Simulado Analise I UFRN - 2024 - Exercicios Resolvidos

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra Departamento de Matematica Disciplina MAT1519 Analise I 20241 Tarde Professor Esteban P Silva Noite SIMULADO DO TERCEIRO EXAME Estudante Matrıcula Questao 1 05 ponto Sejam I um intervalo e f I R e g I R funcoes lipschitzianas Mostre que f g e lipschitziana Se I for limitado mostre que fg e lipschitziana Mostre atraves de exemplos que no caso do produto de funcoes o resultado e falso se I nao for limitado Questao 2 05 ponto Seja f R R uma funcao contınua tal que lim x fx e lim x fx Mostre que f atinge seu valor mınimo Questao 3 05 ponto Seja f a b a b contınua Prove que f possui um ponto fixo isto e existe x a b tal que fx x Dˆe exemplo de uma funcao contınua f 0 1 0 1 sem ponto fixo Questao 4 05 ponto Prove que a funcao fx x2 e uniformemente contınua em 1 mas nao em 0 1 Questao 5 05 ponto Uma funcao f I R derivavel satisfaz a condicao de Lipschitz fx fy cx y para x y I quaisquer se e somente se f x c para todo x I Questao 6 05 ponto Dada f R R derivavel com derivada limitada prove que existe uma constante c R tal que a funcao φ R R definida por φx x cfx e uma bijecao cuja inversa e derivavel