Indutância e FEM Autoinduzida Conceitos e Aplicações

O exemplo típico é um solenóide pelo qual passa uma corrente variável Esta gera uma variação do fluxo magnético através do indutor que induz uma voltagem induzida em suas extremidades Em analogia ao tratamento dos capacitores o fluxo magnético total em um indutor formado por N espiras é proporcional ao campo magnético que por sua vez é proporcional a corrente elétrica nas espiras Indutores A constante de proporcionalidade é a indutância L B i B Li ou i N L B Indutância Quando existe uma corrente em um circuito ela produz um campo magnético que gera um fluxo magnético através do próprio circuito quando a corrente varia esse fluxo também varia Portanto qualquer circuito percorrido por uma corrente variável possui uma fem induzida nele mesmo pela variação de seu próprio fluxo magnético Tal fem denominase fem autoinduzida De acordo com a lei de Lenz uma fem autoinduzida sempre se opõe à variação da corrente que produz a fem e portanto tende a tornar mais difícil qualquer variação da corrente Por esta razão a fem autoinduzida é muito importante quando existe uma corrente variável Uma fem autoinduzida pode ocorrer em qualquer circuito visto que sempre existirá algum fluxo magnético através de espiras fechadas em um circuito que conduz uma corrente Porém o efeito é bastante ampliado quando o circuito contém uma bobina com N espiras como em um solenóide Em virtude da corrente I existe um fluxo magnético médio ΦB através de cada espira da bobina que é proporcional à corrente Se ocorre a variação da corrente uma variação do fluxo magnético também acontecerá de forma que onde introduzimos a constante de proporcionalidade L chamada indutância do elemento de circuito Integrando a equação acima obtemos a indutância em função do fluxo magnético e da corrente elétrica Usando a equação para a lei de Faraday e tomando apenas o módulo das quantidade envolvidas obtemos a fem induzida pela variação da corrente elétrica num circuito com indutância L Se a corrente I diminui de acordo com a lei de Lenz a indutância deve se opor a esta diminuição gerando uma fem com sentido oposto àquele da variação Por outro lado se a corrente I aumenta o indutor se opõe a esta variação gerando uma fem adicional também em sentido contrário à variação da corrente Podemos escrever a relação entre o sinal de dIdt e o de L através da diferença de potencial entre as duas extremidades do indutor Indutância de um Solenóide Solenóide longo de comprimento ℓ e área da seção reta é A admitindo que esta seção está próxima do centro do solenóide de forma que podemos desconsiderar os efeitos de borda O campo magnético no interior de um solenóide percorrido por uma corrente I é O fluxo no interior do solenóide A Indutância onde n é o numero de espiras por unidade de comprimento Indutância de um Solenóide Esta expressão envolve apenas fatores geométricos A área da seção reta o comprimento do solenóide e o numero de espiras por unidade de comprimento Sendo válida apenas para um solenóide de comprimento muito maior do que o seu raio Uma fem autoinduzida aparece em qualquer bobina indutor em que a corrente esteja variando TESTE 5 A figura mostra uma força eletromotriz u1d52L induzida em uma bobina Escolha a opção correta para a corrente na bobina a constante da esquerda para a direita b constante da direita para a esquerda c crescente da esquerda para a direita d decrescente da esquerda para a direita e crescente da direita para a esquerda f decrescente da direita para a esquerda TESTE 5 A figura mostra uma força eletromotriz u1d52L induzida em uma bobina Escolha a opção correta para a corrente na bobina a constante da esquerda para a direita b constante da direita para a esquerda c crescente da esquerda para a direita d decrescente da esquerda para a direita e crescente da direita