Construções no Geogebra

Respondendo dúvidas frequentes 1 O trabalho consiste em resolver as duas atividades Elas estão separadas para facilitar a correção Não é obrigatório fazer animações A imagem final obtida no geogebra com as figuras construídas é o suficiente 2 Não darei aula nos dias 11 e 18 para que vocês tenham tempo para realizar as atividades 3 Atividade 1 Como construir os poliedros Poliedro P1 Faça um quadrado inscrito no círculo que é base do cilindro Um quadrado nada mais é que um polígono então use a ferramenta polígono do geogebra Feito isso o poliedro construído deve ter como base essa quadrado Para evitar confusão mudei a palavra poliedro por prismas Assim para construir o prisma você pode ir na Janela de visualização 3D do geogebra e usar a ferramenta extrusão para primas usando o quadrado como base Pense qual altura o prisma deve ter para estar inscrito no cilindo Poliedro P2 ideia análoga 4 Atividade 4 Consultem o livro mencionado na atividade Uma leitura atenta à demonstração do teorema deve guiar os passos para a resolução da atividade 100 pontos Fazer comentário para a turma Atividade para fazer no Geogebra Represente no geogebra a esfera E e a figura cilindromenos2cones chamada T presentes na demonstração do teorema 5 seção 4 do livro Medida e Forma em geometria de Elon Lima Trace um plano horizontal alpha que passe pelas duas figuras em uma mesma altura h verificando a área da seção dada por alpha intersecção com E e a área da seção dada por alpha intersecção com T Anexe o arquivo em formato ggb formato do GeoGebra Ainda anexe um documento em pdf fornecendo o nome das pessoas que fizeram a atividade podem fazer individualmente em duplas ou trios Também disponibilize a figura final obtida no geogebra nesse pdf e responda as seguintes perguntas 1 Quando intersectamos alpha com a esfera E em uma altura h obtemos um círculo Qual é o raio desse círculo 2 Quando intersectamos alpha com a figura T obtemos dois círculos Qual é o raio do círculo maior e qual é o raio do círculo menor 3 Qual é a área da seção obtida por alpha intersecção com T 4 Em uma aula sobre volume da esfera para uma turma do Ensino Médio você usaria a representação feita pelo grupo para explicar a fórmula Usaria algum outro método Caso não tenham conseguido concluir a atividade envie o que conseguiram e explique no documento pdf onde encontrou dificuldade Atividade para fazer no Geogebra Construa um cilindro C de base circular de raio 1 e altura 1 Indique o volume do cilindro Construa prismas P1 e P2 com respectivamente um quadrados Q1 inscrito em C e um quadrado Q2 circunscrito em C Indique os volumes de P1 e P2 Por fim construa um prisma retangular P3 tal que volP3 aproxima volC por um erro menor ou igual a 2 Anexe o arquivo em formato ggb formato do GeoGebra Ainda anexe um documento em pdf fornecendo o nome das pessoas que fizeram a atividade podem fazer individualmente em duplas ou trios Também disponibilize a figura final obtida no geogebra nesse pdf e responda as seguintes perguntas Qual é o volume de P3 Qual a foi a margem de erro encontrada entre volP3 e volC Teria sido possível construir um outro poliedro com a mesma margem de erro Justifique não precisa fazer a conta apenas exiba uma argumentação Caso não tenha conseguido concluir a atividade envie o que conseguiu e explique no documento pdf onde encontrou dificuldade Essa é a atividade 1 de 2 Atividade 1 Passo a passo Inicialmente construímos o cilindro utilizando a função cilindro a partir dos pontos 000 e 001 com raio 1 Para construir o quadrado Q 1 traçamos as diagonais sobre os eixos e marcamos as interseções com a circunferência da base ou seja os pontos 100 100 010e Em seguida utilizando dois destes pontos construímos o quadrado com a função polígono regular Para construir o quadrado Q 2 traçamos as retas tangentes á circunferência da base passando pelos pontos 100 100 010e 010 A partir das interseções destas retas utilizamos a função polígono regular para construir Q 2 Com Q 1 e Q 2 construídos criamos pontos pertencentes à planos paralelos às bases dos prismas e utilizamos a função prisma por um polígono e um ponto para determinar os prismas retangulares P1 e P2 Por fim para construir o prisma P3 observamos que o volume do cilindro de raio e altura 1 é 314 π Assim criamos um polígono Q 3 de área 1 e medidas 205 e a partir dele criamos P3 de altura π Respostas O volume de P3 é π 314 A margem de erro encontrada entrevolP3 evolC foi 0 pois construímos P3 de modo que a base tivesse área 1 e altura igual à volC É possível construir outro poliedro com a mesma margem de erro Por exemplo escolhendo um prisma triangular com área da base igual a um e altura igual a 314 Atividade 2 Passo a passo Incialmente criamos dois controles deslizantes controle R variando de 0 a 10 e o controle h variando de 0 a R Em seguida construímos a esfera e o cilindro conforme o teorema com centros 00 R e2 R10R respectivamente Para que a figura ficasse igual a imagem do teorema criamos o plano alpha com altura Rh pois desta forma a altura do pequeno cone no interior do cilindro seria h Adicionamos dois pontos nas extremidades do cilindro com coordenada z igual a R e a partir deles criamos os cilindros laterais Adicionamos um ponto no plano alpha para construir o pequeno cone de altura e raio h Intersectamos alpha com a esfera calculamos a área da circunferência correspondente por meio da função área Intersectamos o plano alpha com o cilindro e calculamos a área do anel circular fazendo a área do círculo obtido pela interseção menos a área do círculo da base do pequeno cone Observamos que as duas áreas calculadas tem o mesmo valor Por fim adicionamos um triângulo retângulo no interior da esfera A imagem abaixo mostra uma simulação com R10 e h38 Respostas 1 O raio do círculo pode ser encontrando usando o Teorema de Pitágoras no triângulo representado no interior da esfera Considerando o raio do círculo igual a r temos que r 2h 2R 2r 2R 2h 2rR 2h 2 2 O círculo maior tem raio R pois alpha é paralelo à base do cilindro Já o raio do círculo menor é h Observe que os cones laterais têm raio e altura iguais a R Assim por semelhança de triângulos e Pitágoras a lateral do cone menor terá medida h2 Mas como a altura do cone menor é h segue por Pitágoras que o raio do cone menor é h 3 A área será ÁreacirculoMaior ÁreacirculoMenor π R 2π h 2π R 2h 2 4 Sim Este método pode ser muito interessante ao ser aplicado por meio de um roteiro investigativo em uma turma em que os estudantes tiveram a oportunidade de trabalhar bem com alguns conceitos de geometria plana Outra forma de explicar seria utilizando uma ideia intuitiva de limite mas neste caso a explicação seria mais complexa e pode não ser bem aceita pelos estudantes