Exercícios Resolvidos: Comprimento de Curvas Parametrizadas, Movimento e EDO

Exercícios de comprimento de curvas parametrizadas movimento e equações diferenciais 1 Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada σt cos t2 sen t2 no intervalo 0 t 2π Resposta 4π² 2 Seja C uma curva parametrizada por rt cos 2t sen 2t kt t 0 4π onde k é uma constante positiva Calcule o valor de k sabendo que o comprimento da curva é 12π Resposta k5 3 Considere a curva espacial espiral parametrizada por γt et cos t et sen t et t IR a Calcule o comprimento de arco entre γ0 e γt para t 0 b Mostre que o comprimento do arco entre γ0 e γt tem um limite finito quando t Respostas a O comprimento de arco pedido é 0t 3eu du 3 et 3 b O limite do comprimento quando t tende a infinito é 3 4 Duas partículas se deslocam segundo os vetores posição r₁t t t t 0 e r₂t t 1 t² t 0 Quais afirmações são verdadeiras a As partículas se chocam em um ponto b As trajetórias das partículas se cruzam em dois pontos c No ponto 22 12 o ângulo θ entre as trajetórias é tal que cosθ 13 d A segunda partícula cruza o eixo x no instante t 1 com velocidade escalar igual a 2 e A reta tangente à r₁ em P 22 12 tem equação y 2 x 12 Respostas As únicas verdadeiras são as afirmações c e e As questões a seguir são questões interessantes de provas antigas onde poderão fazer revisão de edo e curvas parametrizadas As respostas e gabaritos podem ser consultados na página de cálculo 2 httpsarquimedesnceufrjbrcalculo2 5 Questão 3 da P1 de 20121 A posição de um objeto em cada instante t 0 é dada por αt xt yt sendo que sua velocidade vetorial satisfaz αt 6t 3txt² 1 2t y 1 t 0 Supondo que α0 3 1 qual é a posição do objeto no instante t1