Teste de Hipóteses e Erros de Decisão em Estatística

Aula 9 Capítulo 12 Teste de hipóteses Capítulo 13 Erros de Decisão Estatística Básica Probabilidade e Inferência Capítulo 12 Todas as Seções Capítulo 13 Todas as Seções Parte da aula adapatada de httpwwwdpiinpebrcamiloestatisticaaulashtml Capítulo 12 Capítulo 12 Testes de Hipóteses Seções 121 122 123 124 125 126 127 128 httpsrpubscomEstatBasicaCap12 Prof Dr Cristiano Lima Hackmann Email cristianohackmannufrgsbr Teste de Hipótese para μ com σ2 conhecida Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 hipótese nula hipótese alternativa Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 Se H0 é verdadeira então hipótese nula hipótese alternativa 0 0 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 Se H0 é verdadeira então hipótese nula hipótese alternativa Qual a probabilidade da média ser igual a 10 Resposta 0 0 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 Se H0 é verdadeira então hipótese nula hipótese alternativa Qual a probabilidade da média ser igual a 10 Resposta 0 zero 0 0 z 0 Se H0 verdadeira Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 Se H0 é verdadeira então hipótese nula hipótese alternativa Quais os valores desta estatística indicariam que H0 seria verdadeira 0 0 z 0 Se H0 falsa z 0 Se H0 verdadeira z 0 Se H0 falsa Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 Se H0 é verdadeira então hipótese nula hipótese alternativa Quais os valores desta estatística indicariam que H0 seria verdadeira E quais os valores desta estatística indicariam que H0 seria falsa 0 0 zcrít zcrít Não Rejeição de H0 rejeição de H0 rejeição de H0 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 0 0 zcrít zcrít aceitação de H0 rejeição de H0 rejeição de H0 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 0 0 zcrít zcrít aceitação de H0 rejeição de H0 rejeição de H0 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Obs A conclusão está associada a um nível de significância Aceito H0 se zcrít z zcrít Pzcrít z zcrít 1 α Rejeito H0 caso contrário Pz zcrít α zcrít zcrít 196 196 0 0 aceitação de H0 rejeição de H0 rejeição de H0 95 25 25 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Aceito H0 se 196 z 196 P196 z 196095 Rejeito H0 caso contrário Pz 196 005 196 196 aceitação de H0 0 0 rejeição de H0 rejeição de H0 95 25 25 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Se H0 é verdadeira então Aceito H0 se 196 z 196 P196 z 196095 Rejeito H0 caso contrário Pz 196 005 196 196 aceitação de H0 0 0 rejeição de H0 rejeição de H0 95 25 25 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 1625 Se H0 é verdadeira então Aceito H0 se 196 z 196 P196 z 196095 Rejeito H0 caso contrário Pz 196 005 196 196 aceitação de H0 0 0 rejeição de H0 rejeição de H0 95 25 25 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 1625 Se H0 é verdadeira então Aceito H0 se 196 z 196 P196 z 196095 Rejeito H0 caso contrário Pz 196 005 Conclusão Não rejeitase H0 ao nível de 5 de significância Em alguns casos há evidências de que se o parâmetro não for aquele definido na hipótese nula ele será maior ou então menor do que o valor testado Neste caso podese definir a hipótese alternativa como unilateral No exemplo anterior Com esta média amostral podese pensar que o verdadeiro valor de μ é na realidade maior do que aquele definido na hipótese nula H0 μ 10 0 zcrít aceitação de H0 rejeição de H0 19 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 hipótese nula teste unilateral Aceito H0 se z zcrít Pz zcrít 1 α Rejeito H0 caso contrário Pz zcrít α zcrít 1645 0 0 95 1625 aceitação de H0 rejeição de H0 20 5 Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Poderia esta média amostral ter sido obtida de uma população com média μ 10 e variância