partir das normas de suas soma e diferenga Proposigao 19 Seja E um espaco com produto interno Entao Ju vi vl 4uv Vuyv E 63 Distancia Definicgao 26 Seja E um espacgo com produto interno Consideremos a aplicagao a Ex ER definida por duv juv O ntimero duv é chamado distancia de u av e satisfaz as seguintes propriedades Exemplo 71 Em R temos para u X1X2Xn EV Yi Y2 Yn que duv juv fuvuv Vx1 Yi X2 Yo Xn Yn Proposigao 20 Seja E um espago com produto interno Entdo para quaisquer vetores uvew emE valem as seguintes propriedades i duv 0 eduv OSGuv Capıtulo 6 Espacos com Produto Interno 55 ii du v dv u iii du v du w dv w 64 ˆAngulo Pela desigualdade de CauchySchwarz temos para quaisquer vetores u e v nao nulos em um espaco vetorial E com produto interno que u v uv Equivalente uv u v uv mais ainda 1 u v uv 1 Assim existe um unico numero θ R tal que 0 θ π e cos θ uv uv Definicao 27 O numero θ e chamado de ˆangulo entre os vetores u e v Observacao 28 Como 0 θ π temos os seguintes casos i Se θ 0 entao cos θ 1 Logo u v u v 1 ii Se 0 θ π 2 entao cos θ 0 Logo u v u v 0 iii Se θ π 2 entao cos θ 0 Logo u v u v 0 iv Se π 2 θ π entao cos θ 0 Logo u v u v 0 v Se θ π entao cos θ 1 Logo u v u v 1 Capıtulo 6 Espacos com Produto Interno 56 Exemplo 72 Determine o ˆangulo entre os vetores u 1 1 1 e v 1 2 1 1 2 Exemplo 73 Sejam u e v vetores de um espaco vetorial com produto interno tal que u v 1 e u v 2 Determine o ˆangulo entre u e v 65 Ortogonalidade Definicao 28 Seja E um espaco vetorial com produto interno Dois vetores u e v em E sao ortogonais se u v 0 Neste caso escrevemos u v Assim um conjunto X de E e ortogonal se dois vetores quaisquer de X distintos entre si forem ortogonais Exemplo 74 O conjunto X 1 1 1 1 de R2 e ortogonal Observacao 29 Se u 0 entao u v para qualquer v E Se u 0 e v 0 entao u v se e somente se o ˆangulo entre u e v e π 2 Proposicao 21 Seja E um espaco vetorial com produto interno Se X u1 u2 un e um conjunto de vetores ortogonal de E entao X e LI Definicao 29 Seja E um espaco vetorial com produto interno Dizemos que um conjunto X u1 u2 un de vetores de E e ortonormal se i ui uj 0 com i j ii ui ui 1 isto e ui 1 com i 1 2 n Exemplo 75 O conjunto X 1 0 0 1 e um conjunto ortonormal de R2 Definicao 30 Seja E um espaco vetorial com produto interno Se X e uma base de E e e um conjunto ortonormal dizemos que X e uma base ortonormal de E Capitulo 6 Espacgos com Produto Interno 57 Observagao 30 Se X uy Us2 Un um conjunto ortogonal de E de vetores nao u nulos entao Y ep We tee aii é um conjunto ortonormal fuer u un Exemplo 76 O conjunto X 100 0010 0 000 1 uma base ortonormal de R Exemplo 77 Como X 1111 um conjunto ortogonal de R Segue que 11 1 oh Y 5 um conjunto ortonormal onde 11 1 1 v2 eS i D N10 Proposicao 22 Sejam E um espaco vetorial com produto interno e B uj4 U2 Un uma base ortonormal de E Entao para todo u E temse U UUyUy U U2U2 UL Un Un Exemplo 78 Encontre as coordenadas de u 11 R em relacao a base formada pelos vetores 2 a 22 66 Projecao Ortogonal Definigao 31 Sejam E um espaco vetorial com produto interno eu E um vetor unitdrio Dado um vetor v E o vetor p uvu chamado a projegao ortogonal de v sobre o eixo que contém o vetor u ou seja sobre o subespaco F ul