Capítulo 11: Estimação - Propriedades de Estimadores e Inferência Estatística

Capítulo 11 Estimação Capítulo 11 Estimação Seções 111 e 112 Prof Dr Cristiano Lima Hackmann Email cristianohackmannufrgsbr 111 Primeiras Idéias 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Uma amostra de n 500 pessoas de uma cidade é escolhida e a cada pessoa da amostra é feita uma pergunta a respeito de um problema municipal para o qual foi apresentada uma solução pela prefeitura A resposta à pergunta poderá ser SIM favorável à solução ou NÃO contrária à solução Desejase estimar a proporção de pessoas na cidade favoráveis à solução apresentada 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Se 300 pessoas responderam SIM à pergunta então uma estimativa natural para essa proporção seria 300500 ou 60 Nossa resposta é baseada na suposição de que a amostra é representativa da população Sabemos também que outra amostra poderia levar a outra estimativa 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Conhecer as propriedades desses estimadores é um dos propósitos mais importantes da Inferência Estatística 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Definamos as va X1 Xn tais que e seja p P sucesso onde aqui sucesso significa resposta SIM à questão formulada Exemplo 111 Portanto se sabemos que Yn tem distribuição binomial com parâmetros n e p e o problema consiste em estimar p É claro que Yn representa o número de pessoas na amostra que responderam SIM portanto um possível estimador de p é 111 Primeiras Idéias 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Qual é a distribuição do estimador 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Qual é a distribuição do estimador Revisão 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Qual é a distribuição do estimador Ver Seção 109 Distribuição amostral de uma proporção Exemplo 111 111 Primeiras Idéias Esses resultados nos ajudam a avaliar as qualidades desse estimador O resultado 112 indica que o estimador em média acerta p Dizemos que é um estimador nãoviesado de p O resultado 113 indica que para amostras grandes a diferença entre e p tende a ser pequena pois para Nesse caso dizemos que é um estimador consistente de p Exemplo 111 111 Primeiras Idéias Observe que essas propriedades são válidas para o estimador no conjunto de todas as amostras que poderiam ser extraídas da população Para uma particular amostra pode estar distante de p 111 Primeiras Idéias Em algumas situações podemos ter mais de um estimador para um mesmo parâmetro e desejamos saber qual deles é melhor O julgamento pode ser feito analisando as propriedades desses estimadores Vejamos um exemplo ilustrativo 111 Primeiras Idéias 111 Primeiras Idéias Acurácia Mede a proximidade de cada observação do valor alvo que se procura atingir 111 Primeiras Idéias Acurácia Mede a proximidade de cada observação do valor alvo que se procura atingir Precisão Mede a proximidade de cada observação da média de todas as observações 111 Primeiras Idéias 112 Propiedades de Estimadores Consideremos uma amostra X1 X2 Xn de uma va que descreve uma característica de interesse de uma população Seja θ um parâmetro que desejamos estimar como por exemplo a média μ E X ou a variância σ2 VarX Definição 1 Um estimador T do parâmetro θ é qualquer função das observações da amostra ou seja T gX1 Xn Notemos que segundo essa definição um estimador é o que chamamos antes de estatística porém associandoo a um parâmetro populacional O problema da estimação é então determinar uma função T X1 X2 Xn que seja próxima de θ segundo algum critério O primeiro critério que iremos abordar é dado a seguir Teorema Seja X uma va com média μ e variância σ2 e seja X1 X2 Xn uma AAS de X Então Teorema Seja X uma va com média μ e variância σ2 e seja X1 X2 Xn uma AAS de X Então Revisão 1 E X E 1m Σξ i X i 1m E X 1 X 2 X m 1m EX 1 EX 2 EX m 1mmμ μ Var X Var 1m Σξ i X i 1m2 VarX 1 VarX 2 VarX m 1m2 mσ2 σ2m 112 Propriedades de Estiamdores 1 Tendência Viés Definição 2 O estimador T é nãoviesado para θ se para todo θ Se 114 não valer T dizse viesado e a diferença VT ET θ é chamado o viés de T Exemplo A média amostral é um estimador nãoviesado de μ EX coletada uma amostra X1 Xn da va X Exemplo 114 Considere uma população com N elementos e a variância populacional onde μ 1N N i1 Xi é a média populacional Um possível estimador para σ² baseado numa AAS de tamanho n extraída dessa população é σ² 1n n i1 Xi X² 1m Xi² 2X Xi mX² 1m Xi² 2Xm mX² Eσ² EXi²m EX² 1m EXi² EX² 1m EXi² EX² frac1m left mathbbEleft mathbbEleft X Xi right right mathbbEX2 right E left fracmm1 widehatsigma2 right left fracmm1 right sigma2 sigma2 112 Propriedades de Estiamdores 2 Consitência Convergência Tm T1 T2 ldots Tm Definição Uma sequência Tn de estimadores de um parâmetro heta é consistente se para todo epsilon 0 Definição Uma sequência Tn de estimadores de um parâmetro θ é consistente se para todo ε 0 PTn θ ε 0 n 1110 112 Propriedades de Estiamdores 3 Eficiência Um critério que nos permite escolher entre dois estimadores do mesmo parâmetro Um critério que nos permite escolher entre dois estimadores do mesmo parâmetro