Maxima e GeoGebra: Auxílio no Aprendizado de Cálculo IV

Maxima e GeoGebra para auxilio em Cálculo IV Ícaro Vidal Freire 12 de agosto de 2023 Resumo Nesse pequeno texto desejo apresentarvos al guns softwares que podem auxiliar o aprendizado de certos conceitos da nossa disciplina Cálculo IV Especificamente quero expor funções dos softwares Maxima e GeoGebra para calcular inte grais duplas e construir superfícies em R3 1 Softwares para Matemáticos e afins Como mensionei em sala existem muitos softwares que podem auxiliar o professor de matemática quer no icarofreireufrbedubr 1 aprendizado de algum conteúdo quer na exposição dos mesmos Esse pequeno texto tratará da exposição de algumas funções de dois softwares a saber Maxima e GeoGebra muito úteis ao aprendizado de assuntos relacionados à disciplina Cálculo IV de nosso curso Maxima O Maxima é um Sistema de Álgebra Computa cional Computer Algebra System CAS que pode auxiliar na resolução simbólica de equações sim plificação de expressões e cálculos algébricos com plexos Mais sobre o Maxima aqui httpsmaximasourceforgeioptindexhtml GeoGebra Uma ferramenta poderosa para matemática e geometria dinâmica Ele permite a criação de gráficos interativos construção geométrica e ex ploração de conceitos matemáticos de maneira visual Mais sobre o GeoGebra aqui httpswwwgeogebraorgabout Ambos os softwares são multiplataforma e de livre distribuição Antes porém de falarmos mais a respeito desses softwares gostaria de enfatizar uma lista de outros pro gramas que vejo como importantes para o conhecimento de um profissional em Matemática 2 R Sim escrevese apenas com uma letra R É uma lin guagem de programação e ambiente de desenvol vimento estatístico Ideal para análise de dados modelagem estatística e visualizações de dados Você pode saber mais sobre o R aqui httpswwwrprojectorgabouthtml Sou favorável a ideia da pessoa ser poliglota no que se refere à Linguagens de Programação Por isso não vejo clima de briga se alguém optar pelo Phyton por exemplo ou Lua como lingua gem de programação No meu entendimento o importante é aprender pelo menos uma lingua gem Entretanto pacotes do R como o tidyverse deixam a análise de dados muito mais humana GNU Octave É muito útil para cálculos numéricos reso lução de equações e realização de operações mate máticas avançadas Se você precisa resolver siste mas de equações com número elevado de equações o Octave é uma boa opção Embora o Maxima tam bém realize tais operações numéricas os algorít mos são diferentes tendo o Octave uma vantagem material nesses aspectos Mais sobre o Octave pode ser visto aqui httpsoctaveorg 3 LaTeX É um sistema de preparação de documentos para composição tipográfica de alta qualidade Tal sis tema tem por base duas ideias um formatolin guagem format e um motormecanismo engine Ou seja precisamos aprender alguns comandos e estruturas que serão inseridos junto com o texto do manuscrito digitado e deixar com que as fer ramentas desse motor citado faça a composição tipográfica usando os melhores algorítmos com putacionais para isso Como linguagem o LATEX é uma liguagem de marcação Grosso modo ela ofe rece um conjunto de macros de programação ou seja um conjunto de mapeamentosatalhos para uma linguagem de programação Especificamente a linguagem de programação que dá base ao LATEX é o TEX Se você deseja escrever belos textos tipografica mente falando inclusive com muita simbologia matemática deve aprender LATEX Esse por exem plo texto foi escrito em LATEX ou mais especifica mente em LuaLATEX usei o LATEX2ε para escrever o manuscrito e o LuaTeX para composição tipográ fica Também é importante o versionamento e