Slide Introdução à Mecânica dos Fluidos-2022 2

IPH 01-107 Mecânica Fluidos e Hidráulica Aula 1 Introdução à Mecânica dos Fluidos Profa Débora Koller 17/11/22 • Suprimento de água – uso doméstico e irrigação de plantações – sucesso das civilizações na pré-história; Mecânica dos Fluidos – breve histórico • Aquedutos romanos; https://www.anascreccatravel.com/bergama-kozak-pergamon-turkey-antique-city/ Segovia, Spain https://www.discovermagazine.com/planet-earth/aqueducts-how- ancient-rome-brought-water-to-its-people Um aqueduto romano que ia das Lagoas de Salomão para Jerusalém • Suprimento de água – uso doméstico e irrigação de plantações – sucesso das civilizações na pré-história; Mecânica dos Fluidos – breve histórico http://www.romanaqueducts.info/webteksten/waterinantiquity.htm • Aquedutos romanos; • Cidade helenística de Pergamon, atual Turquia – entre 283 e 133 a.C. – tubulações pressurizadas, com até 45km de comprimento e pressão maior que 1,7MPa (180 m de carga). Mecânica dos Fluidos – breve histórico • Suprimento de água – uso doméstico e irrigação de plantações – sucesso das civilizações na pré-história; • Aquedutos romanos; • Cidade helenística de Pergamon, atual Turquia – entre 283 e 133 a.C. – tubulações pressurizadas, com até 45km de comprimento e pressão maior que 1,7MPa (180 m de carga). • Matemático grego Arquimedes (285 – 212 a.C.) – empuxo, teste para avaliar o teor de ouro da coroa do Rei Hiero I. Mecânica dos Fluidos – breve histórico • Suprimento de água – uso doméstico e irrigação de plantações – sucesso das civilizações na pré-história; • Aquedutos romanos; • Cidade helenística de Pergamon, atual Turquia – entre 283 e 133 a.C. – tubulações pressurizadas, com até 45km de comprimento e pressão maior que 1,7MPa (180 m de carga). • Matemático grego Arquimedes (285 – 212 a.C.) – Parafuso de Arquimedes. • Idade Média – desenvolvimento de maquinaria hidráulica – bombas a pistão para remover água das minas; moinhos movidos a água e a vento para moer grãos, forjar metais e outras tarefas. Mecânica dos Fluidos – breve histórico https://www.1001inventions.com/devices/ Orontes River, Syria https://www.1001inventions.com/devices/ Da Vinci ainda compara o movimento da água com o dos cachos de cabelo, que segundo ele, teriam dois movimentos: “um depende do peso do cabelo e o outro, da direção do cacheado; assim, a água forma pequenas ondas rotatórias, uma parte seguindo o ímpeto da corrente principal e a outra seguindo o movimento incidental e o fluxo de retorno.” • Renascimento – desenvolvimento contínuo dos sistemas e máquinas de fluido; Mecânica dos Fluidos – breve histórico • Idade Média – desenvolvimento de maquinaria hidráulica – bombas a pistão para remover água das minas; moinhos movidos a àgua e a vento para moer grãos, forjar metais e outras tarefas. https://www.tecmundo.com.br/ciencia/140890-leonardo-vinci-500- anos-9-melhores-invencoes-genio-renascentista.htm • Renascimento – desenvolvimento contínuo dos sistemas e máquinas de fluido; Mecânica dos Fluidos – breve histórico • Idade Média – desenvolvimento de maquinaria hidráulica – bombas a pistão para remover água das minas; moinhos movidos a àgua e a vento para moer grãos, forjar metais e outras tarefas. 1º helicóptero 1º para quedas https://www.tecmundo.com.br/ciencia/140890-leonardo-vinci-500- anos-9-melhores-invencoes-genio-renascentista.htm Máquina voadora • Renascimento – desenvolvimento contínuo dos sistemas e máquinas de fluido; • Desenvolvimento do método científico: Stevin (1548-1617), Galileo Galilei (1564- 1642), Mariotte (1620-1684), Torricelli (1608-1647), Pascal (1623-1662) – distribuições de pressão hidrostática e vácuo; Mecânica dos Fluidos – breve histórico • Idade Média – desenvolvimento de maquinaria hidráulica – bombas a pistão para remover água das minas; moinhos movidos a àgua e a vento para moer grãos, forjar metais e outras tarefas. https://www.amazon.com.br/Evangelista-Torricelli-1608-1647- Matem%C3%A1tico-Inventando/dp/B07CG71JPD https://www.gettyimages.com.br/fotos/telesco pio-de-galileo Mecânica dos Fluidos – breve histórico Isaac Newton (1643-1727) – inércia e resistência dos fluidos, jatos livres, viscosidade; Bernoulli (1700-1782) e Euler (1707-1783) – equações de energia e momento; Prandtl (1904): teoria da camada limite Kolmogoroff, von Karman, Taylor... (Turbulência) Stokes (1819-1903) continuou o trabalho de Navier e desenvolveu as equações gerais do movimento dos fluidos que levam seus nomes; Mecânica dos fluidos é a parte da mecânica aplicada que se dedica à análise do comportamento dos líquidos e gases tanto em equilíbrio quanto em movimento. • Analítica • Experimental • Computacional Mecânica dos fluidos Combinação de teoria e experiência O que é a Mecânica dos Fluidos? Método Analítico: • formulação de modelos matemáticos para descrever os problemas Abordagens em mecânica dos fluidos Método analítico Soluções baseadas em fórmulas matemáticas • soluções exatas apenas para condições e geometrias simplificadas. Condições de contorno 𝐮(𝐲) = 𝑽 𝐲 𝐡 Campo de pressão 𝒑 = −𝝆𝒈𝒛 + 𝒑𝟎 Campo de velocidade Método Empírico: Problemas práticos: uso de relações empíricas – Mecânica dos Fluidos Experimental Abordagens em mecânica dos fluidos Método analítico Método Empírico Método Analítico: • formulação de modelos matemáticos para descrever os problemas Soluções baseadas em fórmulas matemáticas • soluções exatas apenas para condições e geometrias simplificadas. Condições de contorno - up to 50m3 of concrete to mould a seabed in one of our basins - over 4 tonnes of rock to construct a 20 m model breakwater (at a scale of 1:60) Estudo da expansão do porto de Aberdeen Fluxo Depósito Modelagem física