Lista de Exercícios de Cálculo IV

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso Licenciatura em Física Matemática Componente GCFP936 Cálculo IV Prof Álvaro Fernandes Serafim Alunoa Não há um ramo da matemática por mais abstrata que seja que não possa ser aplicada algum dia aos fenômenos do mundo real Nicolai Lobachevsky Matemático Russo A hélice circular é uma curva reversa isto é não existe um plano que a contenha Ela é a hipotenusa do triângulo retângulo ABC desenvolvida ao longo do cilindro quando este é envolvido pelo triângulo sendo A o ponto fixo de contato entre o triângulo e o cilindro Representação computacional da molécula DNA ácido desoxirribonucléico Esta estrutura contém todas as instruções herdadas necessárias para o desenvolvimento de um organismo vivo Em 1953 James Watson e Francis Crick mostraram que a estrutura desta molécula é de duas hélices circulares paralelas interligadas LLiissttaa ccoom mpplleem meennttaarr ddee eexxeerrccíícciiooss N Nºº 33 1 1 A posição de uma partícula em movimento no plano xy no instante t é dada pelas equações paramétricas te x t e t y t t e a Determine a função vetorial t f que descreve o movimento desta partícula b Onde se encontrará a partícula no instante t 0 e em t 2 2 Esboçar os gráficos das seguintes funções vetoriais identificando as curvas a a t 4 t i 2t j t 0 2 d d t 2 i 4 j t k t b b t 3cos t i 3sen t j k t 0 2 e 2 e t 2 i 2t j 4t k t 0 1 c 2 c t 2cos t i 4 j 4sen t k t 0 f f t t i t j t k t 0 3 a Considere as funções vetoriais 2 f t t a t b e g t t i sen t j cos t k com a i j e b 2 i j 2 t 0 Calcule i g t f t iii g t f t ii f t g t iv a f t b g t b Dadas as funções vetoriais f t t i j e g t i t j esboçar o gráfico de g t f t 0 1 t 4 Uma partícula se desloca no espaço No instante t 0 o seu vetor posição é dado por 1 r t i t j t k a Determinar a posição da partícula no instante t 1 2 e 1 t b Esboçar a trajetória da partícula 5 Sejam 2 3 f t t i 2t j 3t k e 2 g t 2t i j 3t k t 0 funções vetoriais Calcule a g t f t lim 1 t c g t f t lim 1 t b g t f t lim 1 t d t 1 lim t 1 f t 6 a Calcule os limites i 3 2 2 t 2 t 4t 4t lim i j t t 6 ii t 1 t 1 lim i t 1 j t 1 k t 1 b Com relação a função vetorial f t 2cos t i j 3sen t k calcule t f t f t lim 0 t 2 7 Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais a 3 2 f t cos t i tg t j sen t k c t 2t f t e i 1 e j k b 2t f t sen t cos t i e j d 2 5t 2 f t i ln 1 t j 5 k 2t 1 8 Responda a Mostre que o gráfico da função vetorial 1 1 3 f t sen t cos t t 0 2 2 2 está sobre a superfície esférica de raio unitário e centro na origem b Apenas uma das funções vetoriais abaixo tem o gráfico totalmente contido sobre a superfície do parabolóide 2 2 y x z Identifiquea e justifique i 3 0 t t 2 f t ii 4 t2 t 2 t g t 2 iii 2cos t 2sen t 4 h t 9 Seja r t 2cos t i 5sen t j 3 k o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço Determine os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t Determine ainda o módulo destes vetores no instante 4 t 10 Se r t cos 3t i sen 3t j é o vetor posição de uma partícula em movimento mostre que o vetor velocidade da partícula é ortogonal a t r 11 Seja r t 2cos wt i 4 sen wt j onde w é uma constante não nula Verifique se 2 2 2 d r w r dt 12 Dados 2 f t t j t k e 2 g t t j t k Determine as derivadas e d f t g t d