backup de seus escritos O Git pode ser uma opção muito eficiente para versionamento e pode ser integrado com seus backups Falando nisso tenha pelo menos três backups daquilo que você acha importante 4 Dito essas coisas podemos adentrar naquelas rela cionadas a nossa disciplina Mas para isso precisamos relembrar a ideia de parametrizacao de supercicies 2 Parametrizagao de Superficies em R Podemos descrever uma superficie em R por uma fun ao SRxR RP uv xyz tal que x xuv y yuv e z zuv também chamadas de Equacées Paramétricas Podese parametrizar uma superficie de diversas for mas Por exemplo a parte superior do circulo unitario D xy RY xy 1 pode ser parametrizado por S uvV1w0 luledv1 ou por S cosuvsenu00ume0vl Apenas para entendermos o que esta acontecendo consideremos S De fato como x y 1 cha mando x u podemos isolar a raiz positiva de y a 5 saber y V1 u E como x 1 1 naturalmente 1 u 1 Entretanto se considerassemos apenas os pontos da forma u V1 u 0 teriamos a cincun feréncia ou seja x y 1 Fazendo 0 v 1 percorremos toda a regiao entre y Oe y V1 x A Figura representa os valores para v 105025 e 0 e a Figura 2 representa a regiao desejada ou seja para todos os valores de v 0 1 Figura 1 Semicirculos para v 105025 e 0 Vamos considerar mais um exemplo a regiao deli mitada pelas retas y 1 x y 0 ex 0 no primeiro quadrante ou seja Txy R0xled0y1x que esta representada geometricamente pela Figura 3 Ora fazendo x u claramente u 01 ey 1u Desejamos entao que haja uma variacao em y de maneira que percorramos toda a regiao entre y 1u ee Figura 2 Semicírculo formado com todos os valore de v 0 1 Figura 3 Região triangular 7 e y 0 Entao podemos colocar o parametro v na segunda coordenada e fazélo variar entre 0 e 1 ou seja v 01 Portanto temos a possivel parametrizacao T uv1u0 Oule0v1 A Figura 4 mostra a variagao com v 105 025 e 0 Figura 4 Tridangulos para v 1 05 025 e 0 Com essas importantes ideias podemos explorar os softwares GeoGebra e Maxima para por exemplo cons trucao de sdlidos formados por delimitagao de superfi cies em R 8 3 Delimitação de Superfícies e o Geo Gebra No GeoGebra usamos o comando Superfície para construírmos superfícies em R3 Bem sugestivo não Tal comando possui a seguinte estrutura Superfície xuv yuv zuv u u1 u2 v v1 v2 onde u1 u2 v1 e v2 são as variações respectivamente dos parâmetros u e v É conveniente tentarmos sempre escrever v 0 1 A título de exemplo vamos construir o sólido delimi tado no primeiro quadrante pelas equações z 1 x y z 0 y 0 e x 0 Lembremse que a equação z 1xy é um plano Este toca em x 1 y 1 e z 1 basta zerar as duas outras variáveis correspondentes Notem que 0 z 1xy Na região de integração ou seja no plano xy temos z 0 Portanto y 1 x e assim 0 y 1 x E por fim 0 x 1 Assim se denominarmos por Rxy a 9 regiao quando z 0 temos Ry xy RB Oxle0y1x Parametrizando essa regiao em R temos Ry uv 1 0 Ouledv 1 De forma semelhante podemos parametrizar as regides dos planos R quando y 0 e Ry quando x 0 respectivamente por Rez u0v1u Ouled0vl Ry 0uv1u OS uled0vl Apenas por curiosidade a Figura 5 mostra essas duas ultimas regides Falta entao parametrizarmos o plano z 1x y Ora nada mais natural pensarmos que os valores de x e y tenham sua variacao de acordo com a projecao em xy Mas vimos que em xy x wey v1u Portanto z1uv1u Assim a parametrizacao do plano S é dada por Suv1ul1uv 1u Ouledv 1 No GeoGebra 0 cédigo completo ficaria assim a Superficieu v1 u 0 u 0 1 v 1 b Superficieu 0 v1 u u 0 1 v 0 1 10 Figura 5 Regiões nos planos xz e yz c Superfície0 u v1 u u 0 1 v 0 1 d Superfície u v1 u 1 u v1 u u 0 1 v 0 1 E sua visualização é mostrada na Figura 6 4 Maxima para Integrais e Superfícies Vamos