de correntes de densidade Túnel de vento Modelagem física do regime de ventos Método Empírico: Problemas práticos: uso de relações empíricas – Mecânica dos Fluidos Experimental Método Computacional: Abordagens em mecânica dos fluidos Método analítico Método computacional Método Empírico Método Analítico: • formulação de modelos matemáticos para descrever os problemas • soluções exatas apenas para condições e geometrias simplificadas. Trabalho de conclusão de curso Engenharia ambiental “ESTUDO DA DISPERSÃO DE MANCHAS DE ÓLEO NO RIO GUAÍBA NA REGIÃO DO PORTO DE PORTO ALEGRE/RS “ Raquel Lopes Belolli Método Empírico: Problemas práticos: uso de relações empíricas – Mecânica dos Fluidos Experimental Abordagens em mecânica dos fluidos Método analítico Método computacional Método Empírico Método Analítico: • formulação de modelos matemáticos para descrever os problemas • soluções exatas apenas para condições e geometrias simplificadas. https://www.youtube.com/watch?v=c8zKWaxohng Simulação numérica DNS (Direct Numerical Simulation) de um fluido turbulento (Re ~ 22.000) ao redor de um cilindro de seção quadrada. Método Computacional: Método Empírico: Problemas práticos: uso de relações empíricas – Mecânica dos Fluidos Experimental Abordagens em mecânica dos fluidos Método analítico Método computacional Método Empírico Analítica: • formulação de modelos matemáticos para descrever os problemas • soluções exatas apenas para condições e geometrias simplificadas. Simulação numérica de instabilidades Kelvin-Helmholtz https://www.youtube.com/watch?v=cTRQP6DSaqA https://weather.com/news/weather/news/2019-06-20-kelvin- helmholtz-wave-clouds-virginia Método Computacional: Redes de distribuição de fluidos - água, combustíveis (gás natural, gases de petróleo liquefeito, petróleo), de vapor de água (em fábricas); Algumas aplicações típicas da Mecânica dos Fluidos na Engenharia http://technobras.com/projeto-de-tubulacoes-industriais-parte-1-iniciacao/ Ventilação em edifícios urbanos e industriais, túneis e outras infra-estruturas; http://www.diferencialjr.ufc.br/?rx_aeolus=servicos-termicos-ventilacao-industrial Algumas aplicações típicas da Mecânica dos Fluidos na Engenharia Máquinas de conversão de energia (turbinas hidráulicas, turbinas eólicas, turbinas a vapor e gás, compressores, ventiladores e bombas hidráulicas); https://exame.com/tecnologia/empresa-carioca-desenvolve-novo-modelo-de-turbina-eolica/ https://www.mecanicaindustrial.com.br/turbinas-hidraulicas-turbinas-francis/ Algumas aplicações típicas da Mecânica dos Fluidos na Engenharia Transporte de veículos (resistência ao avanço, sustentação de aeronaves, propulsão de aeronaves de navios, segurança aerodinâmica e conforto - controle de ruído e circulação de ar no interior de veículos); Túnel de Vento Instituto de Aeronáutica - SP https://www.youtube.com/watch?v=bnHL3paz7GE https://estradao.estadao.com.br/caminhoes/flowbelow-economiza-combustivel/ Transferência de calor e massa em equipamentos térmicos (caldeiras, trocadores de calor, fornalhas, queimadores, motores de combustão interna); Algumas aplicações típicas da Mecânica dos Fluidos na Engenharia https://www.alfalaval.com.br/produtos/transferencia-de-calor/caldeiras-industriais-no-brasil/ Caldeira industrial Fornalha industrial https://www.rcamaquinas.ind.br/fornalha-industrial Algumas aplicações típicas da Mecânica dos Fluidos na Engenharia Vibrações e esforços de origem aerodinâmica/hidrodinâmica em estruturas; (edifícios, chaminés, estádios, aeroportos). https://agenciabrasil.ebc.com.br/foto/2020-12/ponte-do-guaiba-porto-alegre-1607623587 https://link.springer.com/article/10.1007/s11831-018-09304-w Algumas aplicações típicas da Mecânica dos Fluidos na Engenharia Estudos de qualidade de água e de qualidade de ar (poluição atmosférica) https://brasilescola.uol.com.br/biologia/poluicao.htm https://revistagalileu.globo.com/Um-So-Planeta/noticia/2021/04/rio-doce-esta-se-recuperando-apos-rompimento- de-barragem-em-mariana.html Rio Doce – Rompimento barragem Mariana • Dimensões e unidades, homogeneidade dimensional Próxima aula • Quantificação das propriedades: equipamentos e técnicas • Definições: fluido, hipótese do contínuo,... • Propriedades dos fluidos: massa específica (r), peso específico (g), densidade, compressibilidade.... • Definições Viscosidade cinemática () Coesão e Adesão Capilaridade Tensão superficial () Pressão de vapor e cavitação Gases ideais Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Instituto de Pesquisas Hidráulicas Departamento: Hidromecânica e Hidrologia IPH 01-107 Mecânica Fluidos e Hidráulica Capítulo 1. Conceitos fundamentais e Propriedades dos fluidos (Aula 2) Profª Débora Koller 22/11/22 Área 1 Cap. 1 - Conceitos Fundamentais e Propriedades dos fluidos Cap. 2 – Estática dos fluidos Cap. 3 – Cinemática dos fluidos Cap. 1 - Conceitos Fundamentais e Propriedades dos fluidos • Dimensões e sistemas de unidades associados a grandezas de interesse; • Homogeneidade dimensional; • O que caracteriza um fluido; • Principais propriedades dos fluidos Massa específica (ρ) Peso específico (γ) Densidade (d) Viscosidade (μ e v) e equipamentos Coesão e adesão Tensão Superficial Capilaridade Pressão de vapor e Cavitação Gases Perfeitos Dimensões e unidades dimensão Medida de quantidade física Dimensões Primárias FLT MLT unidade Atribuição de um número à dimensão básicas ou fundamentais diâmetro Comprimento cm, m, km, pés, polegadas ... Todas as dimensões não primárias podem ser formadas por alguma combinação das sete dimensões primárias O que é uma dimensão não primária? Ex.: Área e Velocidade Dimensões primárias e suas unidades no S.I. e S.Inglês Todas as dimensões não primárias