Subespaços Vetoriais e Base para R3 - Lista de Exercícios Resolvida

Sejam f g C²IR i 0 C²IR Pois a função nula 0x 0 é 2 vezes derivável e 0x é contínua ii Se f g C²IR então f gx fx gx ou seja f g é duas vezes derivável Além disso f gx fx gx ou seja f g é contínua Logo f g C²IR iii λfx λfx Logo λf é 2 vezes derivável e λfx λfx ou seja λf é contínua Logo λf C²IR Portanto C²IR é um subespaço vetorial Sejam px a₀ a₁x aₙxⁿ qx b₀ b₁x bₙxⁿ PₙIR i 0 PₙIR Tomando aᵢ 0 para todo i 01n segue que 0x 0 0x 0xⁿ 0 ii p qx px qx a₀ a₁x aₙxⁿ b₀ b₁x bₙxⁿ a₀ b₀ a₁ b₁x aₙ bₙxⁿ Logo p q PₙIR iii λpx λpx λa₀ a₁x aₙxⁿ λa₀ λa₁x λaₙxⁿ PₙIR Portanto PₙIR é um subespaço vetorial 5 Para verificar se os vetores u121 v290 e w334 formam uma base para R3 basta verificar se são LI Dados abc R considere a equação a121 b290 c334 000 ou seja a 2b 3c 0 2a 9b 3c 0 a 4c 0 Resolvendo o sistema por escalonamento 1 2 3 0 2 9 3 0 1 0 4 0 L2 2L1 L2 L3 L1 L3 L3 25 L2 L3 1 2 3 0 0 5 3 0 0 2 1 0 1 2 3 0 0 5 3 0 0 0 15 0 Logo a 2b 3c 0 5b 3c 0 15 c 0 onde obtemos a b c 0 Logo os vetores u v e w são LI e portanto formam uma base para R3 6 Uma base para o espaço Mmxn é o conjunto das matrizes onde todas as entradas são nulas exceto uma sempre em posições diferentes Uma tal base terá mn vetores Por exemplo 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 é uma base para Mmxn e dim Mmxn mn