Observagao 31 A justificativa para esta denominagao esta no seguinte fato escrevendo wvuvue usando que uu ul 1 temos que uw uv uv u uv uv 1 u 0 Portanto w wu oy l No caso em que u 0 0 eixo que contém u é 0 mesmo que contém u jul u A projecao ortogonal de v sobre este eixo ou sobre o subespaco F u é p uv w entao 1 1 1 u v p uv uu 5 uv u ful If fu u u Notagao Projrv uv U u u Capitulo 6 Espacgos com Produto Interno 58 J 0 u p Proj v F Exemplo 79 Sejam u 11 ev 32 vetores de R Entao uv 13125 u v 5 5 5 uu 114112 Logo Projv u 11 e ogo Ju u u 5 5 5 Definigaéo 32 Seja X ujU2Un um conjunto ortonormal de um espaco com produto interno E e F uyue Un Dadov E o vetor Projry v uy Vv Ug tg V UnUn é a projecao ortogonal dev sobre o subespaco vetorial F Observagao 32 Se X for apenas um conjunto ortogonal de vetores nao nulos entao vju vVu vu Projpy ta i uy ta 2 uy eee n Un uy U1 U2 U2 Un Un Exemplo 80 Sejam u 4 a eu 5 450 vetores do R Verifique que Uy Us formam um conjunto ortonormal Em seguida determine a projecao ortogonal de v 231 sobre o subespaco F gerado por uy Ug Proposicao 23 Sejam E um espaco vetorial com produto interno X uyW2 Un C E um conjunto ortonormal e F uyuW2 Un Entao para todo v E o vetor w v Projrv é ortogonal a qualquer u F Além disso w 0 se e somente se v Projrv Teorema 8 Processo de Ortonormalizacgao de GramSchmidt Todo espago vetorial com produto interno de dimensao finita possui uma base ortonormal Demonstracao Suponha que dim E n e seja B uy u2 Un uma base de E Pri meiramente vamos encontrar uma base ortogonal de E e em seguida uma base ortonormal Para tanto devemos seguir da seguinte forma Capıtulo 6 Espacos com Produto Interno 59 Passo 1 Faca v1 u1 Passo 2 Faca v2 u2 ProjF1u2 onde F1 v1 Entao pela Observacao 32 temos v2 u2 u2 v1 v1 v1 v1 e v2 v1 pela Proposicao 23 Passo 3 Faca v3 u3 ProjF2u3 onde F2 v1 v2 Segue pela Observacao 32 que v3 u3 u3 v1 v1 v1 v1 u3 v2 v2 v2 v2 Alem disso v3 v2 e v3 v1 pela Proposicao 23 Passo 4 Faca v4 u4 ProjF3u4 onde F2 v1 v2 v3 Aplicando a Observacao 32 temos v4 u4 u4 v1 v1 v1 v1 u4 v2 v2 v2 v2 u4 v3 v3 v3 v3 Alem disso v4 v3 e v4 v2 e v4 v1 pela Proposicao 23 Seguindo esse processo temos vn un ProjFn1un onde Fn1 v1 v2 v3 vn1 Entao novamente pela Observacao 32 segue que vn un un v1 v1 v1 v1 un v2 v2 v2 v2 un v3 v3 v3 v3 un vn1 vn1 vn1vn1 e vn vn1 vn v4 vn v3 vn v2 e vn v1 pela Proposicao 23 Portanto temos que v1 v2 vn e um conjunto ortogonal Tomando agora w1 v1 v1 w2 v2 v2 wn vn vn segue que w1 w2 wn e uma base ortonormal para E Exemplo 81 Encontre uma base ortonormal para o F x y z R3 x 2y 0 Para qualquer u x y z F temos que x 2y 0 ou seja x 2y Entao u 2y y z y2 1 0 z0 0 1 F 2 1 0 0 0 1 Fazendo u1 2 1 0 e u2 0 0 1 temos que u1 u2 0 entao u1 u2 Capitulo 6 Espacgos com Produto Interno 60 Assim o conjunto uU2 ortogonal e portanto LI logo uma base para F Porém nado uma base ortonormal uma vez que u4 V2 12 0 V5 e u 1 Faca Uy 2 1 Wi77 9 W2 U2 00 1 3 V5 Portanto wW2 é base ortonormal de F Exemplo 82 Encontre uma base ortonormal para o F xyzt R4xyz4t O Seja uxyzteFoSxty4zt08Sxyzt Entao u yztyzt y1100 z1010 t100 1 Assim F 1100 1 0 10 1 00 1 e como 11 00 1 0 1 0 e 1 0 0 1 sao LI formam uma base para F Logo dimF 3 Aplicaremos