Integral Curvilínea Independente do Caminho de Integração

1 Integral curvilínea independente do caminho de integração Definição Seja F um campo vetorial definido em uma região D do espaço A integral C F dr é dita independente do caminho de integração em D se qualquer par de pontos A e B em D o valor da integral é o mesmo para todos os caminhos C que iniciam em A e terminam em B O seguinte teorema nos dá uma condição necessária para que uma integral curvilínea de campo vetorial seja independente do caminho de integração 2 Teorema Seja F um campo vetorial continuo e conservativo isto é existe uma função escalar contínua u u xyz tal que F u numa região D do espaço Então B A C F dr u u B u A para qualquer caminho suave C em D unindo o ponto A até o ponto B Prova Sejam A e B dois pontos quaisquer em D Seja C r t x t y t z t t ab um caminho suave parametrizado que une A r a e B r b Assim b C C a F dr u dr u r t r t dt Considere a função escalar g t u r t t ab Pela regra da cadeia temos u dx u dy u dz g t x dt y dt z dt onde as derivadas parciais de u são calculadas nos pontos x t y t z t Portanto g t u r t r t Levando em consideração a continuidade de F u e a suavidade de C podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e escrever b b b a a C a F dr g t dt g t u r t u r b u r a u B u A 3 Obs Algumas integrais curvilíneas aparecem com a notação B A F dr Esta notação deixa implícito que o campo vetorial F é conservativo Assim a integral não depende do caminho de integração C apenas dos pontos inicial A e final B Exercício 4 Verifique se o campo vetorial 2 F xyz sen x i 2yz j y k é conservativo em 3 e calcule C F dr ao longo de qualquer caminho C que liga A 020 até B 24 Resp 14 4 Teorema Se 1 2 3 F f i f j f k é um campo vetorial contínuo em um domínio simplesmente conexo 3 D são equivalentes as três afirmações seguintes a F é conservativo em D b A integral de linha de F é independente do caminho de integração em D c A integral de linha de F ao redor de todo caminho fechado em D é igual a zero Obs Quando o caminho de integragéo C é fechado costumamos denotar a integral curvilinea do campo vetorial F ao longo de C como Fd ae i wey VS ep Exercicio 5 Calcule Din F df sendo F xy e y 1i e Yi Resposta e e 5 6 Exercício 6 Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F xyz 1 yz i 1 xz j 1 xy k no deslocamento de uma partícula a ao longo da linha poligonal A 110 B 220 C 226 D 050 e E 455 b ao longo da circunferência r t 2 cos t i 2 sen t j 4 k t 02 Respostas a 112 ut b 0 ut