Gabarito MAT1519 SE1 20241 - Resolução Detalhada e Análise de Convergência de Séries

Gabarito SE1 20241 MAT1519 Questão 1 A condição an e bn positivas é desnecessária Com respeito usando a desigualdade 2ab a² b² obtemos que 2anbn an² bn² n N Segue por comparação que anbn é absolutamente convergente Questão 2 a Aplicando a Teste da Razão para ak k 2k vemos que lim k ak1 ak lim k k1k 2k2k1 12 1 Portanto a série ak é convergente b Observar que cos k k²1 1 k² Como 1k² é convergente temos que ak com ak cos k k²1 é absolutamente convergente por comparação c Aplicando o Teste da Raiz a an k² cos k 2k obtemos 0 lim k kk² cos k 2k lim k kk k1k22k lim k k12k Portanto a série deste item é convergente d Esta é uma série do tipo alternada 1n an onde an k k1 0 Portanto 1k k k1 é convergente Questão 3 Se F x é fechado então F é fechado pois F F x x é a união finita de conjuntos fechados e ainda um conjunto fechado Se x é isolado então existe δ 0 tal que x δ x δ F x ou seja x F x Em outras palavras F x x F x 1 Como F é fechado temos que F F F Portanto F x F F x F x F x F x F x x pois F x F F x F x por 1 Portanto F x é fechado Questão 4 Dada zn A B convergente digamos zn xn yn onde xm A e yn B e zn z Como A é compacto existe uma subseq xnk de xn convergente digamos xnk x Como yn zn xm temos que a seq ynk com mesmos índices da subseq anterior é também convergente com ynk z x Como A é fechado x A Como B é fechado z x B Portanto z x z x A B Concluímos desse modo que A B é fechado Obse A soma dos dois conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado Tome por exemplo A 1 2 3 N e B 1 1 12 2 13 3 14 3 This page is blank Observe que C 12 13 14 A B mas 0 A B Portanto A B não é fechado Questão 5 É suficiente mostrarmos que para uma sequência arbitrária yn X com yn a e yn a temos fyn l Com efeito dado ε 0 tome ñ 0 seq grande de sorte que fm l ε l ε para todo n ñ Tome agora no 0 tq yn a xñ para todo n no Como f é monótona devemos ter f não decrescente l fyn fxñ l ε f não crescente l ε fxñ fyn l para todo n no Em particular fyn l ε l ε para todo n no Portanto fyn l como queríamos Questão 6 Dado N 0 tome δ 0 seq peq de sorte que gx N l para todo x a δ a δ X a onde l é cota para f ou seja fx l para todo x X Segue que fx gx N para todo x a δ a δ X a como queríamos 4