podem ser formadas por alguma combinação das sete dimensões primárias MLT Dimensão | Símbolo | Unidades SI | Unidade S. inglês / BG Massa* | M | kg (kilograma) | slug Comprimento* | L | m (metro) | pé Tempo* | T | s (segundo) | s (segundo) Temperatura | T | K (kelvin) | R (rankine) Corrente elétrica | I | A (ampére) | A (ampére) Quantidade de luz | C | cd (candela) | cd (candela) Quantidade de matéria | N | mol (mol) | mol (mol) * Grandezas primárias utilizadas na disciplina Conversão entre MLT e FLT Dimensão Grandeza | Unidade (SI) | FLT | MLT Força (F) | Newton | F | M L T⁻² Massa específica (ρ) | kg m⁻³ | F T² L⁻⁴ | M L⁻³ Aceleração da grav. (g) | m s⁻² | L T⁻² | L T⁻² Força = [F] F = massa . aceleração [F] = [ M L T⁻² ] = [MLT⁻²] M = [F T² L⁻¹] Grandeza | Unidade (SI) | FLT | MLT Pressão (p) | N m⁻² | F L⁻² | M L⁻¹ T⁻² Pa = kg / m.s² Algumas dimensões secundárias Dimensão secundária | Unidade no SI | Unidade no BG | Fator de conversão Área {L^2} | m^2 | ft^2 | 1 m^2 = 10,764 ft^2 Volume {L^3} | m^3 | ft^3 | 1 m^3 = 35,315 ft^3 Velocidade {LT^-1} | m/s | ft/s | 1 ft/s = 0,3048 m/s Aceleração {LT^-2} | m/s^2 | ft/s^2 | 1 ft/s^2 = 0,3048 m/s^2 Pressão ou tensão {ML^-1T^-2} | Pa = N/m^2 | lbf/ft^2 | 1 lbf/ft^2 = 47,88 Pa Velocidade angular {T^-1} | s^-1 | s^-1 | 1 s^-1 = 1 s^-1 Energia, calor, trabalho {ML^2T^-2} | J = N · m | ft · lbf | 1 ft · lbf = 1,3558 J Potência {ML^2T^-3} | W = J/s | ft · lbf/s | 1 ft · lbf/s = 1,3558 W Massa específica {ML^-3} | kg/m^3 | slugs/ft^3 | 1 slug/ft^3 = 515,4 kg/m^3 Viscosidade {ML^-1T^-1} | kg/(m · s) | slugs/(ft · s) | 1 slug/(ft · s) = 47,88 kg/(m · s) Calor específico {L^2T^-2 Θ^-1} | m^2/(s^2 · K) | ft^2/(s^2 · °R) | 1 m^2/(s^2 · K) = 5,980 ft^2/(s^2 · °R) Fonte: White (2010) Conversão de unidades Unidades • Comprimento 1 ft (pé) = 12 in (pol) = 0,305 m 1 in (pol) = 0,0254 m 1 milha = 5280 pés = 1610,4 m = 1,604 km • Massa 1 slug = 14,6 kg = 32,2 lbm (libra-massa) 1 lbm = 0,454 kg 1 UTM = 9,81 kg • Força 1 kgf = 9,80665 N 1 lb = 0,4536 kgf = 4,448 N 1 dyn (CGS) = 10^-5 N • Energia, Trabalho e Calor 1 cal = 4,1868 J 1 kcal = 4168,8 J = 1,163 Wh = 3,968 Btu 1 kWh = 3,6 x 10^6 J 1 Btu = 1054,46 J = 0,252 kcal 1 Btu = 777,25 lb.ft • Pressão 1 bar = 10^5 N/m^2 • Potência 1 hp = 550 lb.pé/s = 0,746 kW = 746 W 1 cv = 75 kgf.m/s • Temperaturas t (°C) = t (K) – 273,15 t (°C) = 0,56 t (°F) – 17,78 t (°F) = 0,56 t (°R) – 459,67 1 K = 1,8 °R Potências de 10 ✓ 10^18 = exa (E) ✓ 10^-1 = deci (d) ✓ 10^15 = peta (P) ✓ 10^-2 = centi (c) ✓ 10^12 = tera (T) ✓ 10^-3 = mili (m) ✓ 10^9 = giga (G) ✓ 10^-6 = micro (μ) ✓ 10^6 = mega (M) ✓ 10^-9 = nano (n) ✓ 10^3 = quilo (k) ✓ 10^-12 = pico (p) ✓ 10^2 = hecto (h) ✓ 10^-15 = femto (f) ✓ 10 = deca (da) ✓ 10^-18 = atto (a) Dimensões primárias e suas unidades no S.I., inglês, CGS e técnico Dimensão | Símbolo | S. I. | S. Inglês ou BG | CGS | Técnico Massa | [M] | kg | slug | g | UTM Comprimento | [L] | m | pé | cm | m Tempo | [t] | s | s | s | s Força | [F] | N | lb | dina | kgf Homogeneidade dimensional – Aplicação 1 Todas as equações teóricas são dimensionalmente homogêneas Homogênea geral Homogênea restrita Homogeneidade dimensional – Aplicação 1 Todas as equações teóricas são dimensionalmente homogêneas Homogênea geral Homogênea restrita Q = 0,61. A. \sqrt{2 . g . h} [L^3.T^-1]=[x].[L^2].[L.T^-2.L]^{1/2} [L^3.T^-1]=[x].[L^3T^-1] [x] = 1 → 0,61 não tem dimensão Para S.I., g= 9,81 m/s² Q = 0,61.A.(2.9,81.h)^{1/2} Q = 2,70. A. \sqrt{h} [L^3.T^-1]=[x].[L^2].[L]^{1/2} [x] = [L^{1/2} . t^-1] → 2,70 m^{1/2}/s Homogeneidade dimensional – Aplicação 2 O perfil de equilíbrio de uma praia com areia com granulometria média de 0,2 mm é dado aproximadamente pela equação: h = 0,15 x^{2/3} h, x = dimensões em ft 0,15 [=] fT^{1/3} Como fica a equação no SI? 0,15 f t^{1/3} \left[\frac{0,3048 m}{1 ft}\right]^{1/3} = 0,1 m^{1/3} h = 0,10 x^{2/3} h, x = dimensões em m Definições Fluido • Definição mais elementar: Fluido é uma substância que não tem forma própria, assume o formato do recipiente. Sólido Superfície livre Líquido Gás Fluidos ✓ Espaçamento entre moléculas ✓ Forças intermoleculares Definições Sólidos – quando submetidos a ação de uma tensão de cisalhamento, sofrem uma deformação reversível até que o seu limite de elasticidade seja alcançado. A partir deste limite, o sólido não mais retorna ao formato anterior. FluidFe = c.teos – deformação continua; escoam para qualquer tensão de cisalhamento a que sejam submetidos. F_t = c.te F_t = c.te Hipótese do contínuo HIPÓTESE DO CONTÍNUO Despreza espaçamento e atividade intermolecular do fluido; PARTÍCULA FLUÍDA É uma quantidade de fluido contida num volume infinitesimal com as mesmas propriedades do fluido. Ao se considerar o fluido como meio contínuo, ele pode ser dividido infinitas vezes em partículas fluídas entre as quais se supõe não haver vazios. Hipótese do contínuo NÃO se aplica quando o caminho livre molecular seja de ordem de grandeza da menor dimensão. Exemplo: Cubo de aresta 10⁻³mm → Volume = 10⁻⁹mm³ • gás: condições normais – 2,687.10⁷ moléculas – VÁLIDA HIPÓTESE CONTÍNUO • gás rarefeito – 6 moléculas - NÃO É VÁLIDA HIPÓTESE CONTÍNUO Propriedade dos fluidos • Propriedades: Característica de uma substância que se mantém invariante para um dado estado. • Qualquer característica de um sistema (de uma substância) pode ser chamada de propriedade. Propriedades { Extensivas - dependem da massa do corpo Ex.: peso, energia, etc. Intensivas - não dependem da massa do corpo Ex.: viscosidade, densidade, pᵥ, etc. Propriedade dos fluidos • ρ: massa específica • γ: peso específico • d = ρ/ρₒ: densidade relativa • C: compressibilidade • E: módulo de elasticidade volumétrico (E = 1/C) • pᵥ: pressão