σ2 16 Conclusão Não rejeitase H0 ao nível de 5 de significância Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 hipótese nula teste unilateral Aceito H0 se z 1645 Pz zcrít 095 Rejeito H0 caso contrário Pz 1645 005 Hipótese estatística Uma afirmação sobre um parâmetro populacional Precisa de um par de hipóteses um que represente a afirmação outro que seja seu complemento Quando uma dessas hipóteses for falsa a outra deve ser assumida como verdadeira Teste de hipótese Para escrever as hipóteses nula e alternativa traduza a afirmação feita sobre o parâmetro populacional de uma afirmação verbal para uma afirmação matemática Então escreva seu complemento H0 μ k H1 μ k H0 μ k H1 μ k H0 μ k H1 μ k Teste z para uma média μ Pode ser usado quando a população é normal e σ conhecido A estatística do teste é a média amostral A estatística do teste padronizado é z Regiões de rejeição e valores críticos Região de rejeição ou região crítica A amplitude de valores para a qual a hipótese nula não é provável Se uma estatística de teste está nessa região a hipótese nula é rejeitada Um valor crítico z0 separa a região de rejeição da região de não rejeição Normalidade A hipótese de normalidade requer que os dados da amostra usados para o teste sejam tirados de uma população distribuída normalmente As amostras nunca são tomadas de populações distribuídas de modo perfeitamente normal de modo que de certa forma essa hipótese nunca é respeitada A hipótese de normalidade requer que os dados sejam retirados de uma população aproximadamente normal Independência A hipótese de independência requer que cada observação na amostra esteja dissociada de qualquer outra observação na mesma amostra Teste de Hipótese para proporção p Hipóteses H0 p p0 H1 p p0 Se H0 é verdadeira então Região Crítica aceito H0 se zcrít z zcrít Pzcrít z zcrít 1 α rejeito H0 caso contrário Pz zcrít α Conclusão sempre associada a um nível de significância 0 aceitação de H0 zcrít zcrít rejeição de H0 rejeição de H0 Fixamse as hipóteses H0 p p0 H1 p p0 p p0 p p0 Sabese por experiência que 5 da produção de um determinado artigo é defeituosa Um novo empregado é contratado Ele produz 600 peças do artigo com 82 defeituosas Ao nível de 15 verificar se o novo empregado produz peças com maior índice de defeitos que o existente Vários testes são usados para comparar populações O testeF é usado para comparar a variância de duas populações O testet é usado para determinar se novas amostras estão centradas em uma determinada média ou testar a diferença entre duas médias Teste de hipótese Erros dos Tipos I e II Teste de Hipótese Erros do Tipo I Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média μ0 e obter uma tão alta de modo que leve à conclusão errada de que H0 é falsa 0 zcrít Hipóteses H0 μ μ0 H1 μ μ0 Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média μ0 e obter uma tão alta de modo que leve à conclusão errada de que H0 é falsa 0 zcrít Hipóteses H0 μ μ0 H1 μ μ0 Sim Este erro é chamado de erro do tipo I e equivale ao nível de significância α Prejeitar H0 H0 é verdadeira α Este erro é sempre conhecido sendo em geral definido previamente pelo tomador de decisão Teste de Hipótese Erros do Tipo I Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média μ1 μ0 e obter uma tão pequena de modo que leve à conclusão errada de que H0 é verdadeira Hipóteses H0 μ μ0 H1 μ μ0 Teste de Hipótese Erros do Tipo II Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média μ1 μ0 e obter uma tão pequena de modo que leve à conclusão errada de que H0 é verdadeira Hipóteses H0 μ μ0 H1 μ μ0 μ0 aceitação de H0 H0 Teste de Hipótese Erros do Tipo II Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média μ1 μ0 e obter uma tão pequena de modo que leve à conclusão errada de