f t g t dt dt 13 Um ponto movese no espaço sobre uma curva C de modo que o vetor posição t r é igual ao vetor velocidade r t t 0 Encontre as equações paramétricas de C sabendose que 321 r 0 14 Determine a função vetorial t r sujeita às seguintes condições a 2 3 r t t i 6t 1 j 8t k r 0 2 i 3 j k b 2 r t 6t i 12t j k r 0 7 i k e r 0 i 2 j 3 k 15 Determine o vetor posição t r de uma partícula em movimento no espaço conhecendose Seu vetor velocidade 2t v t 1 e i 2 sen 3t j 2t k t 0 Sua posição inicial r 0 i j k 16 Determine uma representagao paramétrica da reta que passa pelo ponto A 120 na diregao do vetor V572f5k 17 A figura da esquerda ilustra a intersecdo do cilindro de equacdo x y2 1 com o plano de equacgdo yz2 A figura da direita ilustra a elipse obtida através da intersecao destas duas superficies Qual a equaao vetorial da elipse te ZA yz2 oe 0 1 3 Ry a SS D WER nS ey i 1 0 2 SSSA OT et SESE RS 1 02 SAE Une RR RESET 2eyla SSE 0 1 1 x2 4y2 RASS NIRS NS BREEN RSE SY 0 Ree Se te ae 2xSyz4 18 Determine uma parametrizacao da reta representada pela interseao dos planos 4 yrx 19 Encontrar uma equacao vetorial para as seguintes curvas dadas por intersecdes de superficies a x y 4 24 c Ax 1 y 10 z2 e xy 2x45y30 b y2x zx d xe ze f zxyz2x30 20 Determine uma equacaéo vetorial da reta tangente as seguintes curvas nos pontos indicados a Ftcost 2sent PZ 0 c Ft 7i 0 i P48 b Ft2cost 2sent 40 P1 V3 4n3 a Ft e e 3rV2 0 21 Determine 0s pontos em que a curva Ft Ca 1i 1j 3tk intercepta o plano de equacao 3x2yz70 22 Determine 0 comprimento de arco das seguintes curvas a Ft 3costi 4cost 7 5sentk Ot2 b Ft cos 32 sen3t5 Otz c 7t costi Incostj tsentk O0tn4 d Ft 1 ft onde f ab tem derivada continua e xf y 1t3 23 Enrolase um pedaco de arame em forma de uma hélice circular 7 t a cost asent bt com 3cm de raio e 20cm de altura Determine 0 comprimento do arame se ele contém 6 voltas completas 3 4 Respostas 1 a t t f t e i te j b 01 f 0 e 2 2 e 2 e f 2 2 a segmento de reta b circunferência 2 c arco de elipse d reta vertical 2 e arco de parábola f semireta x y x z x 0 5 3 a i 2 2 2 t t i t t sen t j cos t k 0 t 2 ii 2 3 2 t 2t t t sen t 0 t 2 iii 2 2 3 2 2 t t cos t i t 2t cos t j t t 2t sen t tsen t k 0 t 2 iv 2t 4t sen t 0 t 2 b 2 f t g t 1 t k 0 1 t veja o esboço gráfico ao lado 4 a 1 1 2 2 r 1 2 e 1 1 1 r 1 b semihipérbole veja o gráfico ao lado 5 a 3 i 3 j b 5 c 9 i 9 j 3 k d 2 i 4 j 6 k 6 a i j ii 1 2 i 2 k b 5 7 a 2 2 3cos t sen t i sec t j 2sen t cos t k b 2 2 2t cos t sen t i 2e j c t 2t e i 2e j d 2 2 9 2t i j 1 t 2t 1 8 a Mostre que f satisfaz a equação da superfície esférica 0 t b A função é t h 9 v t 2sen t i 5cos t j v 4 29 2 a t 2cos t i 5sen t j a 4 29 2 11 sim Segmento de reta vertical 12 2r4ri ce 0 13 xIle y2e z3e t0 14 a Ft 83 27 32 t37 2041k b Ft 877 2t7 7 P23t41k 15 O vet icdo é Ft vaio i a 0830 4 j0 1k O vetor posicao é 75 i 3 3 J x15t 16 jy22t tEeR zS5t 17 7t cost sent 2sent t 0 27 xt 18 y44t t eR existem outras z243t 19 a t2cost 2sent 4r 027 b 207 c rt 7 V5 cos2 10 sent 2 e0 2z d rt i int et 0 e r 14 scon sent circunferéncia de centro 152 e raio V412 f 7t142cost 2sent 54cost t 0 27 20 a gti2t7 b G041N5i VG7Svae le c Gt44ti 812t 7 d Gt130i 13t 7 3rV2k 21 3 56 e 0 2 3 22 a 10uc b nV34uc c InlV2uc d Viele of dt 2771 85V85 13V 13 uc 23 4V8177 25 cm 11485 cm 6