de vapor • σ: tensão superficial • μ: viscosidade (absoluta, molecular, dinâmica) • ν = μ/ρ: viscosidade cinemática Massa específica (ρ) quantidade de matéria contida em uma unidade de volume. ρ = \frac{massa}{volume} [\rho] = \frac{M}{L^3} \rightarrow (SI) \rightarrow \frac{kg}{m^3} ρ varia com: Temperatura → pouca influência Pressão → pouca influência - incompressível Sal → influente Sedimentos → muito influente Massa específica da água em função da temperatura. Fonte: White Temperatura °C | Massa específica ρ (kg/m³) 0 | 999,9 4 | 1000,0 10 | 999,7 15 | 999,1 20 | 998,0 25 | 997,0 30 | 995,0 50 | 988,1 100 | 958,4 ρ, kg/m³ Temperatura, °C Massa específica (ρ) quantidade de matéria contida em uma unidade de volume. ρ = \frac{massa}{volume} [\rho] = \frac{M}{L^3} \rightarrow (SI) \rightarrow \frac{kg}{m^3} ρ varia com: Temperatura → pouca influência Pressão → pouca influência - incompressível Sal → influente Sedimentos → muito influente Fonte: Termodinâmica - Van Wylen, Borgnakke, Sonntag Massa específica [kg/m³] Gases: sob vácuo -> atm (Ar) Sólidos: Tecido de algodão -> Ag Au Líquidos: Propano Água Hg Massa específica (ρ) ρ = \frac{massa}{volume} = \frac{kg}{m^3} Variação com a SALINIDADE: Água marinha, estuários, alguns processos industriais Temperatura °C | Salinidade 30‰ | 35‰ | 40‰ kg/m³ | kg/m³ | kg/m³ 0 | 1024,11 | 1028,13 | 1032,17 5 | 1023,75 | 1027,70 | 1031,67 10 | 1023,08 | 1026,97 | 1030,87 15 | 1022,15 | 1025,99 | 1029,85 20 | 1020,99 | 1024,78 | 1028,60 25 | 1019,60 | 1023,37 | 1027,15 30 | 1018,01 | 1021,75 | 1025,51 Termodinâmica - Van Wylen, Borgnakke, Sonntag Massa específica (ρ) ϱ = \frac{massa}{volume} = \frac{kg}{m^3} Variação com a PRESENÇA DE SEDIMENTOS: Rios, Lagos, Açudes, Esgotos, Pluvial, Processos Industriais. Mistura – concentração de partículas ρ_m = \frac{ρ_{água}⋅ρ_{sed}}{ρ_{sed} - (ρ_{sed} - ρ_{água})⋅C_{sed}} onde ρ_m = massa específica da mistura (kg/m^3) ρ_{água} = massa específica da água (kg/m^3) ρ_{sed} = massa específica do sedimento (kg/m^3) C_{sed} = massa de sedimentos/massa da mistura (−) Peso específico (γ) γ = \frac{peso}{volume} \rightarrow força da gravidade agindo sobre a matéria contida em uma unidade de volume [γ] = \frac{F}{L^3} = \frac{M}{L^2T^2} \rightarrow (SI) \rightarrow \frac{N}{m^3} \rightarrow \frac{kg}{m^2⋅s^2} γ = ρ⋅\bar{g} função de g (gravidade local) \rightarrow função da altitude e latitude g = g_0 (1 - 000265cos2Φ)\left(\frac{R}{R + Z}\right)^2 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Temperatura (°C) & Massa específica - ρ - (kg/m^3) & Peso Específico - γ - (N/m^3) & Ar \\ \hline 0 & 999,87 & 9798,73 & 1,29 \\ 2 & 999,97 & 9799,71 & 1,29 \\ 4 & 1000,0 & 9800,0 & \\ 5 & 999,99 & 9799,90 & 1,27 \\ 10 & 999,73 & 9797,35 & 1,25 \\ 20 & 998,23 & 9782,65 & 1,23 \\ 30 & 995,67 & 9757,57 & 1,17 \\ 40 & 992,24 & 9723,91 & 1,15 \\ 50 & 988,1 & 9683,38 & 1,09 \\ 60 & 983,2 & 9635,36 & 1,06 \\ 80 & 971,8 & 9523,64 & 1,00 \\ 100 & 958,4 & 9392,32 & 0,947 \\ \hline \end{tabular} g_0 = aceleração da gravidade azero metros (≈9,80665 m/s^3) R = raio terrestre médio (≈6,37×10^6 m) Z = altitude em metros Φ = latitude em graus Densidade ou densidade relativa (d) relação entre massa ou peso específico de uma substância e a massa ou peso específico de um padrão d = \frac{ρ_{fluido}}{ρ_{ref}} = \frac{γ_{fluido}}{γ_{ref}} [-] → A densidade pode ser definida pela relação de pesos específicos, pois: (o padrão é, normalmente, água a 4 °C e 1 atm: ρ_{ref} = 1000 kg/m^3 ) d = \frac{ρ_{fluido}⋅g_{local}}{ρ_{ref}⋅g_{local}} = \frac{γ_{fluido}}{γ_{ref}} → A tradução para o português da palavra inglesa density não é densidade. → Densidade é um adimensional [-] Massa específica (ρ)= density Densidade (d)= specific gravity Módulo de elasticidade (E) e coef. de Compressibilidade (C) • Módulo de elasticidade volumétrico E = -\frac{\Delta p}{Vol_{f} - Vol_{i}} = \frac{\Delta p}{Vol_{i}} = \frac{\Delta p}{\rho} \quad [FL^{-2}] = Pa • Coeficiente de compressibilidade C = \frac{1}{E} Para a maioria das situações pode-se considerar os líquidos incompressíveis. Viscosidade Viscosidade dinâmica (µ) Viscosidade cinemática (ν) ν = \frac{\mu}{\rho} Viscosidade https://www.youtube.com/watch?v=f6spBkVeQ4w Viscosidade dinâmica (μ) - 2 placas grandes paralelas entre si; - Placa inferior fixa; - Placa superior móvel - Fluido entre as duas placas; - Aplicação de força F na placa superior Viscosidade dinâmica (μ) - 2 placas grandes paralelas entre si; - Placa inferior fixa; - Placa superior móvel - Fluido entre as duas placas; - Aplicação de força F na placa superior Para qualquer perfil de velocidades: Dimensão μ: [FL⁻²T] = [ML⁻¹T⁻¹] Viscosidade e classificação dos fluidos • Fluido ideal ou perfeito: fluido não-viscoso (μ = 0) e fluido incompressível • Fluido Newtoniano: μ = constante – não varia com a força aplicada Plástico de Bingham – maionese, pasta de dente, suspensões de argila. Nao dilatantes / pseudoplásticos – a viscosidade dinâmica aparente diminui com o aumento da taxa de cisalhamento – ex: tinta látex no pincel –não pinga pq a taxa de cisalhamento é baixa e a viscosidade é alta. No entanto desliza suavemente na parede pq a taxa de cisalhamento aumenta e a viscosidade diminui. Dilatantes - ex: suspensões de amido ou água com areia. Areia (movediça) - esforço necessário para retirar um objeto da areia aumenta com o aumento da velocidade Viscosidade e classificação dos fluidos MUNDO BRASIL FÓRMULA 1 FUTEBOL PALAVRAS E AGORA DOUTOR? PLANETA TERRA MUNDO BRASIL VOCÊ NO FANTÁSTICO VALOR DO AMANHÃ MEIO FISSÃO REPORTER FÓRMULA 1 MUNDO BRASIL https://www.youtube.com/watch?v=GeczCWcsvWQ Viscosidade cinemática (v) A relação \( v = \frac{\mu}{\rho} \) define o coeficiente de viscosidade cinemático \( v \propto \mu \) \([v] = \left[ \frac{\mu}{\rho} \right] = \frac{L^2}{T} \rightarrow (SI) \rightarrow \frac{m^2}{s} \) Para água limpa pode ser utilizadas a seguinte equação \([v] = \frac{1,78x10^{-6}}{1 + 0,03370.