agora o Processo de Ortonormalizagao de GramSchmidt para u 1 1 0 0 Us 1 0 1 0 U3 1 0 0 1 i Faga v u 1100 U2 V1 1 1 1 wi Faga V2 U2 7 v1 1 0 1 0 5l 1 0 0 5 99 1 0 V1 V1 iii Faga vy ty Us Vi Us V2 V1 V1 V2 V2 1 31 1 1 0 0 1 5l 1 0 0 al 9 1 0 i 3 3 1 Entao Wy v2 wy uma base ortonormal de F vill IIvell Ivsll Capıtulo 6 Espacos com Produto Interno 61 67 Complemento Ortogonal Seja E um espaco vetorial com produto interno e F um subconjunto de E O comple mento ortogonal de F e o seguinte conjunto F v E v u 0 u F Observacao 33 Seja E um espaco vetorial com produto interno e F um subconjunto de E Entao v F v u 0 u F Proposicao 24 F e um subespaco vetorial de E Demonstracao De fato i o u 0 u F Logo o F ii Sejam v1 v2 F entao v1 u 0 e v2 u 0 para todo u F Daı v1 v2 u v1 u v2 u 0 u F Logo v1 v2 F iii Sejam v1 F e α R entao v1 u 0 para todo u F Daı para α R temos αv1 u αv1 u α 0 0 u F Logo αv1 F Portanto F e um subespaco vetorial de E Exemplo 83 Encontrar F para F x y z R3 x y z 0 De fato u x y z F x y z 0 x y z Entao u y z y z Segue que u y z y z y1 1 0 z1 0 1 Logo F 1 1 0 1 0 1 Daı para qualquer v a b c F temos que a b c 1 1 0 0 e a b c 1 0 1 0 Capıtulo 6 Espacos com Produto Interno 62 Assim a b 0 e a c 0 b a e c a v a a a a1 1 1 Portanto F 1 1 1 x y z R3 x y 0 e x z 0 Teorema 9 Seja E um espaco vetorial com produto interno e F um subespaco de E Entao E F F Demonstracao Seja v E e considere w ProjFv F Entao temos que u w w u Pela Proposicao 23 temos que vw u 0 para todo u F entao vw F ou seja w v 1v w F F e subespaco vetorial de E Logo E F F Seja agora u F F entao u F e u F Entao u u 0 ou seja u o Logo F F o Portanto E F F Exemplo 84 Pelo Exemplo 83 temos que R3 F F 68 Isometria Sejam E e F espacos vetoriais com produto interno Uma transformacao linear T E F chamase isometria linear se Tu u para todo u E Observacao 34 Isometrias lineares sao transformacoes que preservam toda estrutura linear de um espaco vetorial com produto interno Normalmente e mais pratico verificar que Tu2 u2 para evitar raızes quadradas Exemplo 85 Considere no espaco euclidiano R2 a rotacao T R2 R2 dada por Tx y x cos θ ysen θ xsen θ y cos θ E facil mostras que T e uma isometria linear basta mostrar que Tx y2 x y2 Capıtulo 6 Espacos com Produto Interno 63 Exemplo 86 Verifique que o operador linear A R2 R2 dada por Ax y x y 0 nao e uma isometria linear Basta ver que A1 1 1 1 mesmo que A1 0 1 1 0 e A0 1 1 0 1 Teorema 10 Sejam E e F espacos vetoriais com produto interno Uma transformacao linear T E F e uma isometria se e somente se Tu Tv u v para quaisquer u v E Demonstracao Suponha que T e uma isometria linear Sejam u v E entao Tu v2 u v2 Tu Tv2 u v2 Tu2 2Tu Tv Tv2 u2 2u v v2 u2 2Tu Tv v2 u2 2u v v2 2Tu Tv 2u v Tu Tv u v Suponha agora que T preserva produto interno isto e Tu Tv u v para quaisquer u v E Em particular temos que Tu2 Tu Tu u u u2 Portanto T e uma isometria linear Observacao 35 Um operador linear T E E sobre um espaco com produto interno satisfazendo o Teorema 10 e chamado de Operador Ortogonal Assim o operador T do Exemplo 85 e Ortogonal e o operador A do Exemplo 86 nao e Ortogonal Proposicao 25 Toda isometria linear e injetiva Corolario 6 Toda isometria linear T E E e um isomorfismo