Lista de Exercicios Resolvidos - Desigualdade Cauchy Schwarz Produto Interno e Isometrias

Universidade Federal do Piauí UFPI Campos Senador Helvídio Nunes de BarrosCSHNB Curso de Licenciatura em Matemática Álgebra Linear Professor João Santos Andrade Atividade 1 Mostre que na desigualdade de CauchySchwarz a igualdade ocorre isto é u v uv se e somente se os vetores u e v são LD 2 Use a desigualdade de CauchySchwarz para provar as seguintes desigualdades abaixo a Dados x1 x2 xn y1 y2 yn R vale a desigualdade x1y1 x2y2 xnyn x2 1 x2 2 x2 ny2 1 y2 2 y2 n b Dados x1 x2 x3 R positivos vale a desigualdade x1 x2 x3 1 x1 1 x2 1 x3 9 c Dados x1 x2 x3 R positivos tais que x1 x2 x3 1 vale a desigualdade 1 x1 1 1 x2 1 1 x3 1 8 3 Seja é E um espaço vetorial de dimensão finita Mostre que existe um produto interno em E 4 Seja E um espaço vetorial com produto interno e F um subconjunto de E a Defina o complemento ortogonal de F b Mostre que o complemento ortogonal F de F é um subespaço vetorial de E c Se F é um subespaço de E então E F F d Encontrar F para F x y z R3 x y z 0 5 Sejam E e F espaços vetoriais com produto interno a Defina Isometria linear b Uma transformação linear T E F é uma isometria se e somente se Tu Tv u v para quaisquer u v E c Mostre que toda isometria linear é injetiva d Mostre que toda isometria linear T E E é um isomorfismo e Considere no espaço euclidiano R2 a rotação T R2 R2 dada por Tx y x cos θ ysen θ xsen θ y cos θ Mostre que T é uma isometria f Verifique que o operador linear A R2 R2 dada por Ax y x y 0 não é uma isometria linear 6 Determine a partir da base 111111101 uma base ortonormal do R³ com produto interno usual usando o Processo de Ortonormalização de GramSchmidt 7 Determine uma base ortonormal para F 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 com produto interno ABtrAtB usando o Processo de Ortonormalização de GramSchmidt Eu me deitei e dormi acordei porque o Senhor me sustentouSalmos 35 Você comerá do fruto do seu trabalho e será feliz e próspero Salmos 1282 Bom Proveito Álgebra Linear Dizer que u e v são LD significa que vα u Onde α é uma constante qualquer diferente de zero Sendo assim o produto interno de u com v será uvu αu uvα uu uvα u 2 Agora considerando a igualdade de CouchySchwarz temse uvuv Substituindo os termos α u 2 2u αu α u 2α u 2 u 2u 2 Com isso conseguimos provar que se u e v são LD a igualdade de CouchySchwarz acontece a Desigualdade de CauchySchwarz x yx y x1 y1x2 y2xn yn 2 x1 2x2 2xn 2 y1 2 y2 2 yn 2 x1 y1x2 y2xn yn 2 x1 2x2 2 xn 2 y1 2 y2 2 yn 2 x yx yx 2 y 2 Como que do lado direito eu tenho soma de quadrados temos certeza de que o resultado será positivo enquanto do lado esquerdo não temos essa certeza Logo x yx 2 y 2 Também será verdadeiro b x1x2x3 1 x1 1 x2 1 x3x1 x2x3 x2 x3x1 x3x1 x2 x1 x2 x3 De acordo com a média aritméticageométrica AMGM para os três termos x1x2x3 3 3x1 x2 x3 x1x2x33 3x1 x2 x3 Sendo assim temos x1x2x3 x2 x3x1 x3x1 x2 x1 x2 x3 3 3x1 x2 x3 x2 x3x1 x3x1 x2 x1 x2 x3 3 x2 x3x1 x3x1 x2 3 x1 2 x2 2 x3 2 Aplicando AMGM novamente temse x2 x3 x1 x3x1 x2 3 3x2x3 x1 x3 x1x2 3x1 2 x2 2 x3 2 x2x3x1x3x1x23 3 x1 2 x2 2 x3 2 Portanto teremos x1x2x3 x2 x3x1 x3x1 x2 x1 x2 x3 3 3x1 x2 x3 x2 x3x1 x3x1 x2 x1 x2 x3 3 x2 x3x1 x3x1 x2 3 x1 2 x2 2 x3 2 3 3 3x1 2 x2 2 x3 2 3 x1 2 x2 2 x3 2 9 Sendo assim podemos concluir que x1x2x3 1 x1 1 x2 1 x39 c 1 x1 1 1 x2 1 1 x3 1 1x1 x1 1x2 x2 1x3 x3 