\theta + 0,03370.\theta^2} \quad onde \; \theta = \text{temperatura da água em } ^\circ C\) \(v_{água(15^\circ C,1atm)} = 1,146x10^{-6} m^2/s \) IPH 01-107 Mecânica Fluidos e Hidráulica Capítulo 2. Estática dos fluidos Aula 5 - Forças, tensões e pressão Profa Débora Koller 01/12/22 Área 1 Cap. 1 - Conceitos Fundamentais e Propriedades dos fluidos Cap. 2 – Estática dos fluidos Cap. 3 – Cinemática dos fluidos • Forças, tensões e pressão. • Equação fundamental da estática. • Escalas de pressão. Unidades de pressão. • Medição de pressão. Manométrica. • Empuxo. Forças sobre superfícies planas. • Aplicações Cap. 2 – Estática dos fluidos  Avaliar forças exercidas por fluidos em repouso em superfícies . Aplicações do estudo da estática  Avaliar a variação de pressão em um fluido em repouso (pressão hidrostática). https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Pascal https://www.youtube.com/watch?v=uyN_mR5wD30 A estática dos fluidos envolve o estudo de problemas para os quais não há movimento relativo entre as partículas do fluido. O que é estudado em estática? Como não há movimento relativo entre as partículas individuais e, portanto, não há gradientes de velocidade  não há tensão de cisalhamento. Ou seja, a viscosidade não influencia em problemas de estática, podemos, portanto, obter facilmente soluções exatas para tais problemas. Definições Grandezas Campos para a caracterização de grandezas (ou quantidades) usuais em engenharia. Podem ser necessários diferentes números de especificações: → 1 especificação: grandeza escalar; → 3 especificações: grandeza vetorial; e → 9 especificações: grandeza tensorial. tratam de distribuições contínuas de grandezas descritas por funções do espaço e do tempo. campo escalar: distribuição de temperaturas de um corpo T(x,y,z,t) campo vetorial: velocidades campo tensorial: estado de tensões em um ponto de um corpo 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ou 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 Tensões na direção j em uma face normal ao eixo i 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑥 𝑦 𝑥 𝑧 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑧𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧𝑧 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + v 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 + w(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) Forças Superficiais ou de contato Mássicas ou de campo Ex.: Forças de Pressão Ex.: forças viscosas Tensões Normais Tangenciais 𝜎 = 𝐹𝑛 𝑑𝐴 𝜏 = 𝐹𝑡 𝑑𝐴  forças externas que agem sobre o material, sem contato físico  força de campo gravitacional= peso  forças exercidas sobre o contorno do material, através do contato direto com as vizinhanças   Forças, Tensões e pressões Normal à superfície Força atuando em uma área dA Tangente a superfície Tensões Normais Tangenciais Fluidos em repouso: 𝜎 = 𝐹𝑛 𝑑𝐴 𝜏 = 𝐹𝑡 𝑑𝐴 𝐹𝑡 = 0 → 𝜏 = 0 Apenas forças normais de compressão. dA 𝑭𝒏 Forças atuando na superfície de um elemento de fluido. Tensões e pressões Lei de Pascal “Num ponto de um fluido em repouso a pressão é a mesma em qualquer direção.” Um fluido em repouso não admite a existência de esforços tangenciais entre suas partículas. Consideremos um pequeno corpo em forma de cunha de largura unitário, no ponto (x,y) de um fluido em repouso. Forças de contato – pressão ෍ 𝐹𝑥 = 0 ෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑝𝑥. ∆𝑦 − 𝑝𝑠. ∆𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 ∆𝑦 Forças de campo – peso ps.s px.  y py.  x  𝜸. 𝜟𝒙. 𝜟𝒚 𝟐 𝒑𝒙 = 𝒑𝒔 𝑝𝑦. ∆𝑥 − 𝑝𝑠. ∆𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝛾. ∆𝑥. ∆𝑦 2 = 0 ∆𝑥 ∆𝑥 → 0 ∆𝑦 → 0 𝒑𝒚 = 𝒑𝒔  y y  x x  s 1 Precisamos considerar Pressão em um ponto Consideremos um pequeno corpo em forma de cunha de largura unitário, no ponto (x,y) de um fluido em repouso. Forças de contato – pressão ෍ 𝐹𝑥 = 0 ෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑝𝑥. ∆𝑦 − 𝑝𝑠. ∆𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 ∆𝑦 Forças de campo – peso ps.s px.  y py.  x  𝜸. 𝜟𝒙. 𝜟𝒚 𝟐 𝒑𝒙 = 𝒑𝒔 𝑝𝑦. ∆𝑥 − 𝑝𝑠. ∆𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝛾. ∆𝑥. ∆𝑦 2 = 0 ∆𝑥 ∆𝑥 → 0 ∆𝑦 → 0 𝒑𝒚 = 𝒑𝒔  y y  x x  s 1 Pressão em um ponto A pressão é uma função escalar que atua igualmente em todas as direções em estática dos fluidos. z x y dx dz dy ෍ Ԧ𝐹 = 0 ⇒ ෍ 𝐹𝑥 = 0 ෍ 𝐹𝑦 = 0 ෍ 𝐹𝑧 = 0 Forças de contato e de campo atuando em um elemento de fluido: W 𝑾 = 𝜸. 𝒅𝒙. 𝒅𝒚. 𝒅𝒛 Forças resultantes da pressão p 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐹𝑛 = 𝑝. 𝐴 𝑝 𝑝 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 Pressão sobre um elemento de fluido (Eq. Fundamental da Estática) 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 z x y dx dz dy W p 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 ෍ 𝑑𝐹 = 0 ⇒ ෍ 𝐹𝑥 = 0 ෍ 𝐹𝑦 = 0 ෍ 𝐹𝑧 = 0 Forças de contato e de campo atuando em um elemento de fluido: Forças resultantes da pressão 𝐹𝑛 = 𝑝. 𝐴 𝑝 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑾 = 𝜸. 𝒅𝒙. 𝒅𝒚. 𝒅𝒛 Pressão sobre um elemento de fluido (Eq. Fundamental da Estática) ෍ 𝒅𝑭𝒙 = 𝟎 z x y 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0 𝑝. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 −𝑝. