Equacoes de Maxwell e Magnetismo da Materia - Guia Completo

Equações de Maxwell Magnetismo da matéria parte 1 As quatro equações que são consideradas como a base de todos os fenômenos elétricos e magnéticos Estas equações desenvolvidas por Maxwell são tão fundamentais para o Eletromagnetismo como as leis de Newton são para a Mecânica As equações de Maxwell representam as leis que regem a eletricidade e o magnetismo mas elas também possuem uma importante consequência a previsão da existência das ondas eletromagnéticas EQUAÇÕES DE MAXWELL EQUAÇÕES DE MAXWELL Até agora no curso apresentamos as duas equações de Maxwell para o campo elétrico Neste capítulo completaremos o conjunto de equações básicas do eletromagnetismo introduzindo a lei de Gauss para o campo magnético e uma generalização da lei de Ampère que completam as quatro equações de Maxwell para o eletromagnetismo EQUAÇÕES DE MAXWELL Representação das linhas de campo do campo magnético de um imã em forma de barra As curvas vermelhas representam seções retas de superfícies gaussianas tridimensionais Em todos os casos A lei de Gauss para o campo magnético é um modo formal de afirmar que os monopolos magnéticos não existem até onde sabemos Assim a estrutura magnética mais simples que pode existir é o dipolo magnético A lei de Gauss para campos magnéticos é válida mesmo que a superfície gaussiana não envolva todo o sistema que está sendo investigado Como a superfície gaussiana II da Fig 324 não envolve nenhum dos polos do ímã em forma de barra podemos facilmente concluir que o fluxo que atravessa a superfície é zero O caso da superfície I é diferente pois ela envolve apenas o polo norte N do ímã Entretanto a presença do polo sul S não pode ser descartada já que linhas de campo magnético provenientes do polo sul penetram na parte inferior da superfície Assim o fluxo total através da superfície gaussiana I também é zero EQUAÇÕES DE MAXWELL Ímãs Pólos e dipolos As propriedades magnéticas dos materiais podem ser compreendidas pelo que ocorre com seus átomos e elétrons A estrutura mais simples na eletricidade é como vimos uma carga isolada q no magnetismo é um dipolo magnético do qual uma barra imantada ímã é um exemplo Um ímã é caracterizado por dois pólos o pólo norte de onde emergem as linhas do campo magnético e o pólo sul para onde as linhas migram Não somos capazes de isolar um único pólo monopolo magnético um ímã partido ao meio se subdivide em dois outros e assim sucessivamente até o nível microscópico de átomos núcleos e elétrons Até onde sabemos não existem pois monopolos magnéticos EQUAÇÕES DE MAXWELL Monopolos magnéticos Mostramos que a lei de Gauss para campos elétricos é equivalente à lei de Coulomb que é baseada na observação experimental da força entre as cargas puntiformes A lei de Gauss para o magnetismo também se baseia numa observação experimental o fracasso das tentativas de observar pólos magnéticos isolados tais como um único pólo norte ou sul A existência de cargas magnéticas isoladas foi proposta em 1931 pelo físico teórico Paul Dirac com base em argumentos da mecânica quântica e de simetria Foi Dirac quem denominou essas cargas de monopolos magnéticos e deduziu algumas das propriedades básicas esperadas para elas incluindo o módulo da carga magnética análoga à carga eletrônica e Após a teoria de Dirac foram realizadas experiências tentando isolar os monopolos magnéticos usando grandes aceleradores de partículas e examinando matéria terrestre e extraterrestre Nenhuma dessas pesquisas iniciais revelou qualquer evidência a favor da existência de monopolos magnéticos Monopolos magnéticos EQUAÇÕES DE MAXWELL EQUAÇÕES DE MAXWELL Lei de Gauss para Campos Magnéticos ΦB B d A 0 Lei de Gauss para campos magnéticos a Um capacitor de placas paralelas circulares visto de lado está sendo carregado por uma corrente constante i b Uma vista do interior do capacitor olhando na direção da placa que está à direita em a O campo elétrico uniforme aponta para dentro da tela em direção à placa e aumenta de intensidade à medida que a carga do capacitor aumenta O campo magnético induzido por esse campo elétrico variável é mostrado em quatro pontos de uma circunferência de raio r menor que o raio R das placas EQUAÇÕES DE MAXWELL Quando existe uma corrente e o fluxo elétrico não está variando como no caso de um fio percorrido por uma corrente constante o primeiro termo do lado direito da segunda equação é zero e ela se torna igual à lei de Ampère Quando o fluxo elétrico