1x2x1x1x2 x1 x2 1x3 x3 1x3x2 x2 x3x1x1 x3x1 x2x1 x2x3 x1 x2x3 1x1x2x3x1x2 x1 x3x2 x3x1x2x3 x1x2x3 11x1 x2x1 x3x2 x3x1 x2x3 x1 x2x3 x1x2x1x3x2x3 x1 x2x3 1 1 x1 1 x2 1 x31 1 x1 1 x2 1 x3x1 x2x31x1x2x3 1 x1 1 x2 1 x3x1x2x31918 Portanto temos que 1 x1 1 1 x2 1 1 x3 18 Começamos escolhendo uma base qualquer para E Seja v1 v2vn uma base para E Agora aplicamos o processo de GramSchmidt para obter uma base ortogonal u1u2 un a partir da base original O processo de GramSchmidt começa com u1v1 Em seguida para cada i2 calculamos da seguinte maneira uivi j1 i1 viu j u j 2 u j Agora normalizamos os vetores da base ortogonal para obter uma base ortonormal e1e2en Para isso definimos ei ui ui Agora definimos o produto interno entre quaisquer dois vetores x e y em E e em termos da base ortonormal e1e2en x y i1 n x ei y ei a O complemento ortogonal de um subconjunto F de um espaço vetorial E denotado por F 1 é o conjunto de todos os vetores em E que são ortogonais a todos os vetores em F Em outras palavras F 1v Ev w0 paratodo wF b Para mostrar que F 1 é um subespaço vetorial de E precisamos verificar que ele satisfaz as propriedades de um subespaço i Contém o vetor nulo Como 0w0 para qualquer vetor w o vetor nulo 0 está em F 1 ii Fechado sob adição Se v1v2F 1 então v1w0ev2w0 para todo F 1 Portanto para qualquer α β R temos α v1 β v2wα v1wβ v2w0 Isso significa que α v1β vi também está em F 1 iii Fechado sob multiplicação por escalar Se vF 1e ρR então ρv w ρv w0 Portanto ρv também está em F 1 Dessa forma F 1 é um subespaço vetorial de E c Se F 1 é um subespaço de E então podemos mostrar que E F F1 o que significa que qualquer vetor em E pode ser expresso de forma única como a soma de um vetor em F e um vetor em F 1 d O conjunto F é formado por vetores x y z que satisfazem a equação xyz0 o que significa que xyz Portanto um vetor x y z está em F se somente se x y z formarem uma sequência aritmética Para encontrar F 1 precisamos encontrar os vetores abc R 3 que são ortogonais a todos os vetores em F Isso significa que o produto interno entre abc e qualquer vetor xyz em F deve ser zero x y z abc axbycz0 a yz byczayazbyczab yac z0 Logo podemos concluir que F 1000 a Uma isometria linear é uma transformação linear que preserva as distâncias e os ângulos entre vetores em espaços vetoriais com produto interno b Uma transformação linear é uma isometria se T u T v uv para todos os vetores u e v em E c Considere Tu Tv Logo teremos T u T v uvT uT uuvu uuvuv isso implica que uv o que significa que a transformação T é injetiva d Uma isometria linear T E E que preserva o produto interno é também um isomorfismo Para provar isso precisamos mostrar que ela é sobrejetiva No entanto como estamos trabalhando em um espaço vetorial com a mesma dimensão a injetividade implica automaticamente na sobrejetividade tornando a transformação linear T um isomorfismo e A rotação T R 2R 2 dada por T x y xcos θ ysen θ xsenθ ycosθ uma isometria pois preserva os produtos internos entre vetores 6 u1111 u21111 3 111 2 3 4 3 2 3 u31011 3 1112 3 2 3 4 3 2 3 16 9 5 9 2 9 e1 1 3 1 3 1 3 2 3 4 3 2 3 4 9 16 9 4 924 3 26 3 e26266 16 9 5 9 2 9 256 81 25 81 4 81285 9 e3 16 285 5 285 2 285 A base ortonormal derivada da base dada é e1e2e3 7 U 1 1 0 0 0 U 2 0 1 0 1 U 3 0 0 1 1 e1 1 0 0 0 e2 0 12 0 12 e3 0 0 12 12 A base ortonormal derivada da base dada é 1 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 1 2