Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Funções Vetoriais e Curvas Parametrizadas

c Calcule dydx sem usar a equação cartesiana de C d Esboce a curva Respostas a Reta tangente σt 1 2 t2 2 1 2t 2 2t t ℝ b Reta normal σt 1 2 t2 2 1 2t 2 2t t ℝ c dydx 1 t² t 1 d A curva exponencial y 1 ex1 x ℝ 7 Uma partícula se move ao longo de uma curva σt xt yt a Ache a expressão do vetor velocidade Vt b Se o vetor velocidade é dado por Vt 1 sen tt² 2 cos tt³ t 0 determine a posição da partícula em cada instante c Se a partícula no instante t 2 passa pelo ponto P₂ 3 1 determine os valores das constantes que aparecem no item anterior Respostas a O vetor velocidade é Vt σt xt yt b Igualando as coordenadas do vetor velocidade obtemos i A equação diferencial xt 1 logo xt t C₁ ii A equação diferencial yt sen tt² 2 cos tt³ logo yt cos tt² C₂ Logo a posição da partícula em cada instante é σt t C₁ cos tt² C₂ t 0 c Substituindo t 2 obtemos que C₁ 1 e C₂ 4 cos 24 8 Suponha que a posição de duas partículas no instante t seja dada por σt 2 sec t 2 tg t 0 t π 2 e αt 5 cos t 3 sen t 0 t 2π respectivamente a Ache as equações cartesianas das duas trajetórias b Trace as trajetórias de ambas as partículas c Quantos pontos de interseção existem d Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo Se sim encontre os pontos de colisão Se não justifique porque Respostas Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Cálculo 2 Unificado Exercícios de curvas parametrizadas 1 Determine o domínio das seguintes funções vetoriais a Ft 11t 1t cos1t b Ft t2 t1 t² 4 Respostas a dom F ℝ 01 b dom F 2 2 Determine Ft Ft e ₀²π Ftdt das seguintes funções vetoriais a Ft cos t sen t t ℝ b Ft rt sen t r1 cos t t ℝ onde r é uma constante real c Ft 5 cos t 5 sen t 2t t ℝ Respostas a Ft sen t cos t Ft Ft ₀²π Ftdt 00 b Ft r1 cos t sen t Ft rsen t cos t ₀²π Ftdt r2π² 2π c Ft 5 sen t 5 cos t 2 Ft 5 cos t 5 sen t 0 ₀²π Ftdt 004π² 3 Escreva a equação cartesiana da curva e faça um esboço indicando a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta a xt sen t yt cossec t 0 t π 2 b xθ sec θ ys tg θ π 2 θ π 2 c xs ln s ys s s 1 d xt cos² t yt sen² t 0 t π 2 Respostas a A porção da hipérbole y 1x 0 x 1 traçada no sentido de crescimento da coordenada x b A porção da hipérbole x² y² 1 x 0 traçada no sentido de crescimento da coordenada y c A porção da curva exponencial y ex2 x 0 traçada no sentido de crescimento da coordenada x d A porção da reta x y 1 0 xy 1 traçada no sentido de crescimento da coordenada y 4 Dê uma parametrização da curva a O arco de menor comprimento do círculo x² y² 4 ligando os pontos P 31 e Q 22 b A reta x21 y32 z43 c O círculo x 1² y 5² 4 d O segmento de reta ligando os pontos P 1 2 3 e Q 463 e A elipse 9x² 18x 4y² 16y 11 f A parábola com vértice 2 1 foco 5 1 e diretriz x 1 Dica Uma parábola com foco F e reta diretriz r é constituída de todos os pontos xy cuja distância a F e a r são iguais A distância de um ponto xy à r é a distância de xy ao ponto em r mais perto de xy Deduz a do Teorema de Pitágoras que ponto é este Respostas a σt 2 cos t 2 sen t t π6 3π4 b σt 2 3 4 t1 2 3 2t 32t 43t t ℝ c σt 1 2 cos t 5 2 sen t t 0 2π d σt 1 tP tQ 13t 28t 3 t 0 1 e Tratase da elipse x1²4 y2²9 1 Uma parametrização é σt 1 2 cos t 2 3 sen t t 0 2π f Tratase da parábola x2 y1²12 Uma parametrização é σt 2 t1²12 t t ℝ 5 Seja P um ponto a uma distância d do centro de uma roda de raio r que gira sem deslizar sobre o eixo x Reproduzindo o esquema que usamos para parametrizar a cicloide caso em que d r mostre que a curva descrita pelo ponto P chamada trocoide tem equações paramétricas xθ rθ d sen θ yθ r d cos θ θ ℝ 6 Seja C a curva com equações paramétricas xt 1 2 ln1t yt 1 1t² t 1 a Determine uma parametrização da reta tangente à curva C no ponto 1 2 b Determine uma parametrização da reta normal à curva C no ponto 1 2 Dica A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente Como determinar inclinação de uma reta parametrizada Vocês lembram qual inclinação da reta perpendicular Responda a estas questões com informações que aprenderam em Cálculo 1 ou esperem até o tópico 6 para determinar um vetor perpendicular a um dado vetor em ℝ² c Calcule dydx sem usar a equação cartesiana de C d Esboce a curva Respostas a Reta tangente σt 12 t22 12t 22t t ℝ b Reta normal σt 12 t22 12t 22t t ℝ c dydx 1t² t 1 d A curva exponencial y 1 ex1 x ℝ 7 Uma partícula se move ao longo de uma curva σt xt yt a Ache a expressão do vetor velocidade Vt b Se o vetor velocidade é dado por Vt 1 sen tt² 2 cos tt³ t 0 determine a posição da partícula em cada instante c Se a partícula no instante t 2 passa pelo ponto P₂ 3 1 determine os valores das constantes que aparecem no item anterior Respostas a O vetor velocidade é Vt σt xt yt b Igualando as coordenadas do vetor velocidade obtemos i A equação diferencial xt 1 logo xt t C₁ ii A equação diferencial yt sen tt² 2 cos tt³ logo yt cos tt² C₂ Logo a posição da partícula em cada instante é σt t C₁ cos tt² C₂ t 0 c Substituindo t 2 obtemos que C₁ 1 e C₂ 4 cos 24 8 Suponha que a posição de duas partículas no instante t seja dada por σt 2 sec t 2 tg t 0 t π2 e αt 5 cos t 3 sen t 0 t 2π respectivamente a Ache as equações cartesianas das duas trajetórias b Trace as trajetórias de ambas as partículas c Quantos pontos de interseção existem d Essas partículas alguma vez estão no mesmo lugar ao mesmo tempo Se sim encontre os pontos de colisão Se não justifique porque Respostas a A primeira trajetoria tem equacao cartesiana x2 y2 4 x 0 y 0 A segunda trajetoria tem equacao cartesiana x2 25 y2 9 1 b A primeira trajetoria e um arco de uma hiperbole intersectando o eixo x no ponto 2 0 e contida no primeiro quadrante A segunda trajetoria e a elipse com centro no ponto 0 0 e que intersecta o eixo x nos pontos 5 0 e 5 0 e o eixo y nos pontos 0 3 e 0 3 c Apenas um ponto d Nao Repare que 2 sec t 5 cos t se e somente se cos2 t 25 Repare que 2 tg t 3 sen t se e somente se sen t 0 ou cos t 23 Compilado por Monica Merkle 4