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0 𝒅𝑭𝒙 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 dx dz dy p 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 Pressão não varia com x Pressão sobre um elemento de fluido 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 = 0 𝒅𝑭𝒚 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 dx dz dy p 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 ෍ 𝒅𝑭𝒚 = 𝟎 z x y Pressão não varia com y Pressão sobre um elemento de fluido 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝛾. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 𝒅𝑭𝒛 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 − 𝛾. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 dx dz dy p W 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑾 = 𝜸. 𝒅𝒙. 𝒅𝒚. 𝒅𝒛 z x y ෍ 𝒅𝑭𝒛 = 𝟎 Pressão varia com z Pressão sobre um elemento de fluido Resumindo: 𝑑𝐹𝑧 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 − 𝛾. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 ÷ 𝒅𝒗𝒐𝒍 = 𝒅𝒙. 𝒅𝒚. 𝒅𝒛 𝜕𝑝 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝑝 𝜕𝑦 = 0 𝜕𝑝 𝜕𝑧 = −𝛾 𝑝 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑝 = 𝑓(𝑧) Como p é função apenas de z: 𝑑𝑝 𝑑𝑧 = −𝛾 Equação fundamental da estática z x y 𝒅𝒑 = −𝜸𝒅𝒛 Equação fundamental do equilíbrio estático na forma diferencial. 𝑑𝐹𝑦 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 Pressão não varia com y 𝑑𝐹𝑥 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0 Pressão não varia com x → Válida para fluidos compressíveis e incompressíveis -Para  (ou ) variável – conhecer a lei de variação de (z) para integrar; 𝒅𝒑 = −𝜸𝒅𝒛 - Para  (ou ) constante – integração direta. Lembrando que: 𝛾 = 𝜌. 𝑔 Equação fundamental da estática (= cte) ( varia) Particularização da Equação fundamental da estática 𝑝2 − 𝑝1 = −𝛾 𝑧2 − 𝑧1 Para fluidos que possam ser considerados homogêneos e incompressíveis ( = constante). z x y 2 1 𝑝2 < 𝑝1 𝑑𝑝 = −𝛾𝑑𝑧 න 𝑝1 𝑝2 𝑑𝑝 = −𝛾 න 𝑧1 𝑧2 𝑑𝑧 → 𝑝2 − 𝑝1 = −𝛾 𝑧2 − 𝑧1 Para líquidos: z x y h Sendo:  = constante 𝑝2 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝛾. ℎ Para fluidos que possam ser considerados homogêneos e incompressíveis ( = constante). z x y 2 1 𝑝2 < 𝑝1 𝑑𝑝 = 𝛾 𝒅𝒉 න 𝑝1 𝑝2 𝑑𝑝 = −𝛾 න 𝑧1 𝑧2 𝑑𝑧 𝑝2 − 𝑝1 = 𝛾 ℎ2 − ℎ1 Lei de Stevin Particularização da Equação fundamental da estática 𝑑𝑝 = −𝛾𝑑𝑧 Lei de Stevin "A diferença entre as pressões em dois pontos considerados no seio de um líquido em equilíbrio (pressão no ponto mais profundo e a pressão no ponto menos profundo) vale o produto da massa especifica do líquido pelo módulo da aceleração da gravidade do local onde é feita a observação, pela diferença entre as profundidades consideradas." https://www.wikiwand.com/pt/Simon_Stevin 𝑝2 = 𝑝1 + 𝛾 ℎ Lei de Stevin 𝑝2 = 𝑝1 + 𝜌 𝑔 ℎ Simon Stevin (Bruges, c. 1548 – 1620) foi um engenheiro, físico e matemático 𝒅𝒑 = 𝜸𝒅𝒉 Equação fundamental do equilíbrio estático na forma diferencial. Equação fundamental da estática pa pb pc pd pA pB pC pD = = = = =  Profundidade 1 Profundidade 2 Superfície livre Pressão atmosférica Água Mercúrio Pressão – líquidos em repouso 𝒅𝒑 = 𝜸𝒅𝒉 A água de um lago localizado numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 10°C (água,10°C  9,8kN/m³) e a profundidade máxima do lago é igual a 40 m. Se a pressão atmosférica local é igual a 79,5 kN/m², determine a pressão absoluta na região mais profunda do lago. 𝑝2 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝛾. ℎ 𝑝2 = 79,5 𝑘𝑁 𝑚2 + 9,8 𝑘𝑁/𝑚³. 40𝑚 𝑝2 = 471,5 𝑘𝑁/𝑚² Aplicação 1 – Lei de Stevin Considere um béquer preenchido por água e óleo (óleo= 990 kg/m3). Calcule a pressão relativa na base interior do béquer. 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝛾ó𝑙𝑒𝑜ℎó𝑙𝑒𝑜 + 𝛾á𝑔𝑢𝑎ℎá𝑔𝑢𝑎 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑔𝜌ó𝑙𝑒𝑜ℎó𝑙𝑒𝑜 + 𝑔𝜌á𝑔𝑢𝑎ℎá𝑔𝑢𝑎 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 1466,6 𝑁/𝑚² Aplicação 2 – Líquidos não imiscíveis 5 𝑐𝑚 10 𝑐𝑚 óleo H2O 𝒑𝒃𝒂𝒔𝒆 = ? 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = +9,81 𝑚 𝑠2 . 990 𝑘𝑔 𝑚3 . 0,05𝑚 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 981 𝑘𝑔 𝑚𝑠2 + 485,6 𝑘𝑔 𝑚𝑠2 +9,81 𝑚 𝑠2 . 1000 𝑘𝑔 𝑚3 . 0,10𝑚 𝑘𝑔 𝑚𝑠2 . 𝑁𝑠2𝑚−1 𝑘𝑔 = 𝑁 𝑚2 O planeta Terra apresenta uma camada de, aproximadamente, 11 km, chamada de troposfera. Avalie a variação de pressão (p) ao longo dessa camada, conforme o observador se afasta da Terra, sabendo que a variação da temperatura varia conforme T=T1+kz. Aplicação 3 – fluido compressível ( variável) O planeta Terra apresenta uma camada de, aproximadamente, 11 km, chamada de troposfera. Avalie a variação de pressão (p) ao longo dessa camada, conforme o observador se afasta da Terra, sabendo que a variação da temperatura varia conforme T=T1+kz. Aplicação 3 – fluido compressível ( variável) https://colorindo.org/planeta-terra/ z T (°C) z2 z1 T1 T2 𝑇2 = 𝑇1 + 𝐾(𝑧2 − 𝑧1) Hipóteses: 𝛾 = função(z) (sendo K = taxa de variação linear de temperatura com a elevação, normalmente aceita em atmosfera politrópica) 𝑇2 = 𝑇1 + 𝐾(𝑧2 − 𝑧1) Na troca de limites: → 𝑑𝑇 = 𝐾 𝑑𝑧 → 𝑑𝑧 = 𝑑𝑇 𝐾 Considerando o ar um gás compressível ( varia)→gás ideal 𝑝 𝜌 = 𝑅𝑇 𝑝𝑔 𝛾 = 𝑅𝑇 𝛾 = 𝑝𝑔 𝑅𝑇 → → O planeta Terra apresenta uma camada de, aproximadamente, 11 km, chamada de troposfera. Avalie a variação de pressão (p) ao longo dessa camada, conforme o observador se afasta da Terra, sabendo que a variação da temperatura varia conforme T=T1+kz. Aplicação 3 – fluido compressível ( variável) https://colorindo.org/planeta-terra/ z T (°C) z2 z1 T1 T2 න 𝑝1 𝑝2 𝑑𝑝 = − න 𝑧1 𝑧2 𝛾 𝑑𝑧 න 𝑝1 𝑝2 𝑑𝑝 = − න 𝑇1 𝑇2 𝑝𝑔 𝑅𝑇 𝑑𝑇 𝐾 → න 𝑝1 𝑝2 𝑑𝑝 𝑝 = − 𝑔 𝑅𝐾 න 𝑇1 𝑇2 𝑑𝑇 𝑇 න 𝑝1 𝑝2 𝑑𝑝 𝑝 = 𝑔 𝑅𝐾 න 𝑇2 𝑇1 𝑑𝑇 𝑇 → 𝑙𝑛 𝑝2 𝑝1 = 𝑙𝑛 𝑇1 𝑇2 ൗ 𝑔 𝑅𝐾 Princípio de Pascal “Em qualquer ponto no interior de um fluido em repouso, a pressão é a mesma em todas as direções (Lei de Pascal)” “A pressão exercida num ponto de um líquido se transmite em igual intensidade em todas as direções.” https://brasilescola.uol.com.br/biografia/blaise-pascal.htm Blaise Pascal Princípio de Pascal – prensa hidráulica 𝐹1 𝐴1 = 𝐹2 𝐴2 𝐹2 = 𝐹1 𝐴2 𝐴1 “A pressão exercida num ponto de um líquido se transmite em igual intensidade em todas as direções.” 