Lista de Exercicios Resolucao de Equacoes Diferenciais e Aplicacoes

c t2 xt2 x x2 tx2 0 R C t x tx lnx t e xt 0 d sen θ cos φ dθ cos θ sen φ dφ 0 R cosθ C cosφ e xy 2y 1 R y lnx C2 1 e yx 1 f x ln y y y R ln y2 2 ln x C g x2 1y y2 1 0 y0 1 R y 1 x 1 x h ex dx y dy 0 y0 1 R y2 2ex 1 i x3 sen y y 2 lim x yx π2 R y arccos1 x2 Em algumas soluções temos valores restritos para a constante C Nas questões 8 e 9 utilize a lei do resfriamento de Newton A taxa de variação da temperatura de um corpo ou objeto sem fonte de calor própria é proporcional à diferença da temperatura do ambiente e do corpo Isto é dTdt kTamb Tt onde Tt é a temperatura do objeto no instante de tempo t Tamb é a temperatura do ambiente e k é o coeficiente de transferência de calor 8 Colocase uma barra de metal à temperatura de 100º F em um quarto com temperatura constante de 0º F Se após 20 min a temperatura da barra é de 50º F determine a O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de 25º F R 40 min b A temperatura da barra após 10 min R 1002º F 9 Colocase um corpo com temperatura desconhecida em um quarto mantido à temperatura constante de 30º F Se após 10 min a temperatura do corpo é de 0º F e após 20 min é de 15º F determine a temperatura inicial R 30º F 10 Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente Ao fim de 10 min cresceu 3 a Determine a constante de proporcionalidade R k 110 ln 103100 b Quanto tempo levará a cultura para duplicar R t ln 2 k 11 Determine uma família de curvas x ycx x 0 ycx 0 que satisfazem a seguinte propriedade no intervalo 0 x a ordenada yc é proporcional à área determinada pela curva os eixos coordenados e a reta vertical que contém a abcissa x R yc c ekx 12 Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente Se observa que após 1 hora houve uma redução de 10 da quantidade inicial Determine a meiavida da substância meiavida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original R t ln 2 ln 10 ln 9 Figura 1 y0x Figura 2 y1x Figura 3 y1x 5 Mostre que as funções abaixo são soluções para as equações diferenciais correspondentes a y Cx C C2 é solução de dydx2 1 x dydx y 0 b y2 2Cx C2 é solução de y dydx2 2x dydx y 0 6 Resolva as seguintes equações diferenciais integrando sucessivamente a d3ydx3 ex R yx ex C1 x22 C2 x C3 b d2ydx2 1 1 x2 R yx x arctg x ln1 x22 C1 x C2 Em todas as soluções C1 C2 C3 ℝ 7 Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de separação de variáveis a y ex y R y ln 1 C ex b 2xy y R y C ex2 e yx 0 Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Cálculo 2 Unificado Exercícios de integração equações diferenciais e equações diferenciais separáveis 1 Calcule px dx onde a px 2x3 x2 4 x2 R x2 x 4x C b px 3x2 313 4x R 32 3 x2 143 C c px sen2x cos3x R sen3x3 sen5x5 C d px sen3x R cos3x3 cos x C e px 3 x14 x R 83 x545 C f px x cos3x 2 R 19 cos3x 2 13 x sen3x 2 C g px lna2 x2 a ℝ R x lna2 x2 2x a arctgxa C se a 0 h px ln xx R ln2x 2 C i px ln x2 R x ln2x 2 ln x 2 C j px 2 3x 1 4x 3x2 R 1 4x 3x2 C Em todas as soluções C ℝ 2 Encontre a primitiva Px de px tal que Px0 y0 onde a px x x0 y0 9 R Px 2x323 9 b px x2 x2 1 x0 0 y0 1 R Px x5 5 x3 3 1 3 Resolva as seguintes equações diferenciais integrando diretamente a y ln x R yx x ln x x C b dydx 11 x2 R yx arcsen x C c dydx 11 x2 R yx arctg x C Em todas as soluções C ℝ 4 Esboçar o gráfico de ycx x c ex para diferentes valores de c ℝ incluindo os valores c 0 c 1 e c 1 13 Sabese que um certo material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional à quantidade presente Observase que um bloco deste material que originalmente tinha 100gr depois de 20 anos ficou apenas com 80gr Encontre uma expressão para a massa do bloco em função do tempo Calcule a meiavida do material R mt 100 e t ln45 20 t0 20 ln 2 ln45 14 Devido a uma maldição rogada por uma tribo inimiga os membros de uma certa aldeia são gradualmente impelidos ao assassinato ou suicídio A taxa de variação da população é de 2 raiz p pessoasmês quando o número de pessoas é p Quando a maldição foi rogada a população era de 1600 pessoas Quando morrerá toda a população da aldeia R 40 meses após a maldição 15 Certa pessoa infectada por uma doença contagiosa introduziuse numa população saudável de 999 pessoas O mal se espalhou por contato conseguindose deduzir a lei de propagação y beta yx onde t tempo é medido em meses yt é o número de pessoas infectadas no instante t e xt é o número de pessoas não infectadas no instante t Considerando que uma pessoa infectada permanecerá doente durante todo o tempo e que 100 pessoas serão infectadas 12 meses após o início do processo de contágio perguntase Quanto tempo será necessário para que a metade da população esteja infectada R t 12 1 ln 9 ln111 Compilado por Monica Merkle