Carga Axial Teoria

4 CARGA AXIAL\n\nOBJETIVOS DO CAPÍTULO\n\nNo Capítulo 1 desenvolvemos o método para encontrar a tensão normal em elementos carregados axialmente. Neste capítulo, discutiremos como determinar a deformação desses elementos; além disso, desenvolveremos um método para encontrar as reações dos apoios quando elas não puderem ser determinadas apenas com a utilização das equações de equilíbrio. Analisaremos também os efeitos da tensão térmica, das concentrações de tensão, das deformações elásticas e da tensão residual.\n\n4.1 PRINÓCIPIO DE SAINT-VENANT\n\nNos capítulos anteriores concebemos tensão como um modo para medir a distribuição de força no interior de um corpo e deformação como a maneira de medir a modificação na geometria do corpo. Mostramos também que a relação matemática entre tensão e deformação depende do tipo de material do corpo efeito. Em particular, se o material comporta-se de maneira linear-elástica, então se aplica a lei de Hooke e uma relação proporcional entre tensão e deformação.\n\nPartindo dessa ideia, consideremos uma barra retangular deformada-se elasticamente quando submetida a uma força P aplicada ao longo de seu eixo central (Figura 4.1a). Nesse caso, a barra está fixada rigidamente em uma das extremidades, e a força é aplicada por meio de um furo na outra extremidade. Devido ao carreamento, a barra deform-se como indicado pelas distorções das retas, antes horizontais e verticais, da grelha nela desenhada. Observe a deformação localizada que ocorre em cada extremidade. Tê-la dentro de algumas micrométricas feitas cada vez mais longe das extremidades. Além disso, as deformações igualmente se tornaram-se uniformes em toda a parte central da barra.\n\nComo a deformação está relacionada à tensão no interior da barra, podemos dizer que a tensão distribui-se mais uniformemente ao longo da seção transversal e se curva por feito longo onde a carga externa está aplicada. Como exemplo, consideremos o perfil da variação da distribuição de tensão que atuam nas seções a-b e c-d, cada uma das quais mostrada na Figura 4.1b. Por comparação, a tensão quase atingiu um valor máximo na seção c-c, suficientemente distante do ponto de aplicação de P, de modo que a deformação provocada por P anule-se. A distância mínima da extremidade da barra em que essa condição cíclica é determinada por uma análise matemática baseada na teoria da elasticidade.\n\n4.2 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO COM CARREGAMENTO AXIAL\n\nUsando a lei de Hooke e as definições de tensão e deformação, descrevemos uma equação para determinar a deformação deste elemento submetido a cargas axiais. Para generalizar, consideremos a barra mostrada na Figura 4.2a, barra cuja área vai se ampliar igualmente ao longo de seu comprimento L. A barra está submetida a cargas concentradas em suas extremidades e uma carga de atrito em sua barra. Queremos calcular o deslocamento relativo Δx de uma extremidade da barra em relação à outra extremidade prevista, portanto, o deslocamento de uma extremidade do elemento em relação a outra será dΔx. A tensão e a deformação do elemento são:\n\nσ = P(A) e ε = dΔx/dx\n\nDesde que essas quantidades não excedam o limite de proporcionalidade, podemos relacioná-las usando a lei de Hooke. Ou seja: Figura 4.2\n\nDevemos integrar esta expressão em todo o comprimento L da barra para encontrar o deslocamento requerido da extremidade, o que produz:\n\nd = \\int_0^L \\frac{P(x) dx}{A(x) E} \n\n(4.1)\n\nonde:\n\nd = deslocamento de um ponto da barra em relação a outro\nL = distância entre os pontos\nP(x) = força axial interna da seção, localizada a uma distância x de uma extremidade\nA(x) = área da seção transversal da barra expressa em função de x\nE = módulo de elasticidade do material\n\nCarga Constante e Área da Seção Transversal. Em muitos casos, a barra tem área da seção transversal constante A; o material será homogêneo, logo E é constante. Além disso, se uma força externa constante for aplicada em cada extremidade (Figura 4.3), então a força interna P ao longo de todo o comprimento da barra também será constante. Integrando-se a Equação 4.1,\n\nd = \\frac{PL}{AE}\n\n(4.2)\n\nSe a barra for submetida a diversas forças axiais diferentes ou, ainda, a área da seção transversal ou o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma região para outra da barra, a equação anterior poderá ser aplicada a cada segmento da barra em que essas quantidades sejam constantes. O deslocamento de uma extremidade da barra em relação a outra é então determinado pela adição algébrica dos deslocamentos de cada segmento. Nesse caso:\n\nd = - \\sum \\frac{PL}{AE}\n\n(4.3)\n\nFigura 4.3 Figura 4.4\n\nConvenção de Sinais. A fim de aplicar a Equação 4.3, devemos estabelecer uma convenção de sinais para a força axial interna e para o deslocamento de uma extremidade da barra em relação a outra. Nessas ambas, força e deslocamento, como positivos se provocarem tração e alongamento (Figura 4.4); ao passo que força e deslocamento serão negativos se provocarem compressão e contração, respectivamente.