𝑝1 = 𝑝2 + 𝛾𝑑2 𝐹1 𝐴1 = 𝐹2 𝐴2 + 𝛾𝑑2 𝐹2 = 𝐹1 𝐴2 𝐴1 + 𝛾𝑑2 Desprezando o desnível entre os pistões Aplicação 4 – prensa hidráulica 𝐹1 𝐴1 = 𝐹2 𝐴2 𝐹1 = 𝐹2 𝐴1 𝐴2 Um carro de 1080 kg está trafegando em uma rodovia quando o motorista percebe que seu pneu estourou. O carro, então, para no acostamento para trocar o pneu, usando um macaco hidráulico, a fim de manter o carro suspenso. Esse macaco hidráulico possui uma alavanca de 10 cm de diâmetro, enquanto que, base circular do macaco hidráulico que sustenta o carro apresenta 30 cm de diâmetro. Qual a força que o motorista deve aplicar no macaco hidráulico para conseguir suspender o carro? D= 0,3 m d= 0,1 m F= ? mc= 1080 kg 𝐴1 = 𝜋𝑑2 4 e 𝐴2 = 𝜋𝐷2 4 𝐹2 = 𝑚𝑔 = 1080𝑘𝑔 . 9,81 𝑚 𝑠2 = 10594,8 𝑘𝑔 . 𝑚 𝑠2 → 𝐹1 = 10594,8 0,12 0,32 𝐹1 = 𝐹2 ൗ 𝜋𝑑2 4 ൗ 𝜋𝐷2 4 → → 𝐹1 = 1177,2 𝑁 9 x menos do que a força peso do carro! 𝑭𝟏 = 𝟏, 𝟏𝟕 𝒌𝑵 𝑁 IPH 01-107 Mecânica Fluidos e Hidráulica Capítulo 2. Estática dos fluidos Aula 6 - Escalas e unidades de pressão e aplicações + Manometria Profa Débora Koller 06/12/22 • Forças, tensões e pressão. • Equação fundamental da estática. • Escalas de pressão. Unidades de pressão. • Medição de pressão. Manométrica. • Empuxo. Forças sobre superfícies planas. • Aplicações Cap. 2 – Estática dos fluidos Escalas de pressão Unidades de pressão -Aplicação – pressão absoluta no fundo do lago. - Atividade proposta anteriormente: avaliar a variação da Patm com a altitude. Quais escalas? Quais unidades? Quais unidades são mais frequentes? Escalas e unidades de pressão A Patm é medida em que escala? Nível do mar Altitude =0m Gramado Altitude =830m Porto Alegre Altitude =10m Menor coluna de ar Menor pressão atmosférica Maior coluna de ar Maior pressão atmosférica 101,325kPa 760mmHg 1 atm Pressão atmosférica: é a pressão exercida na superfície decorrente da coluna de gás atmosférico acima da superfície terrestre. Pressão atmosférica Fonte: aula Prof. Daniela 5 Porto Alegre Altitude =10m Considere: h h - preenchidos com água a uma profundidade ‘h’, com mesma temperatura; - dois reservatórios idênticos; - um em cada cidade; A pressão no fundo dos reservatórios é igual? Gramado Altitude =830m Pressão atmosférica Fonte: aula Prof. Daniela Nível do mar Altitude =0m Zero para a pressão absoluta Zero para a pressão relativa ou para o vácuo Patm Porto Alegre Leitura local do barômetro Patm Gramado Leitura local do barômetro Pressão atmosférica = medida a partir do zero absoluto = vácuo perfeito Vácuo perfeito Pressão atmosférica e escalas de pressão Fonte: aula Prof. Daniela Zero para a pressão relativa ou para o vácuo Patmpadrão Pressão atmosférica = medida a partir do zero absoluta = vácuo perfeito Pressão atmosférica padrão, ao nível do mar: P = 101325 Pa  = 1,225 kg/m³ T = 288,15 K 1 atm = 101,325 kPa = 1,01325 bar = 760 mmHg = 10,33 mca = 14,7 psi (lb/in²) = Pressão atmosférica e escalas de pressão Fonte: aula Prof. Daniela Zero para a pressão absoluta Escalas de pressão Zero para a pressão absoluta Zero para a pressão efetiva ou para o vácuo Patmlocal Pressão no fundo do lago do exercício da aula anterior: Pabs Pefetiva + Pefetiva – OU Vácuo + Pabs + Fonte: aula Prof. Daniela sempre positiva, medida a partir do vácuo perfeito pabs = patm local + pefetiva vácuo = - prel = relativa = manométrica = gage = pressão efetiva negativa = depressão = sucção Escalas de pressão - resumo Pressão absoluta Pressão efetiva Vácuo A pressão atmosférica local varia em função das condições meteorológicas e de altitude. Quando não se tem o valor exato pode-se utilizar a atmosfera padrão 1 atm (padrão) = 101325Pa = 760mm Hg = 10,33 m de coluna de água sempre positiva, medida a partir do vácuo perfeito pabs = patm local + pefetiva Escalas de pressão - resumo Pressão absoluta A pressão atmosférica local varia em função das condições meteorológicas e de altitude. Quando não se tem o valor exato pode-se utilizar a atmosfera padrão: 1 atm (padrão) = 101325Pa = 760mm Hg = 10,33 m de coluna de água 11 Nível do mar Altitude =0m Porto Alegre Altitude =10m Considere: h h - preenchidos com água a uma profundidade ‘h’, com mesma temperatura; - dois reservatórios idênticos; - um em cada cidade; A pressão no fundo dos reservatórios é igual? Gramado Altitude =830m Fonte: aula Prof. Daniela Unidades de pressão propriamente dita: baseadas em p=Fn/A lb/ft2 lb/in2 = psi (pounds per square inches) Kgf/m² Pa=N/m² Unidades de carga de pressão: São indicadas por uma unidade de comprimento seguida da denominação do fluido que produziria a carga de pressão (ou coluna) correspondente à pressão dada. mm.Hg m.c.a. cm.c.a. , pol.Hg 𝑝2 − 𝑝1 = 𝛾. ℎ2 − 𝛾. ℎ1 h2 h1 h 1 2 ∆𝑝 = 𝛾. ∆ℎ ∆ℎ = ∆𝑝 𝛾 Unidades de pressão Verificar que estas formas de representar a pressão atmosférica padrão são equivalentes: 101325 Pa (N/m²) 14,7 psi (lb/in²) 760 mmHg 10,33 mca Pressão (p) Carga de pressão (h) 𝑝 = 𝐹𝑛 𝐴 = 𝛾. ℎ ℎ = 101325 𝑁𝑚−2 9810 𝑁𝑚−3 = 10,33m. c. a. Considerando: água = 9810 N/m³ Hg = 133,4 kN/m³ ℎ = 101325 133400 = 0,760 mHg Aplicação ℎ = 𝑝 𝛾 = 760 mmHg Altura de pressão ou altura equivalente: Unidade de Pressão 𝒉 = 𝒑 𝝆𝒈 = 𝒑 𝜸 = 𝒎. 𝒄. 