Lista de Exercicios Resolvidos - Calculo 2 - Comprimento de Curvas Parametrizadas e EDOs

Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Cálculo 2 Unificado Exercícios de comprimento de curvas parametrizadas movimento e equações diferenciais 1 Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada σt cos t² sen t² no intervalo 0 t 2π Resposta 4π² 2 Seja C uma curva parametrizada por rt cos 2t sen 2t kt t 04π onde k é uma constante positiva Calcule o valor de k sabendo que o comprimento da curva é 12π Resposta k 5 3 Considere a curva espacial espiral parametrizada por γt eᵗ cos t eᵗ sen t eᵗ t IR a Calcule o comprimento de arco entre γ0 e γt para t 0 b Mostre que o comprimento do arco entre γ0 e γt tem um limite finito quando t Respostas a O comprimento de arco pedido é ₀ᵗ 3eᵘ du 3eᵗ 3 b O limite do comprimento quando t tende a infinito é 3 4 Duas partículas se deslocam segundo os vetores posição r₁t t t t 0 e r₂t t 1 t² t 0 Quais afirmações são verdadeiras a As partículas se chocam em um ponto b As trajetórias das partículas se cruzam em dois pontos c No ponto 22 12 o ângulo θ entre as trajetórias é tal que cos θ 13 d A segunda partícula cruza o eixo x no instante t 1 com velocidade escalar igual a 2 e A reta tangente à r₁ em P 22 12 tem equação y 2 x 12 Respostas As únicas verdadeiras são as afirmações c e e As questões a seguir são questões interessantes de provas antigas onde poderão fazer revisão de edo e curvas parametrizadas As respostas e gabaritos podem ser consultados na página de cálculo 2 httpsarquimedesnceufrjbrcalculo2 5 Questão 3 da P1 de 20121 A posição de um objeto em cada instante t 0 é dada por αt xt yt sendo que sua velocidade vetorial satisfaz αt 6t 3tx t² 1 2t y 1 t 0 Supondo que α0 3 1 qual é a posição do objeto no instante t 1 6 Questão 3 da P1 de 20112 Encontre uma função vetorial ρt xt yt que satisfaz ρt 2xt yt eᵗ xt ρ0 1 2 7 Questão 4 da P1 de 20102 Uma partícula partindo do ponto 001 se move com o vetor posição rt xt yt zt e vetor velocidade Vt 3zt 4 3xt a Determine o vetor posição rt xt yt zt b Reconheça a curva e faça um esboço da mesma indicando o sentido do percurso c Determine a distância percorrida desde o instante t 0 ao instante t 2π 8 Questão 1b da PF de 20082 Determine o valor da constante α R sabendose que as funções ux e vx satisfazem o seguinte u 4u 3u 0 u0 0 u0 α v 4v 12v 0 v0 0 v0 α e lim x ux² vx 32 9 Questão 1 da P1 de 20181 Sejam a b e c constantes positivas Se y yx é uma solução da equação diferencial ay by cy 0 então lim x yx a existe e vale 0 b existe e vale π c Existe e vale e d não existe e tende para e não existe e tende para Compilado por Monica Merkle