Exercícios de Integrais Triplas e Cálculo de Volume

1 Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso Licenciatura em Física Matemática Componente GCFP936 Cálculo IV Prof Álvaro Fernandes Serafim Alunoa A matemática vista corretamente possui não apenas verdade mas também suprema beleza Bertrand Russell 1 Calcule as integrais triplas a seguir a 3 0 2 0 1 1 x 2y 4z dxdydz b 2 2 x x y 2 1 1 0 2x y dzdydx 2 Seja zy x f f uma função contínua de três variáveis Expresse T f dV identificando os limites de integração sendo T a região do espaço a Limitada pelo cilindro 9 y x 2 2 e pelos planos z 0 e z 2 1a integração em relação a z b No primeiro octante limitada pelo plano 6 3z 2y x 1a integração em relação a y c Limitada pelo parabolóide 2 2 y 4x 9 z e pelo plano z 0 1a integração em relação a z Apenas expresse não é para calcular a integral tripla 3 Use integral tripla para determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies de equações a 0 y 4 z y 4 x z 2 e z 0 b 4 z x z y z 2 y 2 2 e x 0 c 2 z y x 1 z y 2 2 e x 0 d 1 y 0 z x 9 z 2 e y 2 LLiissttaa ccoom mpplleem meennttaarr ddee eexxeerrccíícciiooss N Nºº 22 2 Cálculo de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas T T f xyz dV f r cos r sen z r drd dz onde T é a região T descrita em coordenadas cilíndricas Cálculo de uma integral tripla em coordenadas esféricas 2 T T f xyz dV f sen cos sen sen cos sen d d d onde T é a região T descrita em coordenadas esféricas 4 Resolva as questões abaixo esboçando os sólidos a Calcule T 3 dV onde T é a região simultaneamente interior ao cilindro 2 2 x y 1 e a esfera 2 2 2 x y z 4 b Calcule 2 2 T x y dV onde T é a região delimitada pelos parabolóides 2 2 z x y 4 e 2 2 z 4 x y c Calcule T x dV onde T é a região simultaneamente interior ao parabolóide 2 2 1 z x y 4 e a esfera 2 2 2 x y z 5 d Calcule 2 2 2 T x y z dV onde T é a região esférica 2 2 2 x y z 9 e Calcule 2 2 2 T x y z dV onde T é a região interior a esfera 2 2 2 x y z 9 e exterior ao cone 2 2 z x y f Calcule T z dV onde T é o sólido acima do plano xy abaixo do parabolóide 2 2 y x 4 z e dentro do cilindro 1 y x 2 2 g Calcule T dV onde T é a região do espaço entre as esferas 9 z y x 2 2 2 e 16 z y x 2 2 2 5 Calcule o volume dos sólidos abaixo esboçandoos a Acima do plano xy delimitado por 2 2 y x z e 16 y x 2 2 b Acima do parabolóide 2 2 y x z e abaixo do cone 2 2 y x z c Região da esfera 9 z y x 2 2 2 entre os planos z 1 e z 2 3 Aplicações Físicas Para os problemas abaixo pesquise as fórmulas num livro de Cálculo 6 Verifique que o centro de massa de uma esfera de raio 1 coincide com seu centro sabendose que a sua distribuição de massa é homogênea 7 Calcule o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido delimitado pelas superfícies 2 2 z 4 x y e z 0 sabendose que a densidade de massa em um ponto zy x P qualquer do sólido é o triplo da distância de P ao plano xy Obs considere a unidade de massa em Kg e a unidade de comprimento em m 8 Calcule a massa do sólido delimitado pelas superfícies 2 2 z 4 x y e 2 2 z x y considerando a densidade de massa deste sólido igual a 4 Kg m3 δ xyz Respostas 1 a 392 b 5138 2 a ou 2 2 2 2 3 9 x 2 3 9 y 2 3 9 x 0 3 9 y 0 f dzdydx f dzdxdy b ou 2 6 3z 6 x 3z 2 6 6 x 3 6 x 3z 2 0 0 0 0 0 0 f dydxdz f dydzdx c ou 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 9 4 x 9 4 x y 3 9 y 2 9 4 x y 3 2 9 4 x 0 3 9 y 2 0 f dzdydx f dzdxdy 3 a 1285 uv b 323 uv c 2 uv d 108 uv 4 a 4 8 3 3 b 15 256 c 0 d 5 972 e 5 2 243 2 f 6 37 g 3 148 5 a 128 uv b 6 uv c 3 20 uv 7 2 32π Kgm 8 16π Kg