Integral Curvilínea de Campo Vetorial

1 Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso Licenciatura em Física Matemática Componente Cálculo IV Prof Álvaro Fernandes Serafim A integral curvilínea de campo vetorial também pode ser considerada como uma generalização natural do conceito de integral definida A sua origem está relacionada com o conceito físico de Trabalho Considere um campo vetorial contínuo 1 2 3 F xyz f xyz f xyz f xyz definido no espaço particularmente sobre uma curva suave e orientada C Integral curvilínea de campo vetorial 2 1 2 3 F xyz f xyz f xyz f xyz Sabemos que 1f 2f e 3f são funções escalares contínuas de três variáveis nas quais podemos calcular integrais de linha em relação às variáveis x y ou z ao longo de uma curva C parametrizada por C r t x t y t z t a t b ou x x t C y y t a t b z z t Integrais de linha em relação às variáveis x y ou z ocasionalmente aparecem em conjunto Por exemplo se ocorre 1 2 3 C C C f xyz dx f x yz dy f xyz dz podemos escrever esta soma usando a propriedade da integral de linha simplesmente como 1 2 3 C f xyz dx f xyz dy f xyz dz Assim 3 1 2 3 C f xyz dx f xyz dy f xyz dz b 1 2 3 a f x t y t z t x t dt f x t y t z t y t dt f x t y t z t z t dt b 1 2 3 a f x t y t z t f x t y t z t f x t y t z t x t y t z t dt b 1 2 3 a f r t f r t f r t r t dt b a F r t r t dt que expressamos simplesmente como C F dr pois de r t x t y t z t vem que dr r t x t y t z t dt de onde dr r t dt Assim 1 2 3 C C F dr f xyz dx f xyz dy f xyz dz define a integral de linha do campo vetorial 1 2 3 F xyz f xyz f xyz f xyz ao longo da curva C parametrizada por r t x t y t z t a t b Produto escalar de vetores 4 Como o produto escalar de duas funções vetoriais resulta numa função escalar podemos calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva suave e parametrizada C r t a t b através de uma integral definida em relação ao parâmetro t calculada de a até b Ou seja b C a F dr F r t r t dt 5 Exercício 1 Calcule C 2x dx 3y dy 4z dz ao longo da a Parábola 2 z x C y 2 do ponto A 020 até o ponto B 224 b Linha poligonal AOB sendo O 000 a origem do sistema Respostas a 36 b 36 6 Exercício 2 Calcule a integral de linha do campo vetorial F xy yx ao longo do caminho poligonal C de vértices M 11 N 11 e P 0 1 um triângulo orientado no sentido antihorário Solução O triângulo C é uma curva parcialmente suave formada pela união de 3 curvas suaves segmentos de reta 1 C 2 C e 3 C isto é 1 2 3 C C C C Neste caso 1 2 3 C C C C F dr F dr F dr F dr Segue que C1 r t 1 2t 1 0 t 1 r t 2 0 C2 r t 1 t 1 2t 0 t 1 r t 1 2 C3 r t t 1 2t 0 t 1 r t 1 2 1 2 3 1 C C C C 0 F dr F dr F dr F dr 11 2t 20 dt 1 0 1 2t 1 t 1 2 dt 1 0 1 2tt 12 dt 1 1 1 0 0 0 2 dt 1 2t 2 2t dt 1 2t 2t dt 4 N C1 M P C2 C3 7 O Trabalho como uma integral de linha Imaginemos uma força constante F atuando sobre uma partícula com a intenção de deslocála em linha reta de um ponto A até um ponto B O comprimento do deslocamento é a distância do ponto A ao ponto B que também é o módulo do vetor d AB Da Física sabemos que o trabalho realizado por essa força para efetuar esse deslocamento é W F d cos onde F é o vetor força d é o vetor deslocamento e é a medida do ângulo entre esses vetores Da Geometria Analítica temos a propriedade do produto escalar de vetores que afirma u v u v cos sendo o ângulo entre os vetores u e v Assim o trabalho realizado por uma força constante F para efetuar um deslocamento em linha reta d é dado por Este é o conceito mais elementar de trabalho W F d F F cos A B 8 Este resultado pode ser generalizado através de uma integral de linha de campo vetorial ao longo de uma curva Temos o seguinte resultado O trabalho W realizado por um campo de forças variáveis F que desloca uma partícula ao longo de um caminho curvilíneo C parametrizado por r t a t b é dado por Ilustração Obs pesquise a demonstração desta fórmula no seu livro texto C W F dr 9 Exercício 3 Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças 1 1 F xy x y no deslocamento de uma partícula ao longo da curva de equação y 1 x do ponto A 11 ao ponto B 2 1 2 Resp o trabalho é nulo ver gráfico na página seguinte F fieldplotx1 y1 x 33 y 33 fieldstrength log arrows slim G plotx1 x 33 y 33 displayF G axes boxed scaling constrained title Cosine and Tangent