usar o Maxima para duas situações nesta parte de nosso curso calcular integrais duplas e delimitação de superfícies em R3 Entretanto por questões meramente pessoais eu 11 Figura 6 Demilitações das superfícies prefiro o GeoGebra para demilitações das superfícies Simplesmente acho a renderização automática do Ge oGebra um atrativo para visualizarmos as superfícies enquanto as construímos Mas indicarei a vocês como podemos fazer isso no Maxima também Antes porém saiba que cada comando do Maxima termina com ponto e vírgula E se você estiver uma interface gráfica tal como o wxMaxima para rodar o comando devese usar Shift Enter Além disso caso não queira exibir a saída do comando basta usar no lugar de o cifrão 12 41 Demilitando Superfícies com o Maxima A função adequada à parametrização de superfícies sur face parametric em inglês é bastante conveniente tam bém parametricsurface A estrutura do comando é semelhante ao do GeoGebra parametricsurface xuv yuv zuv u u1 u2 v v1 v2 Entretanto as parametrizações devem ser inseridas numa função disponibilizada pela biblioteca draw Aliás para usufruírmos das ferramentas disponibilizadas pela biblioteca draw precisamos carregála com loaddraw note o ponto e vírgula ao final do comando no início do documento geralmente A função disponibilizada é a draw3d Cada um dos comandos no interior de draw3d devem ser separados por vírgula A estrutura dessa função para o caso de construção de superfícies é dada por draw3dopções superfícies Em opções podese colocar a cor título amplitude da coordenada etc As opções devem sempre vir antes da superfície que desejase modificar Assim por exemplo a parametrização do tetraedro que fizemos anteriormente ficaria assim 13 loaddraw draw3d titleTetraedro colorgreen parametricsurfaceu v1 u 0 u 0 1 v 0 1 colorblue parametricsurfaceu 0 v1 u u 0 1 v 0 1 colorblue parametricsurface0 u v1 u u 0 1 v 0 1 colorred parametricsurface u v1 u 1 u v1 u u 0 1 v 0 1 O resultado pode ser visto na Figura 7 Figura 7 Tetraedro feito no Maxima 14 Vocé pode usar a opao surfacehidetrue para con trolar a visibilidade das partes ocultas na superficie Em outras palavras quando surfacehidetrue nao ha trans paréncia entre as superficies 42 Calculando Integrais Duplas com o Ma xima A funcao integrate sera a responsavel por realizar a integracao simples Sua estrutura é integratefx x a b Para o calculo das integrais iteradas podemos usar o comando integrate sucessivamente com a seguinte estrutura integrateintegratefx y x a b y c d Assim suponha que desejase calcular a integral 1 2 x y7dxdy 0 Ji Como fxy x y e seguindo a variacao da integral temos 1 x 2e0y 1 Portanto para resolvermos essa integral basta digitarmos integrateintegratex2y2 x 1 2 y 1 15 A saida portanto é 83 Obviamente precisamos conhecer algumas coisas basicas na escrita de expressdes no Maxima Consulte a Tabela 1 para conhecer mais Tabela 1 Algumas expressoes basicas no Maxima Express6es Comando abab a b ab abab axb ab a ab Ja Va sqrta a1n In x e logx expx e 7 He HPA x absx oo 00 minf inf sen x cosx tg x sinx cosx tanx sec x cossec x cotgx secx cscx cot x Cetamente os limites de integracao nao precisam ser constantes Por exemplo podemos calcular a integral 2x2 dydx 2 Jx Para tanto basta digitarmos 0 comando 16 integrateintegrate1 y x 2 x2 x 2 1 A saida é 92 Veja mais um exemplo com a Integral de Poisson 00 5 e dx integrateexpx2 x minf inf A saida 7 Ainda usaremos muito 0 Maxima em nossa diciplina mas esses comando sao os que mais se adequam a atual parte do curso Futuramente aprenderemos mais coias 5 Exemplos de Delimitagao de super ficies com o GeoGebra Fazer texto usando os exemplos visto na sala 17