Vibrações Mecânicas pêndulo Simples Resolvido por Soluções Numéricas

Tema do trabalho É um trabalho de vibrações mecânicas sobre um Pêndulo simples que deve ser resolvido por soluções numéricas conforme as instruções abaixo Nota O código deve ser deve ser feito preferencialmente pelo Octave porém não há problema de usar outras interfaces colab do google Todos os passos do trabalho deve ser executados Necessário que o código gere gráfico para comparação Necessário usar o Tracker para fazer o pêndulo posso fazer e enviar o vídeo Principalmente essa última parte experimental deve ter o gráficos comparativo Para uma referência de um trabalho já feito clique no link A solução tem que ser RungeKutta de Quarta Ordem Siga os exemplos abaixo de solução Soluções Numéricas RungeKutta de Quarta Ordem Xi Xi1 16 K1 2K2 2K3 K4 K1 fXi1 ti1Δt K2 fXi1 05K1 ti1 05ΔtΔt K3 fXi1 05K2 ti1 05ΔtΔt K4 fXi1 K3 ti1 ΔtΔt Soluções Numéricas RungeKutta de Quarta Ordem Implementação i1 tit0 XiX0 while t tmax ii1 titi1 Δt K1fXi1 ti1Δt K2fXi1 05K1 ti1 05ΔtΔt K3fXi1 05K2 ti1 05ΔtΔt K4fXi1 K3 ti1 ΔtΔt XiXi1 16 K1 2K2 2K3 K4 1 Pêndulo simples DCL TQMA em relação a O Jo aPlsin a Simplificando a expressão m l 2 amglsin a ag l sin a θωo 2sin θ0 Cuja solução analítica para ângulo iniciais menores que 180 graus e velocidade inicial zero é dada por θ t 2arcsink sn ωoT 4 ωot k Em que ksin θ0 2 E T4 K k 2 θ0 Sendo K a função da integral elíptica e sn a função elíptica de Jacobi Para a linearização de pequenos ângulos a EDO assume a forma θωo 2θ0 Cuja a solução para velocidade inicial zero é θ t θ0cos ωnt A aproximação é adequada para valores pequenos de ângulo inicial ou para sistemas de pequenas amplitudes de oscilação O gráfico a seguir ilustra o distanciamento do periodo característico da resposta linearizada e da resposta exata em função do ângulo inicial O código elaborado apresenta a evolução das respostas no tempo para 4 valores diferentes de ângulos iniciais É perceptível não apenas um aumento da fase entre as duas respostas e como também um achatamento das cristas e vales da onda que agora não pode mais ser descrita como uma senoide 2 Comparação respostas linear e exatas com solução numérica via RK de quarta ordem Os sistemas de equações diferenciais de ambas os casos foram escritos na forma matricial de espaços de estados θ θ 0 1 0 0 θ θ 0 ω 2sinθ θ θ 0 1 ω 2 0 θ θ Em paralelo uma função integradora método Runge Kutta de quarta ordem foi elaborada e sua resposta foi comparada as respostas anteriormente comentadas ângulo inicial 10 graus exata numerica ângulo graus tempo s ângulo inicial 45 graus exata numerica ângulo graus tempo s ângulo inicial 90 graus exata numerica ângulo graus tempo s ângulo inicial 150 graus exata numerica ângulo graus tempo s ângulo inicial 10 graus linear numerica ângulo graus tempo s ângulo inicial 45 graus linear numerica ângulo graus tempo s ângulo inicial 90 graus linear numerica ângulo graus tempo s ângulo inicial 150 graus linear numerica ângulo graus tempo s 3 Analise de sistema com Tracker A escrever 4 Código Pendulo simples sem forças resistivas clear clc tempo inicial to0s discretização do tempo dt001s tempo final tf15s vetor tempo ttodttf gravidade g981ms² comprimento l10m freq natural omegasqrtgl function thetaanaliticot theta0 ksintheta02módulo eliptico T4kk2omegaintegral eliptica sncndnellipjomegaT4omegatk2função elipitica jacobiana theta2asinksn endfunction função solução analítica caso linear function thetalineart theta0 thetatheta0cosomegat endfunction graficos primeira parte vetor teste teste104590150pi180 for i14 xotestei0 exataianaliticottestei linear1ilinearttestei scf0 subplot22i plottexatai180pir plottlinear1i180pib legendexatalinear tituloângulo inicial stringtestei180pi graus titletitulo xtitletitulotempo sângulo graus end função teste para desenvolvimento runge kutta kk10 m2 function dgtestext dg01kkm0xlinha 1 posição linha 2 velocidade endfunction function XRK4t xo dt f Xzeroslengthxolengtht K1zeroslengthxolengtht K2zeroslengthxolengtht K3zeroslengthxolengtht 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t da0102Eomegax0omega2sinx11linha 1 posição linha 2 velocidade endfunction função atrico seco function daasx t da0100x0omega2sinx11Tusignx21linha 1 posição linha 2 velocidade endfunction função atrito seco com amortecimento viscoso function daavsx t da0102Eomegax0omega2sinx11Tusignx21linha 1 posição linha 2 velocidade endfunction função atrito viscoso e resistência do ar function daavrax t da0102Eomegax0omega2sinx11rx212signx21linha 1 posição linha 2 velocidade endfunction avrRK4txodtav asrRK4txodtas avsrRK4txodtavs avrarRK4txodtavra scf3 plottavr1180pir plottasr1180pig plottavsr1180pib plottavrar1180piy legendviscososecoviscoso secoviscoso res ar