varia e a corrente é zero como na região entre as placas de um capacitor que está sendo carregado o segundo termo do lado direito da segunda equação é zero e ela se torna igual à lei de indução de Maxwell EQUAÇÕES DE MAXWELL Ideia Um campo magnético pode ser criado por uma corrente ou pela indução produzida por um fluxo eletrico variável os dois efeitos são levados em conta na eq Não existe corrente entre as placas do capacitor mas o fluxo elétrico está variando assim a eq se reduz Exemplo Campo Magnético Induzido por um Campo Elétrico Variável Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado como na Fig 325a a Escreva uma expressão para o campo magnético a uma distância r do eixo central das placas que seja válida para r R Lado esquerdo da Eq 326 Escolhemos uma amperiana circular de raio r R como a da Fig 325b porque queremos calcular o campo magnético para r R ou seja no espaço entre as placas do capacitor O campo magnético B em todos os pontos da amperiana é tangente à curva o que também acontece com o elemento de comprimento d s Assim B e d s são paralelos ou antiparalelos em todos os pontos da curva Para simplificar os cálculos vamos supor que sejam paralelos esta opção não influi no resultado final Nesse caso temos B d s B ds cos 0 B ds Devido à simetria circular das placas podemos também supor que o módulo de B é o mesmo ao longo de toda a curva Assim B pode ficar do lado de fora da integral do lado direito da equação A integral que resta é ϕds que é simplesmente o perímetro 2 π r da amperiana O lado esquerdo da Eq 326 é portanto B2 π r Exemplo Campo Magnético Induzido por um Campo Elétrico Variável Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado como na Fig 325a a Escreva uma expressão para o campo magnético a uma distância r do eixo central das placas que seja válida para r R Lado direito da Eq 326 Vamos supor que o campo elétrico E é uniforme na região entre as placas do capacitor e perpendicular às placas Nesse caso o fluxo elétrico ΦE através da amperiana é EA onde A é a parte da área envolvida pela amperiana que é atravessada pelo campo elétrico Assim o lado direito da Eq 326 é μ0ε0 dEAdt Combinação dos resultados Substituindo os resultados para o lado esquerdo e para o lado direito na Eq 326 obtemos B2πr μ0ε0 dEAdt Como A é constante dEA A dE assim temos B2πr μ0ε0 A dEdt A parte da área A envolvida pela amperiana que é atravessada pelo campo elétrico é a área total πr² da curva pois o raio r da amperiana é menor que o raio R das placas ou igual ao raio Substituindo A por πr² na Eq 327 e explicitando B obtemos para r R B μ0ε0 r2 dEdt Resposta 328 Exemplo Campo Magnético Induzido por um Campo Elétrico Variável continuação Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado como na Fig 325a b Calcule o módulo B do campo magnético para r R5 110 mm e dEdt 150 10¹² Vm s Cálculo De acordo com o item a temos B 12 μ0ε0 r dEdt 124π 10⁷ T mA885 10¹² C²N m² 110 10³ m150 10¹² Vm s 918 10⁸ T Resposta c Escreva uma expressão para o campo magnético induzido no caso em que r R Cálculo O método usado é o mesmo do item a exceto pelo fato de que agora usamos uma amperiana cujo raio r é maior que o raio R das placas para calcular B do lado de fora do capacitor Calculando o lado esquerdo e o lado direito da Eq 326 obtemos novamente a Eq 327 Entretanto precisamos levar em conta uma diferença sutil como o campo elétrico existe apenas na região entre as placas a área A envolvida pela amperiana que contém o campo elétrico agora não é a área total πr² da espira mas apenas a área πR² das placas Exemplo Campo Magnético Induzido por um Campo Elétrico Variável continuação Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado como na Fig 325a c Escreva uma expressão para o campo magnético induzido no caso em que r R Cálculo O método usado é o mesmo do item a exceto pelo fato de que agora usamos uma amperiana cujo raio r é maior que o raio R das placas para calcular B do lado de fora do capacitor Calculando o lado esquerdo e o lado direito da Eq 326 obtemos novamente a Eq 327 Entretanto precisamos levar em conta uma diferença sutil como o campo elétrico existe apenas na região entre as placas a área A envolvida pela amperiana que contém o campo elétrico agora não é a área total πr² da espira mas apenas a área πR² das placas Substituindo A por πR² na Eq 327 e explicitando B obtemos para r R B μ0ε0 R² 2r dEdt Esta equação nos diz que do lado de fora do capacitor B diminui com o aumento da distância radial r a