para a esquerda f decrescente da direita para a esquerda Circuito RL Circuitos RL são aqueles que contêm resistores e indutores Neles as correntes e os potenciais variam com o tempo Apesar das fontes fem que alimentam estes circuitos serem independentes do tempo a introdução de indutores provoca efeitos dependentes do tempo Estes efeitos são úteis para controle do funcionamento de máquinas e motores FIG 3020 Um circuito RL Quando a chave S é colocada na posição a a corrente começa a aumentar e tende para o valor final u1d52R dt di L L Se opõe a variação da corrente Inicialmente um indutor atua se opondo a variação na corrente que passa por ele Muito tempo depois ele atua como um fio de ligação comum Regra das malhas 1 Resistor como nos movemos xy através do resistor no sentido da corrente i o potencial elétrico diminui de i R iR 2 Indutor como i está variando existe uma fem autoinduzida L no indutor O sentido L é para cima pq i esta no sentido para baixo dt L di 3 Bateria qdo nos movemos encontramos uma variação de potencial devida a fem da bateria 0 dt L di iR dt Ri di L Circuito RL Mesma formula do circuito RC C q dt dq R temos Subida da corrente Circuito RL Voltagens no resistor e no indutor VR Ri it 𝓔R1 eRtL VL L didt VL 𝓔 eRtL Assim a constante de tempo tL é o tempo gasto pela corrente no circuito para atingir cerca de 63 do seu valor final de equilíbrio R Logo a constante de tempo τL nos dá o instante em que a corrente no circuito é menor do que o seu valor final 𝓔R por um fator 1e cerca de 37 Podemos então reescrever a equação de um circuito RL It 𝓔R1 etτL A diferença de potencial no resistor aumenta com o tempo e a diferença de potencial no indutor diminui com o tempo Figura 3017 Variação com o tempo a de VR a diferença de potencial entre os terminais do resistor da Fig 3016 b de VL a diferença de potencial entre os terminais do indutor Os triângulos representam intervalos sucessivos de uma constante de tempo indutiva τL LR As curvas foram plotadas para R 2000 Ω L 40 H e 𝓔 10 V Circuito RL b Fechandose a chave S neste caso a equação das tensões será Ri L didt 0 Sendo I0 εR onde I0 é o valor da corrente quando a bateria é removida t 0 A solução desta equação é it εR eRtL I0 etτL Decaimento da corrente Exemplo Circuito RL Imediatamente Após o Fechamento de uma Chave e Muito Tempo Depois A Fig 3018a mostra um circuito que contém três resistores iguais de resistência R 90 Ω dois indutores iguais de indutância L 20 mH e uma fonte ideal de força eletromotriz Ɛ 18 V a Qual é a corrente i que atravessa a fonte no instante em que a chave é fechada IDEIACHAVE No momento em que a chave é fechada os indutores se opõem à variação da corrente que os atravessa Cálculos Como antes de a chave ser fechada a corrente nos indutores é zero a corrente continua a ser zero logo depois Assim logo depois que a chave é fechada os indutores se comportam como fios interrompidos como mostra a Fig 3018b Temos portanto um circuito de uma malha no qual de acordo com a regra das malhas Ɛ iR 0 Substituindo os valores dados obtemos i ƐR 18 V90 Ω 20 A Inicialmente o indutor se comporta como um fio interrompido Muito mais tarde o indutor se comporta como um fio comum b Qual é a corrente i que atravessa a fonte depois que a chave permanece fechada por um longo tempo IDEIACHAVE Quando a chave permanece fechada por um longo tempo as correntes no circuito atingem os valores finais e os indutores passam a se comportar como simples fios de ligação como mostra a Fig 3018c Cálculos Agora temos um circuito com três resistores iguais em paralelo de acordo com a Eq 2723 a resistência equivalente é Req R3 90 Ω3 30 Ω Aplicando a regra das malhas ao circuito equivalente da Fig 3018d obtemos a equação Ɛ iReq 0 donde i ƐReq 18 V30 Ω 60 A Exemplo Circuito RL Durante uma Transição Um solenóide tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 037 Ω Se o solenóide é ligado a uma bateria quanto tempo a corrente leva para atingir metade do valor final Tratase de um solenóide real já que estamos levando em conta a resistência interna IDEIACHAVE Podemos separar mentalmente o solenóide em uma resistência e uma indutância que estão ligadas em série a uma bateria como na Fig 3016 Nesse caso a aplicação da regra das malhas leva à Eq 3039 cuja solução é a Eq 3041 Cálculos De acordo com a Eq 3041 a corrente i aumenta exponencialmente de zero até o valor final ƐR Seja t₀ o tempo que a corrente i leva para atingir metade do valor final Nesse caso a Eq 3041 nos dá 12 ƐR ƐR 1 et₀τL Para determinar t₀ dividimos ambos os membros por ƐR explicitamos a exponencial e tomamos o logaritmo natural de ambos os membros O resultado é o seguinte i ƐR 1 etτL aumento da corrente t₀ τL ln 2 LR ln 2 53 103 H037 Ω ln 2 010 s durante um tempo dt através de V é preciso fornecer uma energia o que corresponde a uma potência energia por unidade de tempo Para transportar uma carga dq através de uma diferença de potencial V é preciso fornecerlhe uma energia dqV Logo para manter uma corrente I dqdt Energia armazenada no campo magnético Num circuito a força eletromotriz E induzida por um campo magnético variável tende a se opor à variação do fluxo E V dΦBdt Logo a potência necessária para se manter a corrente I pode ser escrita como P EI dΦBdt I dLIdt I LI dIdt Energia armazenada no campo magnético Ignorando perda de energia por efeito Joule resistência desprezível a energia total que precisa ser fornecida para fazer passar a corrente no circuito do valor I 0 para t 0 ao valor final I num tempo t é UB ₀ᵗ Pdt ₀ᵗ LI dIdt dt L ₀ᴵ IdI ½ LI² neste caso UB representa a energia armazenada no circuito de indutância L que é atravessado por uma corrente I Densidade de energia do campo magnético É a energia armazenada por unidade de volume em um ponto qualquer do campo magnético Para um solenóide muito longo de comprimento l e área de seção A com n espiras por unidade de comprimento vimos que a indutância L μ₀n²lA de forma que quando percorrido por uma corrente I a energia armazenada no solenóide é UB ½ LI² ½ μ₀nI² lA 12μ₀ μ₀nI² lA Como o campo magnético está confinado dentro do solenóide podemos interpretar este resultado dizendo que a energia está contida no campo magnético com densidade de energia magnética Esta equação fornece a densidade de energia armazenada em qualquer ponto onde o campo magnético seja B Apesar de termos deduzido considerando o caso especial de um solenóide a eq é valida para todos os campos magnéticos não importando como eles sejam gerados A equação é comparável a densidade de energia no vácuo em qualquer ponto de um campo elétrico Tanto uB como uE são proporcionais ao quadrado da intensidade do campo apropriado B ou E 2 2 0 1 E uE Exemplo Energia Armazenada em um Campo Magnético Uma bobina tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 035 Ω a Se uma força eletromotriz de 12 V é aplicada à bobina qual é a energia armazenada no campo magnético quando a corrente atinge o valor final IDEIACHAVE De acordo com a Eq 3049 𝑈𝐵 12 𝐿𝑖2 a energia armazenada no campo magnético da bobina em qualquer instante é função da corrente que atravessa a bobina nesse instante Cálculos Para determinar a energia final 𝑈𝐵 precisamos conhecer a corrente final De acordo com a Eq 3041 essa corrente é dada por 𝑖 ℰR 12 V035 Ω 343 A 3051 Assim temos 𝑈𝐵 12𝐿𝑖2 1253 103 H343 A2 31 J Resposta b Após quantas constantes de tempo metade da energia final está armazenada no campo magnético Cálculos Agora estamos interessados em saber em que instante de tempo 𝑡 a relação 𝑈𝐵 12 𝑈𝐵 é satisfeita Usando duas vezes a Eq 3049 podemos escrever essa equação na forma 12 𝐿𝑖2 1212 𝐿𝑖2 𝑖 12 𝑖 De acordo com a Eq 3052 se uma corrente aumenta a partir de 0 