\n\nComo exemplo, consideremos a barra mostrada na Figura 4.5. As forças axiais internas P são determinadas pelo método das seções para cada segmento (Figura 4.5b). Elas são PAB = 5 kN, PBC = -3 kN, PCD = -7 kN. A variação da carga axial é mostrada no diagrama de força axial normal da barra (Figura 4.5c). Aplicando a Equação 4.3 para obter o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D, temos:\n\n\\delta_{A/D} = -\\frac{PL_{AB}}{AE} \\left( 5 kN \\frac{L_{AB}}{AE} - (3 kN) \\frac{L_{BC}}{AE} - (7 kN) \\frac{L_{CD}}{AE} \\right)\n\nFigura 4.5 Figura 4.6\n\nPROCEDIMENTO DE ANÁLISE\n\nO deslocamento relativo entre dois pontos A e B em um elemento com carga axial é determinado aplicando-se a Equação 4.1 (ou 4.2). A aplicação requer os passos seguintes.\n\nForça Interna.\n\nUsar o método das seções para determinar a força interna P_no elemento.\nSe a força variar ao longo do comprimento do elemento, o corte será feito em uma localização arbitrária, distante d de uma das extremidades do elemento, a força expressa em função de x, ou seja, P(x).\n\nSe várias forças externas constantes atuam sobre o elemento, a força interna em cada segmento do elemento, entre quaisquer duas forças externas, deve então ser determinada.\n\nEm qualquer segmento, uma força de tração interna é positiva e uma força de compressão interna é negativa. Por conveniência, os resultados do carregamento interno são mostrados graficamente construindo-se o diagrama de força normal.\n\nDeslocamento.\n\nQuando a área da seção transversal do elemento varia ao longo do seu eixo, deve ser expressa em função de sua localização, isto é, A(x).\n\nSe a área da seção transversal, o módulo de elasticidade ou a carga interna mudam substancialmente, a Equação 4.2 deve ser aplicada a cada segmento nos quais essas grandezas são constantes.\n\nAo substituir os dados nas equações 4.1 a 4.3, certifique-se de usar o sinal adequado de P; cargas de tração são positivas, e cargas de compressão são negativas. Use também um conjunto de unidades consistente. Em qualquer segmento, o resultado calculado fora uma quantidade numérica positiva, isto implica alongamento; se for negativa, indica contração. DESLOCAMENTO.\nPela tabela de propriedades no final do livro, E = 29(10³) ksi. Pela convenção de sinais — isto é, as forças de compressão internas são positivas e as de compressão negativas —, o deslocamento vertical de A em relação ao apoio fixo D é:\n\nδA = Σ PL/AE = [(+15 kip)(2 pés)(12 pol/ pés²) + (+7 kip)(1.5 pés)(12 pol/ pés²) + (2 pol²)(29(10³) kip/pol²)]\n= +0,0127 pol\nResposta\nSendo o resultado positivo, a barra alonga-se e, assim, o deslocamento de A é para cima.\n\nAplicando-se a Equação 4.2 entre B e C, obtemos:\n\nδBC = PBCDLC/ ABE = [+7 kip(1.5 pés)(12 pol/ pés²)\n(2 pol²)(29(10³) kip/pol²)] + 0,00217 pol\nResposta\nNesse caso, A afasta-se de C, uma vez que o segmento alonga-se. EXEMPLO 4.2\nO conjunto mostrado na Figura 4.7a consiste de um tubo de alumínio AB com área de seção transversal de 400 mm². Uma haste de aço de 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido que passa através do tubo. Se for aplicada uma carga de tração de 80 kN a haste, qual será o deslocamento da extremidade C? Supor que Eac = 200 GPa, Eal = 70 GPa.\n\nSOLUÇÃO\nForça interna. O diagrama de corpo livre do tubo e da haste (Figura 4.7b) mostra que a haste está sujeita a uma tração de 80 kN e o tubo está sujeito a uma compressão de 80 kN.\n\nDeslocamento. Vamos primeiro determinar o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade B. Trabalhando com unidades em metros, temos:\n\nδCB = PL/AE = [+80(10³) N](0.6 m)\n(π(0.005 m)²)(200(10³) N/m²) = +0,003056 m ->\n\nResposta\nO sinal positivo indica que a extremidade C move-se para a direita em relação à extremidade B, isto é, a barra se alonga.