Lista de Exercícios: Máximos e Mínimos em Funções de Várias Variáveis

Aula 11 Máximos e mínimos sobre conjunto compacto quartafeira 9 de março de 2022 1028 Página 1 de Nova Seção 1 3 max f 4 em A e é atingido nos pontos 21 e 21 O valor máximo é atingido nos pontos 21 e 21 O valor mínimo é atingido no ponto 12 Aula 10Máximos e Mínimos segundafeira 7 de março de 2022 1155 Página 1 de Nova Seção 1 Sejam fxy de classe C A função H dada por Hxy fx fyx fy fx xfy fyx² fxy fx fy yx y² x²y² x²y² fxy y²x² Não forneceu informação sobre esse ponto crítico MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ UFPI CAMPUS SENADOR HELVÍDIO NUNES DE BARROS CSHNB CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PROFESSOR MscGEOVANI JOSÉ DE CARVALHO LISTA II 1 Determine os pontos estacionários críticos das funções dadas abaixo a 𝑓𝑥 𝑦 5 𝑥2 3𝑦2 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 5𝑦2 7 c 𝑓𝑥 𝑦 e13x25𝑦2 2 Determine os pontos críticos das funções dadas e verifique os que são de máximo de mínimo ou pontossela Calcule os extremos das funções quando estes existirem a 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦𝑥 𝑦 1 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 𝑥𝑦 𝑦2 c 𝑓𝑥 𝑦 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 3 Estude a função dada com relação ao máximo e mínimo no conjunto dado a 𝑓𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 em 𝐴 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥2 𝑦2 1 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 3𝑥𝑦 3𝑥 em 𝐴 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 0 𝑦 0 𝑒 𝑥 𝑦 1 4 Ache o máximo e o mínimo da função 𝑓𝑥 𝑦 8𝑥3 3𝑥𝑦 𝑦3 0 𝑥 1 0 𝑦 1 5 Suponha que 𝑇𝑥 𝑦 4 𝑥2 𝑦2 represente uma distribuição de temperatura no plano Seja 𝐴 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 0 𝑦 0 𝑒 𝑥 2𝑦 1 Determine o ponto de 𝐴 de menor temperatura 6 Estude com relação a máximos e mínimos a função dada com as restrições dadas a 𝑓𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 𝑒 𝑥2 2𝑦2 1 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑥2 2𝑦2 1 e 3𝑥 𝑦 1 c 𝑓𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑒 𝑥2 4𝑦2 8 7 Determine a menor distância da origem ao plano 2𝑥 3𝑦 𝑧 2 0 8 Mostre que em geral a distância mínima da origem a um plano qualquer 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 𝑑 0 é dada por 𝑑 𝑎2𝑏2𝑐2 9 Encontre os pontos de mínimo e máximo de 𝑓𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑧 sujeito as restrições 𝑥2 𝑦2 2 𝑒 𝑥 𝑧 1 10 Calcule a menor distância entre a parábola 𝑦 𝑥2 1 e a reta 𝑦 𝑥 2 Dica Considere o ponto 𝑃 𝑥 𝑥2 1 pertencente a parábola e 𝑄 𝑦 𝑦 2 um ponto da reta Defina 𝑓𝑥 𝑦 𝑑2𝑃 𝑄 11 Mostre que a distância do ponto 𝑥0 𝑦0 a uma reta 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐 0 é 𝑎𝑥0𝑏𝑦0𝑐 𝑎2𝑏2 12 Verifique a validade do teorema da função implícita e calcule 𝑦𝑒 𝑦 no ponto 𝑃0 a 𝑦3 𝑥𝑦 𝑥2 3 𝑃0 21 b 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑦𝑒𝑦 0 𝑃0 10 c ln𝑥𝑦 𝑥𝑦2 1 𝑃0 11 13 Verifique se a equação 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 ln𝑥2 𝑦2 0 define 𝑦 como função de 𝑥 numa vizinhança de 𝑃0 01 e obtenha a derivada de 𝑦 𝑓𝑥 em 𝑥 0 14 Ache em termos de 𝑥 𝑦 𝑧 as derivadas parciais de primeira ordem das funções implícitas 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 determinadas pelas equações dadas a 𝑥2 𝑦2 𝑧2 1 b 𝑥2𝑧 𝑦𝑧2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑧 0 c ln 𝑥𝑦𝑧 𝑒𝑧 1 Bom proveito Aula 12 Multiplicadores de Lagrange sextafeira 11 de março de 2022 1103 Página 1 de Nova Seção 1 EXEMPLO 2 Estude com relação a máximo e mínimo a função fx y y x³ com a restrição y x³ 0 Aplicando em 1 2x frac2x2cdotleftfracdydxright 2x frac2x3 x 1 x 1