que H0 é verdadeira Hipóteses H0 μ μ0 H1 μ μ0 μ0 μ1 aceitação de H0 H0 H1 Teste de Hipótese Erros do Tipo II Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média μ1 μ0 e obter uma tão pequena de modo que leve à conclusão errada de que H0 é verdadeira Hipóteses H0 μ μ0 H1 μ μ0 Sim Este erro é chamado de erro do tipo II ou erro β μ0 μ1 aceitação de H0 H0 H1 Paceitar H0 H1 é verdadeira β Teste de Hipótese Erros do Tipo II Existe a possibilidade de se selecionar uma amostra de uma população com média μ1 μ0 e obter uma tão pequena de modo que leve à conclusão errada de que H0 é verdadeira Hipóteses H0 μ μ0 H1 μ μ0 Sim Este erro é chamado de erro do tipo II ou erro β μ0 μ1 aceitação de H0 H0 H1 Paceitar H0 H1 é verdadeira β Teste de Hipótese Poder do Teste Prejeitar H0 H1 é verdadeira 1 β Poder do Teste μ0 μ1 aceitação de H0 H0 H1 Teste de Hipótese Tipos de Erro Hipóteses H0 μ μ0 H1 μ μ0 H0 é verd H0 é falso Aceita H0 Rejeita H0 1 α β 1 β α μ0 μ1 aceitação de H0 H0 H1 Teste de Hipótese Tipos de Erro Hipóteses H0 μ μ0 H1 μ μ0 H0 é verd H0 é falso Aceita H0 Rejeita H0 1 α β 1 β α Alternativas para diminuir β distanciar μ1 de μ0 aumentar α aumentar n Fatores que influenciam β Cálculo do erro tipo II erro β Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Através de um teste z unilateral chegouse à conclusão de que a verdadeira média μ poderia ser igual a 10 adotandose um nível de significância de 5 considerando σ2 16 Mas qual a probabilidade de chegarmos a esta mesma conclusão sendo a verdadeira média igual a 12 ou seja qual o valor de β Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 Cálculo do erro tipo II erro β Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Através de um teste z unilateral chegouse à conclusão de que a verdadeira média μ poderia ser igual a 10 adotandose um nível de significância de 5 considerando σ2 16 Mas qual a probabilidade de chegarmos a esta mesma conclusão sendo a verdadeira média igual a 12 ou seja qual o valor de β 10 H0 aceitação de H0 12 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 Cálculo do erro tipo II erro β Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Através de um teste z unilateral chegouse à conclusão de que a verdadeira média μ poderia ser igual a 10 adotandose um nível de significância de 5 considerando σ2 16 Mas qual a probabilidade de chegarmos a esta mesma conclusão sendo a verdadeira média igual a 12 ou seja qual o valor de β 10 H0 aceitação de H0 12 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 Cálculo do erro tipo II erro β Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Através de um teste z unilateral chegouse à conclusão de que a verdadeira média μ poderia ser igual a 10 adotandose um nível de significância de 5 considerando σ2 16 Mas qual a probabilidade de chegarmos a esta mesma conclusão sendo a verdadeira média igual a 12 ou seja qual o valor de β 10 H0 aceitação de H0 H1 12 Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 Cálculo do erro tipo II erro β Uma amostra de 25 valores foi selecionada chegando a uma média amostral igual a 113 Através de um teste z unilateral chegouse à conclusão de que a verdadeira média μ poderia ser igual a 10 adotandose um nível de significância de 5 considerando σ2 16 Mas qual a probabilidade de chegarmos a esta mesma conclusão sendo a verdadeira média igual a 12 ou seja qual o valor de β 10 H0 aceitação de H0 H1 12 β Hipóteses H0 μ 10 H1 μ 10 ValorP Pvalue Teste de Hipótese valorP pvalue Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância Por exemplo Com base num teste z unilateral a 5 de significância pôdese concluir que a média μ é maior que 20 uma vez que a estatística z obtida foi de 25 zcrítico 1645 H0 μ 20 H1 μ 20 Se H0 é verdadeira então Teste de Hipótese