Conceito e Definição de Integral Curvilínea

1 Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso Licenciatura em Física Matemática Componente Cálculo IV Prof Álvaro Fernandes Serafim O conceito de integral curvilínea ou integral de linha constitui uma generalização simples e natural do conceito de integral definida Orientação de uma curva Se uma partícula se desloca ao longo de uma curva suave C esta possui dois possíveis sentidos de percurso Integral curvilínea ou Integral de linha 2 Suponha que a curva C seja representada vetorialmente por r t x t i y t j z t k a t b Convencionamos chamar sentido positivo sobre C e simbolizamos simplesmente por C o sentido no qual a curva é traçada quando o parâmetro t cresce de a até b O sentido oposto é chamado sentido negativo sobre C simbolizamos C Desta forma se temos a b então C r t x t i y t j z t k a t b e C s t r a b t x a b t i y a b t j z a b t k a t b Obs C pode ser obtida também com a parametrização r t porém t iniciando em b e terminando em a C C 3 Exemplo Esboce as curvas abaixo e observe as suas orientações a cos C r t t i sen t j 0 t 2 b cos C s t t i sen t j 0 t 2 Integral curvilinea ou Integral de linha Seja C uma curva plana suave orientada com ponto inicial A e ponto terminal B Seja f f x y uma funcao escalar definida em cada ponto de C Dividimos a curva C em n infinitésimos arcos pelos pontos A PPPPPPP B Denotamos por As As 00 comprimento de um arco genérico PP Em cada arco PP escolhemos um ponto Q x y Az I xy connate gC PB iA A 7 Q x p P AP 4s p 8 i 0 i la 5 Calculamos f no ponto Q x y multiplicamos este valor por As e formamos a soma de Riemann fQAs f xyAs i il Definicao A integral de linha de f ao longo da curva C do ponto A até 0 ponto B que denotamos C f x y ds é definida por J Sf xy ds lim Sf x9As A curva C é chamada de caminho de integragao no ial 4 Obs A construgéo acima é semelhante para integrando a trés variaveis isto f x yz A construao anterior é feita no IR para obtermos a visualizacao A definico equivalente para f xyz n J f xyz dslim f xzAs Neste caso perdemos a visualizagao Cc no iz Vamos deduzir a forma como calculamos efetivamente uma integral curvilinea conhecendose uma parametrizaao do caminho de integragao C 5 6 Cálculo da integral curvilínea Seja C uma curva parametrizada por r t x t y t a t b onde e A r a B r b Então b C C a f x y ds f x t y t r t dt f r t r t dt 1 Observações 1 Lembrese que a função f está definida sobre os pontos de C daí calcularmos f x y como f r t 2 Usamos a função comprimento de arco de C para obtermos o diferencial do comprimento de arco ds De fato t a ds S t r v dv r t ds r t dt dt 3 A forma 1 estendese naturalmente para caminhos de integração tridimensionais Exercicios 1 Calcule a integral curvilinea f c x 2y ds onde C é a semicircunferéncia da figura orientada no sentido anti horario He 3 Ci 3 0 3 7 Resp 36 7 8 2 Mostre que a integral curvilínea 2 C 1 xy ds onde C é o segmento de reta que liga o ponto A 0 0 até o ponto B 1 2 tem valor 2 5 Propriedades As propriedades da integral curvilinea sao as mesmas conhecidas da integral indefinida a fe k fx yz ds kf fyz dsk ER b J fyzt9yz ds f fly z dst J gxyz ds c Se C é uma curva suave com ponto inicial A e ponto terminal B e P um ponto de C entre A e B como na figura abaixo entao Sc fx yz ds So fyz ds So f yz ds CC UC G B ff A C 9 10 Interpretação geométrica da integral curvilínea Considere uma curva sobre uma superfície z f x y 0 cuja projeção no plano xy seja a curva parametrizada C r t a t b Chamase lençol a superfície cilíndrica constituída por todos os segmentos verticais com extremo inferior na curva C e extremo superior na curva sobre a superfície O valor da área do lençol é igual a b C a f x y ds f r t r t dt Exercício Calcule o valor da área da superfície lençol no 1º octante entre o círculo 2 2 x y 1 e o cilindro parabólico 2 z 1 x Esboce a superfície lençol Resp 4 ua