Estimativa de Proporções: Um Estudo Estatístico

Capítulo 11 Estimação Capítulo 11 Estimação Seções 111 e 112 Prof Dr Cristiano Lima Hackmann Email cristianohackmannufrgsbr 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Uma amostra de n 500 pessoas de uma cidade é escolhida e a cada pessoa da amostra é feita uma pergunta a respeito de um problema municipal para o qual foi apresentada uma solução pela prefeitura A resposta à pergunta poderá ser SIM favorável à solução ou NÃO contrária à solução Desejase estimar a proporção de pessoas na cidade favoráveis à solução apresentada 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Se 300 pessoas responderam SIM à pergunta então uma estimativa natural para essa proporção seria 300500 ou 60 Nossa resposta é baseada na suposição de que a amostra é representativa da população Sabemos também que outra amostra poderia levar a outra estimativa 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Conhecer as propriedades desses estimadores é um dos propósitos mais importantes da Inferência Estatística 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Definamos as va X1 Xn tais que e seja p P sucesso onde aqui sucesso significa resposta SIM à questão formulada Exemplo 111 Portanto se sabemos que Yn tem distribuição binomial com parâmetros n e p e o problema consiste em estimar p É claro que Yn representa o número de pessoas na amostra que responderam SIM portanto um possível estimador de p é 111 Primeiras Idéias 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Qual é a distribuição do estimador 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Qual é a distribuição do estimador Revisão 111 Primeiras Idéias Exemplo 111 Qual é a distribuição do estimador Ver Seção 109 Distribuição amostral de uma proporção Exemplo 111 111 Primeiras Idéias Esses resultados nos ajudam a avaliar as qualidades desse estimador O resultado 112 indica que o estimador em média acerta p Dizemos que é um estimador nãoviesado de p O resultado 113 indica que para amostras grandes a diferença entre e p tende a ser pequena pois para Nesse caso dizemos que é um estimador consistente de p Exemplo 111 111 Primeiras Idéias Observe que essas propriedades são válidas para o estimador no conjunto de todas as amostras que poderiam ser extraídas da população Para uma particular amostra pode estar distante de p 111 Primeiras Idéias Em algumas situações podemos ter mais de um estimador para um mesmo parâmetro e desejamos saber qual deles é melhor O julgamento pode ser feito analisando as propriedades desses estimadores Vejamos um exemplo ilustrativo 111 Primeiras Idéias Acurácia Mede a proximidade de cada observação do valor alvo que se procura atingir 111 Primeiras Idéias Acurácia Mede a proximidade de cada observação do valor alvo que se procura atingir Precisão Mede a proximidade de cada observação da média de todas as observações Consideremos uma amostra X1 X2 Xn de uma va que descreve uma característica de interesse de uma população Seja θ um parâmetro que desejamos estimar como por exemplo a média μ E X ou a variância σ2 VarX Definição 1 Um estimador T do parâmetro θ é qualquer função das observações da amostra ou seja T gX1 Xn Notemos que segundo essa definição um estimador é o que chamamos antes de estatística porém associandoo a um parâmetro populacional O problema da estimação é então determinar uma função T X1 X2 Xn que seja próxima de θ segundo algum critério O primeiro critério que iremos abordar é dado a seguir Teorema Seja X uma va com média μ e variância σ2 e seja X1 X2 Xn uma AAS de X Então Teorema Seja X uma va com média μ e variância σ2 e seja X1 X2 Xn uma AAS de X Então Revisão 112 Propriedades de Estiamdores 1 Tendência Viés Definição 2 O estimador T é nãoviesado para θ se para todo θ Se 114 não valer T dizse viesado e a diferença VT ET θ é chamado o viés de T Exemplo A média amostral é um estimador nãoviesado de μ EX coletada uma amostra X1 Xn da va X 112 Propriedades de Estiamdores 2 Consitência Convergência 112 Propriedades de Estiamdores 3 Eficiência Um critério que nos permite escolher entre dois estimadores do mesmo parâmetro Um critério que nos permite escolher entre dois estimadores do mesmo parâmetro