Prova Series Temporais

Questão 2: (4 pontos) Considere o modelo Y_t = 10 + Y_{t-1} + \varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t; \varepsilon_t \sim RB(0,1). Pede-se: \ i) i{fclass{exponential}} a) Calcule a E(Y_t); (1 pt) b) Calcule a Var(Y_t); (1 pt) c) Obtenha a expressão da função de autocorrelação de Y_t; (2 pts) Respostas: (1-L) Y_t = 10 + (1 + L) \varepsilon_t Y_t = \frac{10}{1-L} + \frac{(1+L) \varepsilon_t}{1-L} M_{\varepsilon} E (Y_t = \frac{10}{1-L} + \frac{(1+L)}{1-L} \varepsilon_t ) \ text { } 10 / (1-L) Y_t = Var (Y_t = 0 + \frac{(1+L)^2}{(1-L)^2} V_{Y_t} \rho_k = E [Y_t Y_{t-k} - E \left{Y_t \right} E \left{Y_{t-k} \right} E \left{Y_t \right} \text{ } \rho_k - (\frac{10}{1-L})^2 = 10^2 (1-L) - 10^2 \ \ + \delta_{k-1} = 10^2 (1-L) - \frac{10^2}{(1-L)^2} + \delta_{k-1} \frac{(1+L)^2 \delta_{k+1} +1=0 d_{k-1} = \ 1 + L (10 / \frac{1-L})^2 \frac{}{} \ rho_0 = 1 \ rho_k = \frac{\delta_{k}}{\delta_0} = \frac{10^2 \resizebox{\level}{!}{\dainholeadder}}{(1-L)^2} \text { } .\frac{10^2}{L+L) 1 + L = 0 \text{ } \rho_{k} = : 1 K{> 1} \newline Questão 3: (2 pontos) Seja Y_t = 2 - 0.8 Y_{t-1} + \beta Y_{t-2} + \varepsilon_t; \varepsilon_t \sim RB(0,\sigma^2). Pede-se: a) Determine, para que valores de \beta o modelo não será estacionário de segunda ordem; (1 pt) b) Determine, para que valores de \beta o polinômio auto-regressivo do modelo terá raízes complexas e fora do círculo unitário. (1 pt) Respostas: (1 + 0.8L - \beta L^2) Y_t = \varepsilon_t \Phi(L): Y_t \sim AR(2) \text{Pois na função de segundo adm} é necessário que os paites de \Phi(L) estejam fora do círculo unitário \Phi(L). \text { modelo } 1\phi_1 + \phi_2 z |\ f_2 < |\leftrightarrow 0}| \leftrightarrow z^2 + 0.8 z + < 1 2 \text {r} \ \ \rightarrow\beta <_{|z|<}|.7 \ qigrido < 1 2< restrição 3 ¬ de ordenação \text{ e } \rho F. IBGE — ENCE Primeira VAE — Séries Temporais — Abril de 2014 Aluno: Arthur Meneaa Scapinoço Nota: 2,5 (Nome em letra de forma) Questão 1: (1 ponto) Seja {X_t; t \in T} um processo estocástico de variáveis aleatórias contínuas, independentes e identicamente distribuídas. Logo, pode-se afirmar que {X_t; t \in T} é um processo estocástico estacionário de primeira e segunda ordem ou fortemente e fracamente estacionário. Pergunta-se: esta afirmativa é verdadeira? Justifique formalmente a sua resposta. Respostas: Verdadeira pois \sum_{n=0}\) por X_t {sem identificados e identicamente distribuidos} \forall\text{E a forma}\Z_{E(1.5\approx}$; X nao comprimbe //\n Cov (X_t) = \sum_{X_ }\endows \text{ portanto é estacionário de segunda ordem} Questão 4: (3 pontos) Considere o modelo Y_t = 2,2 Y_t-1 - 0,9 Y_t-2 - 0,8 Y_t-3 + 0,5 Y_t-4 + 0,4 ε_t-1 - 0,3 ε_t-2 + ε_t; ε_t ~ RB(0, σ^2). Obtenha uma representação ARIMA(p, d, q) para Y_t, tal que Δ^d Y_t tenha uma representação ARMA(p, q) estacionária e invertível. Demonstre formalmente as suas respostas. Respostas: Φ(L) = (1 - 2,2 L + 0,9 L^2 - 0,8 L^3 - 0,5 L^4) Y_t = (1 + 0,4 L - 0,3 L^2) ε_t Y_t ~ ARMA(1, 2) Δ Y_t ~ ARIMA(4, 0, 2) Φ(L) (1 - L)^d Y_t = Θ(L) ε_t Δ^d Y_t = (1 - L)^d Y_t = Θ(L) ε_t = Ψ(L) ε_t Para ser estacionário é necessário que as raízes de Φ(L) estejam fora do círculo unitário. E para ser invertível é necessário que as raízes de Θ(L) estejam fora do círculo unitário - sempre é (passando) com d = 0;