Estudo sobre o Teorema de Green e sua Aplicação

1 Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Componente Cálculo Vetorial e Integral Prof Álvaro Fernandes Serafim O Teorema de Green relaciona a integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva Este teorema foi demonstrado pelo matemático britânico George Green em 1828 e é um caso particular do Teorema de Stokes Teorema de Green Teorema de Green Seja C uma curva fechada simples suave por partes orientada no sentido antihorario e R a regiado fechada delimitada por C Se F xy fxyi fxy7 um campo vetorial continuo com derivadas parciais de 1 ordem continuas num dominio do R que contém R entao Of Of i fe PE Pe ee es BO Se Pe ee es ficayddx fGe yay 2 2 dxay PPP Peck Ra eraarznnk C R y DP MPEP PP PPLE 2 2 LEB PPB A PEE EDL fF ou fee Pe ee ee FOO re oe ere ae eae Bea ty at Pe Ura ES ae te Of Of ae ae ee UF BP BAN LS Fd 2 71 axd POPP PREP EE OPI A 7 ax dy y AE LEP LT PERE EAS c R gh Beg oak gh RO tt oak encase ee tome eee eae Wa ae GE nee wae oO x A titulo de curiosidade recomendamos que vocé leia a demonstraao do Teorema de Green no seu livro texto 2 Exemplo 1 Considere o campo vetorial Fx y x 2y x7 3 y definido em todo R e a curva C dada pelo bordo do quadrado 0 x0 7 z0 Calcule a integral curvilinea F d considerando a curva orientada no sentido antihorario Solucao sem usar 0 Teorema de Green Considere CC UC UC UC como na figura onde y CF t4 0 0tI oe C 7 t4 t Ot c Rk tc C 7 tU6 1 Otl C 7t0 1t Ot1 nr Neste caso FdrF dr F dr F dr JF dr PE 9 oat FAO 8 Oa FAO aoa FA O2 ae 1 1 20 P301 0 de f 1427 P3t0 2 dt f It2P 11 311 0 det f 04212 0 3110 2 dt f tdt 13t dt t3 dt 3t3 dt S8t5 dt1 Ufa Vamos a forma mais simples 0 0 0 0 0 3 Solucao usando 0 Teorema de Green Sendo Fxyx2y x 3y e RxyeR0SxS1 e 0yi vem 3 of of fle oe arf oy dxdy I 2x4y dxdy 1 Observe que o Teorema de Green simplificou bastante os calculos 4 5 Exercício 1 Uma partícula movese ao longo da circunferência 2 2 x y 4 y 0 sob a ação do campo de forças 2 2 F x y 3x y 3xy Determine o trabalho realizado pelo campo F se a posição inicial da partícula é P 0 0 e ela se move no sentido antihorário completando uma volta Sugestão Use o Teorema de Green e calcule a integral dupla em coordenadas polares Se necessário use 4 3 1 1 sen d sen 2 sen 4 C 8 4 32 Resp 72 Calculo de areas através do Teorema de Green Podemos usar 0 Teorema de Green para expressar a area de uma regiao plana R como uma integral curvilinea ao longo do seu contorno C Lembremos que é possivel obter a area de uma regido plana usando integrais duplas bastando tomar o integrando como a fung4o constante e igual a Dai a area da regiao R dada por of of A 22 I AreaRf a4 iL a Ja A integral dupla como no Teorema de Green 0 x Assim P27 1 Ox oy Sejam R e C como no Teorema de Green Considere os campos vetoriais Fxy0x e Gxyy0 continuos com derivadas parciais continuas em todo o R e que satisfazem a condicao 1 Aplicando 0 teorema ao campo F obtemos Area R I dxdy Odx xdy xdy Aplicando 0 teorema ao campo G obtemos Area R I dxdy ydx Ody ydx 6 Aplicando 0 teorema ao campo F obtemos Area R xdy Aplicando 0 teorema ao campo G obtemos Area R ydx 1 Combinamos estas duas formas e encontramos também Area R 3 xdy ydx Obs Outras formulas podem ser obtidas aplicando 0 Teorema de Green a outros campos vetoriais convenientes 7 8 Exercício 2 Mostre usando o Teorema de Green que a área da elipse 2 2 2 2 x y 1 a b é igual ab 9 Exercício 3 Use o Teorema de Green e calcule a área da região delimitada pela ciclóide cos 1 x t sen t C t 0 2 y 1 t e pela reta C2 y 2 x como na figura Resp 2