valorP pvalue Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância Por exemplo Com base num teste z unilateral a 5 de significância pôdese concluir que a média μ é maior que 20 uma vez que a estatística z obtida foi de 25 zcrítico 1645 H0 μ 20 H1 μ 20 Se H0 é verdadeira então Conclusão Rejeitase H0 a 5 0 1645 Aceita H0 Rejeita H0 25 Teste de Hipótese valorP pvalue Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância Por exemplo Com base num teste z unilateral a 5 de significância pôdese concluir que a média μ é maior que 20 uma vez que a estatística z obtida foi de 25 zcrítico 1645 A média μ continuaria ser significativamente maior do que 20 se fosse adotado um nível de significância de 1 Para responder a esta pergunta é necessário calcular o novo z crítico H0 μ 20 H1 μ 20 Se H0 é verdadeira então Conclusão Rejeitase H0 a 5 0 1645 Aceita H0 Rejeita H0 25 Teste de Hipótese valorP pvalue Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância Por exemplo Com base num teste z unilateral a 5 de significância pôdese concluir que a média μ é maior que 20 uma vez que a estatística z obtida foi de 25 zcrítico 1645 H0 μ 20 H1 μ 20 Se H0 é verdadeira então 25 25 0 233 Aceita H0 Rejeita H0 Conclusão Rejeitase H0 a 1 Teste de Hipótese valorP pvalue Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância Por exemplo Com base num teste z unilateral a 5 de significância pôdese concluir que a média μ é maior que 20 uma vez que a estatística z obtida foi de 25 zcrítico 1645 H0 μ 20 H1 μ 20 Se H0 é verdadeira então 25 25 0 233 Aceita H0 Rejeita H0 Conclusão Rejeitase H0 a 1 Para α 1 ainda assim rejeitase H0 ou seja μ é maior que 20 Teste de Hipótese valorP pvalue Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância Por exemplo Com base num teste z unilateral a 5 de significância pôdese concluir que a média μ é maior que 20 uma vez que a estatística z obtida foi de 25 zcrítico 1645 H0 μ 20 H1 μ 20 Se H0 é verdadeira então 25 25 0 233 Aceita H0 Rejeita H0 Conclusão Rejeitase H0 a 1 Para α 1 ainda assim rejeitase H0 ou seja μ é maior que 20 Para que valores de α a média μ poderia ser considerada igual a 20 Teste de Hipótese valorP pvalue Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância Por exemplo Com base num teste z unilateral a 5 de significância pôdese concluir que a média μ é maior que 20 uma vez que a estatística z obtida foi de 25 zcrítico 1645 H0 μ 20 H1 μ 20 Se H0 é verdadeira então Para α 1 ainda assim rejeitase H0 ou seja μ é maior que 20 25 25 0 Aceita H0 Rejeita H0 Para que valores de α a média μ poderia ser considerada igual a 20 Teste de Hipótese valorP pvalue Toda conclusão de um teste de hipótese está associada a um nível de significância Por exemplo Com base num teste z unilateral a 5 de significância pôdese concluir que a média μ é maior que 20 uma vez que a estatística z obtida foi de 25 zcrítico 1645 H0 μ 20 H1 μ 20 Se H0 é verdadeira então Para α 1 ainda assim rejeitase H0 ou seja μ é maior que 20 25 25 0 Aceita H0 Rejeita H0 00062 valorP PZ z Podese aceitar H0 para qualquer nível De significância α menor que 00062 uma vez que valorP PZ 25 00062 Para que valores de α a média μ poderia ser considerada igual a 20 Este conceito pode ser aplicado para qualquer distribuição Na conclusão de um teste H0 será rejeitado toda vez que o valorP for menor que o nível de significância α escolhido Quanto menor o valorP com mais confiança você pode rejeitar a hipótese nula Você deve sempre relatar o valorP para que o leitor possa tirar suas próprias conclusões Teste de Hipótese valorP pvalue Exercícios Estatística Básica Probabilidade e Inferência Morettin Capítulo 12 Todos os Exercícios Resolvidos Pg 247 Exercícios propostos pg 253 1 ao 8 Capítulo 13 Exercícios propostos pg 265 1 3a