Transformacoes Lineares - Exercicios Resolvidos

1 Determine a transformação linear T R3 R2 tal que T1 2 0t 1 5t T0 1 0t 0 1t T2 0 1t 2 4t 2 Seja T U V uma transformação linear a Verifique se o núcleo de T é um subespaço vetorial de U b Verifique se a imagem de T é um subespaço vetorial de V 3 Considere a transformação linear T R2 R2 definida da seguinte maneira Tx yt x y y xt Determine o núcleo de T 4 Considere a transformação linear T R2 R2 definida da seguinte maneira Tx yt x 2xt Determine o núcleo e a imagem de T 5 Determine o núcleo e a imagem do operador rotacional em R2 6 Seja a transformação linear Tx yt 12xy3 x3yt Transforme o triângulo de vértices 10 02 e 32 por T 7 Seja a transformação linear Tx yt 12y xt Transforme o triângulo de vértices 11 22 e 32 por T 1 Determine uma base para Pn Em seguida determine a dimensão deste espaço vetorial 2 Sejam S U V e T V W duas transformações lineare A composição composição de T com S é a transformação linear dada por T o Su TSu a Se S R3 R2 e T R2 R2 são dadas por Sa b ct a b b ct e Tx y zt x y x y zt Verifique se S e T são transformações lineares e calcule T o S b Sejam T o operador em R2 que realiza rotação pelo ângulo π2 e S o operador em R2 que realiza rotação por π4 Determine T o S 3 Sejam Q U V R U V S W U T W U transformações lineares verifique se R o S T R o S R o T e Q R o S Q o S R o S 4 Uma transformação linear T U V é invertível se e somente se é bijetiva Neste caso a inversa de T é a transformação linear T1 V U tal que T1Tv v Partindo deste fato a verifique se a transformação linear T R2 R2 dada por Tx yt x 2yt é invertível b verifique se a transformação linear T R2 R2 dada por Tx yt 2x 3yt é invertível Caso afirmativo decida se Sa bt a2 b3t é inversa para T 1 Sejam x y zt R3 a b c R Considere a equação x y zt a1 2 0t b0 1 0t c2 0 1t ou seja a 2c x 2a b y c z donde obtemos a x 2z b 2x y 4z c z Logo x y zt x 2z1 2 0t 2x y 4z0 1 0t z2 0 1t Aplicando T Tx y zt x 2zT1 2 0t 2x y 4zT0 1 0t z T2 0 1t x 2z 1 5t 2x y 4z 0 1t z 1 4t x 2z 2z 5x 10z 2x y 4z 4zt x 3x y 2zt Portanto Tx y zt x 3x y 2zt 2 a O núcleo de T é dado pelo conjunto NucT u in U Tu 0 Vejamos se NucT é subespaço vetorial de U Sejam u1 u2 in NucT e lambda in mathbbR i 0 in NucT Pois por propriedade de transformação linear T0 0 ii Para mostrar que u1 u2 in NucT precisamos mostrar que Tu1 u2 0 Temos Tu1 u2 Tu1 Tu2 pela linearidade de T 0 0 pois u1 u2 in NucT 0 Logo u1 u2 in NucT ii Queremos mostrar que lambda u1 in NucT ou seja Tlambda u1 0 Temos Tlambda u1 lambda Tu1 T é linear lambda 0 u1 in NucT 0 Logo lambda u1 in NucT Portanto NucT de T é um subespaço vetorial de U b ImT v in V Tu v para algum u in U Sejam v1 v2 in ImT lambda in mathbbR i como 0 T0 então 0 in ImT ii Para mostrar que v1 v2 in ImT precisamos mostrar que existe u in U tal que v1 v2 Tu Temos v₁ Im T u₁ U tal que v₁ T u₁ v₂ Im T u₂ U tal que v₂ T u₂ Logo v₁ v₂ T u₁ T u₂ T u₁ u₂ Portanto v₁ v₂ Im T iii Temos λ v₁ λ T u₁ T λ u₁ Logo λ v₁ Im T Portanto Im T é um subespaço vetorial de V 3 Se T x yt 0 0 0t então x y y xt 0 0 0t ou seja a x y 0 y x 0 donde obtemos x y 0 Portanto o núcleo de T é dado por NucT 0 0 0t 4 o Núcleo de T Se T x yt 0 0 0t então x 2xt 0 0 0t ou seja a x 0 2x 0 donde obtemos x 0 y y Logo NucT 0 yt y ℝₜ o Imagem de T Temos x 2xt x 1 2 Portanto ImT 1 2t 5 O operador rotação em IR2 Tθ IR2 IR2 é dado por Tθ x yt x cosθ y senθ x senθ y cosθt Se Tθxyt 0 0t então x cosθ y senθ 0 x senθ y cosθ 0 Logo x y 0 Portanto NucTθ 0 0t Agora x cosθ y senθ x senθ y cosθt x cosθ senθt y senθ cosθt Logo ImT cosθ senθt senθ cosθt 6 Temos T10 12 1 3t T02 12 23 2t 3 1t T32 12 3 23 33 2t 32 3 33 1t Portanto T leva o triângulo de vértices 10 02 e 32 no triângulo de vértices 12 32 31 e 32 3 33 1 7 Temos T11 12 1 1t T22 12 2 2t 1 1t T32 12 2 3t 1 32t Logo T leva o triângulo de vértices 11 22 e 32 no triângulo de vértices 12 12 11 e 1 32 1 Temos Pn ao anx anx2 anxn ai IR i 0 n O conjunto B 1 x x2 xn é uma base para Pn De fato B gera Pn Dado ao anx anx2 anxn Pn temos ao anx anx2 anxn ao1 a1 x a2 x2 anxn B é LI Dados ai IR i 0 n Considere a equação ao1 a1x a2 x2 anxn 0 ou seja ao 0 a1 0 an 0 Logo B é LI Portanto B 1 x x2 xn é uma base de Pn e como B tem n 1 elementos segue dim Pn n 1 2 a S é uma transformação linear Sejam u xu yu zut v xv yv zvt R3 λ IR Temos Su λv Sxu λxv y u λyv zu λzvt xu λxv yu λyv yu λyv zu λzut xu yu λ xv λ yv yu zu λxv λzvt xu yu yu zut λxv λ yv λxv λ zvt xu yu yu zut λxv yv λyv zvt xu yu yu zut λ xv yv yv zvt Sxu yu zut λ Sxv yv zvt Su λ Sv Logo S é linear T é uma transformação linear Sejam u x1 y1 z1t v x2 y2 z2t e IR3 λ IR Temos Tu λv Tx1 λx2 y1 λy2 z1 λz2t x1 λx2 y1 λy2 x1 λx2 y1 λy2 z1 λz2t x1 λx2 y1 λy2 x1 y1 z1 λx2 y2 z2t x1 y1 x1 y1 z1t λx2 λy2 λx2 y2 z2t Tx1 y1 z1t λ Tx2 y2 z2t Tu λ Tv Portanto T é linear Não é possível calcular T o S pois S IR3 IR2 e T IR3 IR3 O domínio de T é diferente do contradomínio de S b Rotação pelo ângulo π2 Tπ2 cos π2 sen π2 sen π2 cos π2 0 1 1 0 Rotação pelo ângulo π4 Sπ4 cos π4 sen π4 sen π14 cos π4 22 22 22 22 Logo T o S T S 0 1 1 0 22 22 22 22 22 22 22 22 Portanto T o S 22 22 22 22 Ou ainda T o S x yt 22 x 22 y 22 x 22 yt 3 Verifiquemos se Ro S T Ro S Ro T Temos Ro S T RS T RS RT R é linear Ro S Ro T Agora temos Q RoS Q RS QS RS QoS RoS 4 a Se Tx yt 0 0t então x yt 0 0t ou seja x 0 y 0 onde obtemos x y 0 Logo NúclT 0 0t e portanto T é injetora É pelo teorema do núcleo e da imagem segue dim ImT dim R² dim NúclT 2 0 2 logo ImT IR² e portanto T é sobrejetora Com isso obtemos que T é bijetora logo T é um isomorfismo ou seja T é invertível b Se Tx yt 0 0t então 2x 0 2y 0 onde obtemos x y 0 Logo NúclT 0 0t e portanto T é injetiva Pelo teorema do núcleo e da imagem segue que dim ImT 2 logo ImT IR² ou seja T é sobrejetora Portanto T é bijetora logo T é invertível Agora suponha T¹x yt α βt Então x yt Tα β 2α 3βt Logo x 2α y 3β α x2 β y3 Logo T¹x yt x2 y3t Portanto Sa bt a2 b3t