para um valor final 𝑖 metade da energia final está armazenada no campo magnético quando a corrente é igual a 𝑖2 Além disso sabemos que 𝑖 é dada pela Eq 3041 e 𝑖 veja a Eq 3051 é igual a ℰR assim a Eq 3052 se torna ℰR 1 e𝑡τ𝐿 ℰ2𝑅 Dividindo ambos os membros por ℰ𝑅 e reagrupando os termos podemos escrever essa equação na forma e𝑡τ𝐿 1 12 0293 o que nos dá 𝑡τ𝐿 ln 0293 123 ou 𝑡 12τ𝐿 Resposta Assim a energia armazenada no campo magnético da bobina atinge metade do valor final 12 constante de tempo após a força eletromotriz ser aplicada 3012 Indução Mútua Figura 3019 Indução mútua a O campo magnético 𝐵1 produzido pela corrente 𝑖1 na bobina 1 atravessa as espiras da bobina 2 Quando se faz variar a corrente 𝑖1 fazendo variar a resistência 𝑅 uma força eletromotriz é induzida na bobina 2 e o amperímetro ligado à bobina 2 revela a passagem de uma corrente b O mesmo sistema com os papéis das bobinas 1 e 2 invertidos A indutância mútua 𝑀21 da bobina 2 em relação à bobina 1 é definida pela relação 𝑀21 𝑁2Φ21𝑖1 e nesse caso 𝑀21 d𝑖1d𝑡𝑁2 dΦ21dt De acordo com a lei de Faraday o lado direito dessa equação é igual em valor absoluto à força eletromotriz 𝓔2 que aparece na bobina 2 devido à variação da corrente na bobina 1 Assim com um sinal negativo para indicar a polaridade de 𝓔2 temos 𝓔2 𝑀21 d𝑖1dt Analogamente 𝓔1𝑀12 d𝑖2dt 𝑀21 𝑀12𝑀 Indutância mútua Fluxos conectados variação de fluxo da bobina 1 produz uma fem na bobina 2 e viceversa Indução mútua 𝐿21 𝑀21 𝑀21 𝑁2 φ21 𝑖1 𝑀21 𝑖1 𝑁2 φ21 ou 𝑁2 dφ21dt 𝑀21 d𝑖1dt A fem induzida na bobina 2 ε2 𝑀21 d𝑖1dt A fem induzida na bobina 1 ε1 𝑀12 d𝑖2dt Podese provar que M12 M21 M A indução é de fato mútua ε1 M di2dt ε2 M di1dt Exemplo Indução Mútua de Duas Bobinas Paralelas A Fig 3020 mostra duas bobinas circulares compactas coplanares coaxiais a menor de raio R2 e N2 espiras e a maior de raio R1 e N1 espiras a Escreva a expressão da indutância mútua M para este arranjo de bobinas supondo que R1 R2 Figura 3020 Uma pequena bobina no centro de uma bobina maior A indutância mútua das bobinas pode ser determinada fazendo passar uma corrente i1 na bobina maior M N2 Φ21i1 3066 De acordo com a Eq 302 o fluxo Φ21 através de cada espira da bobina menor é dado por Φ21 B1 A2 em que B1 é o módulo do campo magnético no interior da bobina menor devido à corrente na bobina maior e A2 πR22 é a área de uma espira Assim o enlace de fluxo na bobina menor que possui N2 espiras é dado por N2 Φ21 N2 B1 A2 3067 Para determinar o campo B1 no interior da bobina menor podemos usar a Eq 2926 Bz μ0 i R22R2 z232 onde podemos fazer z 0 porque a bobina menor está no mesmo plano que a bobina maior De acordo com essa equação cada espira da bobina maior produz um campo magnético de módulo μ0 i1 2 R1 no interior da bobina menor Assim a bobina maior que possui N1 espiras produz um campo magnético total de módulo B1 N1 μ0 i1 2 R1 3068 no interior da bobina menor Substituindo os valores de B1 dados pela Eq 3068 e A2 πR22 na Eq 3067 temos N2 Φ21 πμ0 N1 N2 R22 i1 2R1 Substituindo este resultado na Eq 3066 obtemos M N2 Φ21 i1 πμ0 N1 N2 R22 2R1 Resposta 3069 Exemplo Indução Mútua de Duas Bobinas Paralelas continuação b Qual é o valor de M para N1 N2 1200 espiras R2 11 cm e R1 15 cm Cálculos De acordo com a Eq 3069 temos M π4π 107 Hm120012000011 m2 2015 m 229 103 H 23 mH Resposta Suponha que os papéis das duas bobinas sejam invertidos ou seja que partimos de uma corrente i2 na bobina menor e tentamos determinar o valor de M usando a Eq 3057 na forma M N1 Φ12 i2 Não é fácil calcular Φ12 o fluxo do campo produzido pela bobina menor através da bobina maior já que como dissemos nesse caso não podemos supor que o campo é uniforme Entretanto se executarmos o cálculo em um computador encontraremos o mesmo valor M 23 mH Este fato serve para ilustrar a ideia de que a Eq 3063 M21 M12 M embora não seja óbvia é verdadeira