Lista de Exercícios Resolvidos - Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem

Universidade Federal do Rio de Janeiro INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Cálculo 2 Unificado Exercícios de equações diferenciais lineares de primeira ordem 1 Determine se a equação diferencial ordinária EDO de primeira ordem é linear a ex y y 1 b y xy ey xy 1 c ln xy xy2 x d y cos x y R Sim a e d Não b e c 2 Resolva as equações diferenciais a y 2yx1 x13 R y x12 x22 x C b y ayx x1x a 0 1 R y Cxa x1a 1a c xx3 y 2x2 1 y ax3 0 a 0 R y ax Cx sqrt1 x2 d dsdt cos t s sen t 1 R s sen t C cos t e dsdt s cos t 12 sen 2t R s sen t 1 Cesen t f y nx y ex xn R y xn ex C g y nx y axn R xn y ax C h y y 1ex R ex y x C i y 1 2xx2 y 1 0 R y x2 1 Ce1x j dr 1 2r cotg θ dθ r π2 3 R r sen θ cos θ 3 sen2 θ 3 Um tanque de 50 litros de capacidade contém inicialmente 10 litros de água Quando t 0 adicionase ao tanque uma solução de salmoura com 1gr de sal por litro à razão de 4 litros por minuto enquanto a mistura escoa à razão de 2 litros por minuto Determine a O tempo necessário para que ocorra o transbordamento R 20 min b A quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento R 48 gr 4 Um tanque contém inicialmente 100 litros de água Derramase no tanque água contendo 100 gr de sall numa razão de 2lmin A mistura é mantida homogênea e escoase na mesma razão Depois de 10 min o processo é interrompido e derramase água pura no tanque à razão de 2lmin escoandose a mistura ainda na mesma razão Ache a quantidade de sal no tanque depois de 20 min a partir de t0 R 104 1 e15 e15 5 Seja z zx uma função diferenciável tal que z zx x ln x Calcule zx R ln x 6 Considere a equacao diferencial y sen x y cos x 1 x 0 π Se Y x e uma solucao desta equacao diferencial para a qual existe lim x0 Y x entao calcule o limite R 1 7 Seja yx uma solucao particular da equacao diferencial y x xy Calcular lim x yx R 1 8 Determine uma equacao diferencial ordinaria de primeira ordem tal que yx 1 c x c IR R xy y 1 9 Suponha que ex e uma solucao da equacao y pxy 0 Determine a solucao geral da equacao R yx cex c IR Compilado por Monica Merkle 2