Cálculo de Integrais Duplas e Exercícios Práticos

1 Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Curso Licenciatura em Física Matemática Componente GCFP936 Cálculo IV Prof Álvaro Fernandes Serafim Alunoa Uma grande descoberta envolve a solução de um grande problema mas há uma semente de descoberta na solução de qualquer problema Seu problema pode ser modesto porém se ele desafiar a sua curiosidade e fizer funcionar a sua capacidade inventiva e caso você o resolva sozinho então você poderá experimentar a tensão e o prazer do triunfo da descoberta George Polya 1 Calcule R f xy dA onde a e e xy 2 f xy x e R xy 1 x 3 0 y 1 b e e 2 f xy x cos xy R xy 0 x 2 0 y 2 2 Esboce a região de integração e calcule as seguintes integrais duplas a 1 2x 0 x 2x 4y dydx c 2 1 1 y 0 0 x dxdy e 2 1 x 0 x 2xy dydx b e 1 1 ln x x dydx d 2 2 1 4 x 1 1 x x dydx f 1 x 2 2 1 1 x 2y dydx 3 Apenas inverta a ordem de integração adequadamente a 4 y 2 0 0 f xy dxdy b 2 3 1 x 0 x f xy dydx c x 2 e 1 0 f xy dydx d 1 3x 0 2x f xy dydx 4 Resolva as questões abaixo a Calcule R 8 x y dA onde R é a região delimitada por y x y 2 4 e b Calcule R yln x dA x onde R é a região retangular e 2 x y 1 x 2 1 y 1 c Calcule R x y dA onde R é a região hachurada na figura 1 d Calcule 2 1 1 x 0 y e dxdy Observe a região hachurada na figura 2 e Calcule R x dA onde R é a região hachurada na figura 3 Figura 1 Figura 2 Figura 3 LLiissttaa ccoom mpplleem meennttaarr ddee eexxeerrccíícciiooss N Nºº 11 2 5 Sejam q y p x e funções contínuas Se R é a região retangular e 2 xy a x b c y d mostre que b d R a c p x q y dxdy p x dx q y dy 6 Use o resultado do exercício 5 para calcular R sen x sen y dxdy onde R é a região retangular e 2 R xy 0 x 2 0 y 2 Integrais duplas em coordenadas polares 7 Calcule 2 2 2 R x y dxdy onde R é a região hachurada na figura 4 8 Calcule 3 2 R 2 2 dxdy 1 x y onde R é a região hachurada na figura 5 9 Calcule 2 2 R x y dxdy onde R é a região delimitada por x y 2 2 1 e x y 2 2 9 10 Calcule R 8 x y dxdy sendo R delimitada por x y 2 2 1 Interprete geometricamente 11 Calcule a 2 2 R ln x y dxdy sendo R o anel delimitado por x y x y 2 2 2 2 16 25 e b 2 2 2 x y R e dxdy sendo R a região circular 4 y x 2 2 12 Calcule a 2 4 4 y y 2 2 0 0 x y dxdy b 2 2 a a x 2 2 0 0 x y dydx considere a uma constante real positiva 13 Calcule R dxdy sendo R a região hachurada na figura 6 Figura 4 Figura 5 Figura 6 3 Cálculo de volumes Sabemos que para 0 x y f a integral R V f xy dA nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de x y z f inferiormente pela região R projeção de x y z f sobre o plano xy e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R 14 Calcule o volume do sólido acima do plano xy delimitado pelo parabolóide z x y 4 2 2 2 2 Esboce o sólido 15 Calcule o volume do sólido acima do plano xy delimitado lateralmente pelo cilindro 1 y x 2 2 e superiormente pelo parabolóide 2 2 y x z Esboce o sólido 16 Prove usando integral dupla que o volume do tetraedro da figura 7 é dado por a36 17 Calcule o volume do tetraedro da figura 8 sabendose que ele está limitado no primeiro octante pelo plano de equação z x y 3 2 1 1 18 Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelo plano 2 y z e pelo cilindro vertical que contorna a região plana delimitada por y x2 e x y2 Veja o sólido na figura 9 Figura 7 Figura 8 Figura 9 4 19 Mostre usando integral dupla que a O volume de um cilindro circular reto de altura h e raio de base a é dado por V a h 2 b O volume de um cone circular reto de raio de base a e altura h é dado por a h 3 V 2 Use a equação do cone 2 2 z h a x y Esboce o cone Obs O volume do cone é igual a um terço do volume do cilindro de mesma altura e raio de base 20 Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo Esboceos a inferiormente por z 0 lateralmente por 1 y x 2 2 e superiormente por 2 2 y x 4 z b inferiormente pelo plano xy lateralmente por 4 y x 2 2 e superiormente por 8 z y c inferiormente por z 0 lateralmente por 16 y x 2 2 e superiormente por x 10 z Cálculo de áreas Se na expressão R f xy dA fazemos 1 x y f obtemos R dA que nos dá a área da região de integração R Se R é uma região do tipo I então 2 1 b g x a g x Área R 1 dydx Se R é uma região do tipo II então 2 1 d h y c h y Área R 1 dxdy 21 Calcule usando integral dupla a área da região R delimitada pelas curvas abaixo Esboce os gráficos a y x y x y 3 2 0 e b y e y x x x 1 0 e c x y x y 2 1 3 e d 1 y ln x y 0 y y x 0 x x y 2 3 e R Área R 1 dA 5 22 Calcule a área da região hachurada na figura 10 23 Determine uma expressão de integral dupla com limites de integração que calcula corretamente o valor da área sombreada da figura 11 Obs Os valores das coordenadas dos pontos A e B foram aproximados Figura 10 Figura 11 Aplicações Físicas Para os problemas abaixo pesquise as fórmulas num livro de Cálculo 24 Uma lâmina tem a forma do triângulo de vértices 1 0 1 1 e 11 Determinar a massa e o centro de massa da lâmina se a sua densidade de massa é constante b sua densidade de massa no ponto Px y é proporcional à distância desse ponto à reta x 2 25 Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas 2 1 y x e 3 y x Sua densidade de massa no ponto Px y é proporcional à distância desse ponto ao eixo dos x Calcular a a massa da lâmina b o centro de massa c o momento de inércia em relação ao eixo dos x 26 Uma lâmina tem a forma da região plana R delimitada pelas curvas 2 x y e x 4 Sua densidade de massa é constante e igual a 2 15 64 ρ xy Kg m Determine o momento de inércia da lâmina em relação ao eixo x 27 Calcule a massa da chapa da figura considerando a densidade da chapa igual a x Kg m2 ρ xy 6 Respostas 1 a e3e2 b 4 2 a 83 b e234 c 13 d 0 e 16 f 12 3 a 2 4 0 2x f xy dydx b 3 1 y 0 y f xy dxdy c 2 e 2 e 2 0 1 e ln y f xy dxdy f xy dxdy d 2 y 2 3 1 0 y 3 2 y 3 f xy dxdy f xy dxdy 4 a 89615 b 0 c 2 d e 12 e 56 6 1 7 323 8 2 2 1 1 1 a 9 523 10 8 Volume do tronco de um cilindro reto de raio de base 1 e limitado superiormente pelo plano de equação y x 8 z 11 a 25ln25 16ln16 9 b 1 e 2 8 12 a 12 b a36 13 278 14 4 uv 15 2 uv 17 1 uv 18 3160 uv 20 a 72 uv b 32 uv c 160 uv 21 a 34 ua b e 22e ua c 92 ua d 3 43 13 12 e e 1 ua 22 1469 ua 23 Área 2 2 x 0 9 x 11 9 x 16 x 1 0 e 1 dydx 1 dydx Existem outras respostas 24 a 2k e 13 0 b 14k3 e 37 0 25 a 117k b 3552 529182 c 303328 26 2 Kgm2 27 075 Kg