partir do valor máximo que assume na borda das placas onde r R Fazendo r R nas Eqs 328 e 329 vemos que as duas equações são coerentes ou seja fornecem o mesmo resultado para o campo B na borda das placas EQUAÇÕES DE MAXWELL Corrente de Deslocamento Antes da carga não existe campo magnético Durante a carga é criado um campo magnético tanto pela corrente real i quanto pela corrente fictícia id Depois da carga não existe campo magnético Durante a carga a regra da mão direita pode ser aplicada tanto à corrente real como à corrente fictícia Figura 327 a Antes e d depois que as placas são carregadas não há campo magnético b Durante a carga um campo magnético é criado tanto pela corrente real como pela corrente de deslocamento fictícia c A regra da mão direita pode ser usada para determinar a orientação do campo magnético produzido pelas duas correntes Comparando os dois termos do lado direito da equação acima vemos que o termo tem dimensões de corrente elétrica Assim pode ser tratado como uma corrente fictícia conhecida como corrente de deslocamento e representada pelo símbolo id EQUAÇÕES DE MAXWELL A carga q das placas de um capacitor de placas paralelas está relacionada ao módulo E do campo elétrico entre as placas através da equação onde A é a área das placas EQUAÇÕES DE MAXWELL Existe ainda uma terceira maneira de gerar campos magnéticos o uso de materiais magnéticos A contribuição dos materiais magnéticos pode ser levada em conta adicionandose um terceiro termo na lei de Ampère No caso de um capacitor de placas paralelas circulares os campos magnéticos são EQUAÇÕES DE MAXWELL Tabela 321 Equações de Maxwell Nome Equação Lei de Gauss para a eletricidade E dA qenvε0 Relaciona o fluxo elétrico às cargas elétricas envolvidas Lei de Gauss para o magnetismo B dA 0 Relaciona o fluxo magnético às cargas magnéticas envolvidas Lei de Faraday E ds dΦBdt Relaciona o campo elétrico induzido à variação do fluxo magnético Lei de AmpèreMaxwell B ds μ0ε0 dΦEdt μ0ienv Relaciona o campo magnético induzido à variação do fluxo elétrico e à corrente aSupondo que não estão presentes materiais dielétricos ou magnéticos Maxwell James Clerk 1831879 𝐷 𝜌 𝐵 0 𝐻 𝐣 𝐷t 𝐸 𝐵t EQUAÇÕES DE MAXWELL As relações matemáticas que descrevem todos os fenômenos elétricos e magnéticos são denominadas equações de Maxwell Para simplificar apresentamos as equações para o vácuo isto é na ausência de materiais dielétricos ou magnéticos EQUAÇÕES DE MAXWELL Lei de Gauss para o campo elétrico 𝐸 𝑑𝐴 𝑞𝜀₀ Esta equação estabelece que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga líquida dentro dessa superfície dividida por 𝜀₀ Essa lei descreve como as cargas criam campos elétricos já que as linhas de campo elétrico se originam em cargas positivas e terminam em cargas negativas EQUAÇÕES DE MAXWELL Lei de Gauss para o campo magnético 𝐵 𝑑𝐴 0 O fluxo magnético resultante através de uma superfície fechada é nulo Isto é o número de linhas de campo magnético entrando em um volume fechado tem de ser igual ao número de linhas que deixam esse volume Esta equação está relacionado ao fato de que monopolos magnéticos nunca foram observados na natureza EQUAÇÕES DE MAXWELL Lei da indução de Faraday E d s d Φ B d t Esta relação descreve como um campo magnético variável cria um campo elétrico A integral de linha do campo elétrico em torno de qualquer trajetória fechada que é igual à fem é igual à taxa de variação do fluxo magnético através de qualquer superfície limitada por essa trajetória EQUAÇÕES DE MAXWELL Lei de AmpèreMaxwell B d s μ 0 I I d μ 0 I μ 0 ε 0 d Φ E d t A forma generalizada para a lei de Ampère descreve como uma corrente elétrica ou um campo elétrico variável criam um campo magnético A integral de linha do campo magnético em torno de qualquer trajetória fechada é determinada pela corrente resultante e pela taxa de variação do fluxo elétrico através de qualquer superfície limitada por essa trajetória Em sua teoria unificada do eletromagnetismo Maxwell demonstrou que campos elétricos e magnéticos dependentes do tempo satisfazem uma equação de onda O resultado mais significante dessa teoria é a predição da existência de ondas eletromagnéticas As equações de Maxwell prevêem que uma onda eletromagnética consiste de campos elétricos e magnéticos oscilantes Os campos variáveis criam um ao outro para manter a propagação da onda um campo elétrico variável induz um campo magnético também variável que por sua vez induz um campo elétrico e assim por diante EQUAÇÕES DE MAXWELL