Exercícios de Cálculo IV: Gradiente, Divergente e Rotacional

1 Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso Licenciatura em Física Matemática Componente GCFP936 Cálculo IV Prof Álvaro Fernandes Serafim Alunoa O estudo da Matemática é o mais indicado para desenvolver as faculdades fortalecer o raciocínio lógico e iluminar o Espírito Sócrates 1 Calcule o gradiente das funções escalares abaixo a y 2x e 2 x y f b 2 f xy x x y c ln z yz 2xy zy x f 2 2 Calcule o divergente dos campos vetoriais abaixo a 2 F x y sen x 2cos x b 2 2 2 F xyz 2x y 3xyz y z c F x yz ln xy x z 3 Calcule o rotacional dos campos vetoriais abaixo a F xyz sen xy i cos xy j zk b 2 F x yz 2x y i 3xz j yk 4 Verifique se os campos abaixo são irrotacionais a 2 F x yz xyz i 2x 1 j x z k b xyz xyz xyz xye xze yze zy x F 5 Faça uma correspondência entre os campos vetoriais dados e as figuras nomeadas de IIV que representam tais campos Justifique as suas escolhas a F xy x y b F xy yx y c F x y yy 2 d F x y cos x y x LLiissttaa ccoom mpplleem meennttaarr ddee eexxeerrccíícciiooss N Nºº 44 2 6 Faça uma correspondência entre as funções f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes nomeados de IIV Justifique as suas escolhas a 2 2 f xy x y b f xy x x y c 2 f xy x y d 2 2 f xy sen x y 7 Considere r xyz x i y j z k e seja 1 2 3 a a a a um vetor constante Prove que a r 3 b r 0 c r r r d 2a r rot a e 0 r div a 8 Definese o operador 2 2 2 2 2 2 2 z y x x y z x y z Se 2 opera sobre zy x f produz uma função escalar chamada de Laplaciano de f dada por 2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f zy x f Mostre que o Laplaciano da função 1 2 2 2 2 z y x zy x f é nulo ou seja esta função satisfaz a Equação de Laplace 0 zy x 2 f Obs Funções que satisfazem a Equação de Laplace são chamadas de funções harmônicas e desempenham papel importante nas aplicações físicas 9 Verifique se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio a 2 1 2 1 2 z 2 y 2 x zy x f b 1 z e cos y zy x f x 10 Verifique se os campos vetoriais são conservativos Em caso afirmativo encontre a sua função potencial a 2 2 2 F x yz 2x i 5yz j x y z k b F xy 1 ysen x i 1 cos x j c F xyz ln xy i ln yz j ln xz k d 2 F xyz 10xz ysen xy xsen xy 5x Respostas 1 a 2 2 2x y 2x y f 4xe e b 2 2 f 2y x y 2x x y c 2 1 f 2y 2x z 2yz z 2 a 2sen x cos x div F b 2 2 y 3xz 4xy div F c 1 x x div F 3 a rot F ysen xy xcos xy k b 2 rot F 1 3x i 3z 2x k 4 a não b sim 5 a IV b III c I d II 6 a III b IV c II d I 9 a sim b sim 10 a não b sim C y ycos x x zy x u c não d sim C cos xy 5x z zy x u 2