\nO deslocamento da extremidade B em relação à extremidade fixa A é:\n\nδB = PL/AE = [-80(10³) N](0.4 m)\n(400 mm²)(10⁻³ m)²(70(10³) N/m²)\n= -0,001143 m ->\n\nNesse caso, o sinal negativo indica que o tubo se encurta e, assim, B move-se para a direita em relação A. Como ambos os deslocamentos são para a direita, o deslocamento resultante de C em relação à extremidade fixa A é:\n\n(δC) = δB + δCB = 0,001143 m + 0,003056 m\n= 0,00420 m → 4,20 mm →\nResposta\nA Figura 4.8 mostra a aplicação do resultado. EXEMPLO 4.4\nUm elemento é feito de um material com peso específico y e módulo de elasticidade E. Supondo que ele tenha formato de cone e as dimensões mostradas na Figura 4.9a, determinar a distância que sua extremidade é deslocada devido à gravidade quando ele está suspenso na posição vertical.\n\nSOLUÇÃO\nForça Interna. A força axial interna varia ao longo do elemento, visto que depende do peso W (o) de um segmento do elemento abaixo de qualquer seção (Figura 4.9b). Então, para calcular o deslocamento devemos usar a Equação 4.1. Na seção localizada a uma distância y da extremidade inferior, o raio x, em função de y, é determinado por proporção. Isto é:\n\nx/y = ro/L0 => x = (ro/L0)y\nO volume de um cone com raio x e altura y é:\nV = (π*x²*y)/3 = (π*ro²/3L0³)y³\nComo W = -γV, a força interna na seção torna-se:\n\n+ΣF = 0;\nP(y) = γ(π*ro²/3L0³)y²\nDeslocamento. A área da seção transversal leva em função de y (Figura 4.9b). Logo,\nA(y) = (π*ro²)/L0\nAplicando a Equação 4.1 entre os limites y = 0 e y = L0, temos:\n\nδ = ∫(P(y)/A(y)) dy = (∫(γ(π*ro²/3L0³)y²) dy)/(π*ro²/L0)\n= (y/3E)(∫y² dy) = (yL²)/(6E)\n= (yL²)/(6E)\n\nResposta\nComo verificação parcial desse resultado, observar de que maneira as unidades dos termos, quando canceladas, produzem o deslocamento em unidades de comprimento conforme esperado. 4.2. Uma coluna de aço A-36 é usada para apoiar as cargas simétricas de dois pisos de um edifício. Determinar o deslocamento vertical do apoio A se P1 = 10 kip, P2 = 6 kip e a coluna tem área de seção transversal de 23.4 pol³.\n\n4.3. Uma coluna de aço A-36 é usada para apoiar as cargas simétricas de dois pisos de um edifício. Determinar as cargas P1 e P2 se A move-se 0.12 pol para baixo e B move-se 0.09 pol para baixo quando as cargas são aplicadas. A coluna tem área de seção transversal de 23.4 pol³.\n\n4.4. O eixo de bronze C86100 está submetido às análises mostradas. Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade B se os diâmetros de cada segmento são d1 = 0.75 pol, d2 = 1 pol e d3 = 0.5 pol.\n\n4.5. Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade C de acordo com o Problema 4.4.\n\n4.6. O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 1 pol. Se a base está sujeita a uma carga axial P1 = 12 kip em A e P2 = 18 kip na conexão B, determinar o deslocamento da conexão B e da extremidade A. O comprimento de cada segmento sem alongamento é mostrado na figura. Desprezar o tamanho das conexões em B e C supor que sejam rígidas.\n\n4.7. O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com diâmetro de 1 pol. Determinar as cargas aplicadas P1, P2 e P3 se a desloca-se 0.08 pol para a direita e desloca-se 0.04 pol para a esquerda quando as cargas são aplicadas. O comprimento de cada segmento sem alongamento é mostrado na figura. Desprezar o tamanho das conexões em B e C supor que sejam rígidas.\n\n4.8. A junta é feita de três chapas de aço A-36 ligadas pelas suas construções. Determinar o deslocamento da extremidade D em relação à extremidade O quando a junta é submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm.\n\n4.9. O conjunto consiste de duas barras rígidas inicialmente horizontais. Elas são apoiadas por proles e hastes de aço A-36 Fc e FE, cada uma com 0.25 pol de diâmetro. Se for aplicada uma carga vertical de 5 kip na barra inferior AB, determinar o deslocamento em C e D.\n\n4.10. A treliça é feita de três elementos de aço A-36 com 400 mm² de área de seção transversal. Determinar a carga P requerida para deslocar o rolete 0.2 m para baixo.\n\n4.11. A treliça é feita de três elementos de aço A-36 com 400 mm² de área de seção transversal. Determinar o deslocamento vertical do rolete em C quando a carga P = 10 kN.\n\n4.12. A carga é suportada pelos quatro arames de aço inoxidável 304 acoplados aos elementos rígidos AB e DC. Determinar o deslocamento vertical provocado pela aplicação da carga de 500 lb se os elementos estavam inicialmente