𝒂 É a altura da coluna de fluido necessária para exercer uma certa pressão p. metros de coluna d'água Outras unidade de Pressão e equivalências Se os seguintes valores são equivalentes em termos de pressão ou carga de pressão, indique que escalas de pressão estão sendo utilizadas em cada um: (a) 0,6 kgf/cm²; (b) 318 mmHg; (c) 6 m.c.a.; (d) -42,44 kPa. Tarefa de casa Demonstre que os valores são equivalentes em termos de pressão ou de carga de pressão. Considere Patm = 101,3 kPa, água = 1000 kg/m³, dHg = 13,6. Pressão absoluta Pressão efetiva Pressão diferencial Pressão média Pressão instantânea Pressão total Pressão estática Pressão dinâmica Coluna líquida Outros dispositivos Categorias de medição de pressão Barômetro de mercúrio ou de Torricelli Barômetro Aneroide Medição de pressão atmosférica - Barômetro câmaras metálicas de parede flexível, que sofrem deformação conforme a variação da pressão Barômetro digital Micro elemento de silício que sofre ressonância a uma frequência proporcional a pressão aplicada Barógrafo Medição de pressão atmosférica - Barômetro = h Experimento de Torricelli Barômetro de mercúrio Evangelista Torricelli (1608-1647) Físico e matemático italiano https://pt.wikipedia.org/wiki/Evangelista_Torricelli = h 𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝛾𝐻𝑔. ℎ Experimento de Torricelli 𝑝1 = 𝑝2 𝑝2 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝑝1 = 𝑝𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 + 𝛾𝐻𝑔. ℎ pvapor Hg  0 (próximo do vácuo) Barômetro de mercúrio Teorema de Stevin 𝑝2 − 𝑝1 = 𝛾 ℎ2 − ℎ1 2 1 Como ℎ1 = ℎ2, então 𝒑𝟏= 𝒑𝟐 = 𝒑𝒂𝒕𝒎 3 𝑝3 − 𝑝1 = 𝛾 ℎ3 − ℎ1 Como 𝑝3 ≈ 0, então 𝒑𝟏= 𝜸𝑯𝒈. 𝒉 𝑝𝑣𝑎𝑝𝑜𝑟 = 0 ෍ 𝐹𝑦 = 0 𝑃𝑎𝑡𝑚. 𝐴 = 𝜌. 𝑔. ℎ. 𝐴 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌. 𝑔. ℎ 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝛾. ℎ Por que mercúrio? Barômetro de mercúrio Reservatórios Fundo de canal Piezômetros → pressões efetivas → pressões médias → pressões estáticas Pressões positivas Pressões negativas patm m pm = pm =  x h patm = 0 (pressão efetiva) h patm +  x h Pressão absoluta Pressão efetiva Piezômetros – para pequenas pressões efetivas Pressões negativas Pressões positivas patm m z h  1 p1 = pm +  x z p2 = patm + 1 x h p1 = p2 pm +  x z = patm + 1 x h pm = patm + 1 x h -  x z patm = 0 1 2 Pontos 1 e 2  mesmo fluido e mesma elevação: pm = 1 x h -  x z Manômetros abertos – para pressões efetivas maiores patm m z h  1 1 2 1. Começar numa extremidade (ou menisco) escrevendo a pressão numa unidade. 2. Somar a pressão a sua variação até o próximo menisco com sinal positivo se o menisco estiver mais baixo e com sinal negativo se estiver mais alto. 3. Continuar desta forma até alcançar a outra extremidade do manômetro e igualar a expressão à pressão neste ponto, seja a mesma conhecida ou não. pm - 1 x h = patm +  x z patm = 0 pm = 1 x h -  x z Outra forma de analisar p1 = pA + 1 x hA p2 = pB + 3 x hB + 2 x h p1 = p2 (superfície de nível) 1 2 A hA h 1 2 B hB 3 pA - pB = 3 x hB + 2 x h - 1 x hA Ou resolvendo da outra forma: pA = pB + 1 x hA - 2 x h - 3 x hB Manômetros diferenciais -0,6 . Hg 1 2 3 A B z 0,6 Hg água pA pA - pB = -0,6 .  + 0,6 . Hg (pA – pB)/  = 0,6 (13,6 - 1) (pA – pB)/  = 7,56 m.c.a. -  . z - 0,6 . Hg +(0,6+z) .  = pB Hg =13,6.  Aplicação 1 Determinar a diferença das pressões a montante e a jusante da peça inserida no conduto forçado: Determinar a diferença das pressões a montante e a jusante da peça inserida no conduto forçado: 1 2 3 A B z 0,6 Hg água pA = p1 +  . z pB = p3 +0,6 .  +  . z p1 = pA -  . z p3 = pB -0,6 .  -  . z p2 = p3 +0,6 . Hg p2 = pB -0,6 .  -  . z +0,6 . Hg p1 = p2 pA -  . z = pB -0,6 .  -  . z +0,6 . Hg pA - pB = -0,6 .  + 0,6 . Hg = 0,6 (Hg - ) (pA – pB)/  = 0,6 (13,6 - 1) (pA – pB)/  = 7,56 m.c.a. Aplicação 1 – resolvido de outra maneira IPH 01-107 Mecânica Fluidos e Hidráulica Capítulo 2. Estática dos fluidos Aula 7 – Manometria Profa Débora Koller 08/12/22 • Forças, tensões e pressão. • Equação fundamental da estática. • Escalas de pressão. Unidades de pressão. • Medição de pressão. Manométrica. • Empuxo. Forças sobre superfícies planas. • Aplicações Cap. 2 – Estática dos fluidos Relembrando Piezômetros Pressões negativas Pressões positivas Pressões efetivas maiores Manômetros abertos Pequenas pressões efetivas Pressões negativas Pressões positivas h1 h2 2x DH g1 g2 g Manômetro de tubo inclinado O manômetro de tubo inclinado é utilizado para medir pequenas diferenças de pressão em sistemas que contém gases. Nestes casos: Manômetro com reservatório               D  A a A a H p p g g g 1 1 2 2 1 A = área maior do tubo (onde está o fluido de peso específico g1); a = área da seção reta do tubo em “U”. Micromanômetro Outros manômetros de coluna líquida http://www.skilltech.com.br/informacoes.php?id=875 Manômetro de Bourdon Tipo C Outros dispositivos https://www.eq.uc.pt/~lferreira/BIBL_SEM/global/bourdon/Pdf/bourdon Baixo custo e elevada longevidade o que seja um instrumento muito utilizado na indústria. Tipo C https://www.eq.uc.pt/~lferreira/BIBL_SEM/global/bourdon/Pdf/bourdon Manômetro de Bourdon Espiral Helicoidal Outros dispositivos Em relação ao tipo C, permite maior amplitude de movimentos permitindo também uma maior rapidez de resposta. Baixo custo e elevada longevidade o que seja um instrumento muito utilizado na indústria. Transdutores de pressão Outros dispositivos Tomada de pressão placa de aquisição de dados p Visualização da variação de pressão Golpe de Aríete https://www.youtube.com/watch?v=agj0pGTnud4 Visualização da variação de pressão Golpe de Aríete Importante em escoamentos causados por diferença de pressão (condutos forçados). 𝐸𝑢 = Δ𝑝 𝜌𝑉2 = 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴 𝐷𝐸 𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆Ã𝑂 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴 𝐷𝐸 𝐼𝑁É𝑅𝐶𝐼𝐴 Na figura ambos fluidos encontram-se a 20⁰C. Se efeitos da tensão superficial podem ser desprezados, qual a massa específica do óleo, em kg/m³? óleo água Patm Patm Patm + g água. 0,06 - g óleo. 0,08 = Patm 𝛾ó𝑙𝑒𝑜 = 𝛾á𝑔𝑢𝑎. 0,06 0,08 𝜌á𝑔𝑢𝑎,20º𝐶 = 998𝑘𝑔/𝑚³ 𝛾 = 𝜌.g 𝝆ó𝒍𝒆𝒐 = 𝟕𝟒𝟖, 𝟓𝒌𝒈/𝒎³ Aplicação 1 𝜌ó𝑙𝑒𝑜. 𝑔 = 𝜌á𝑔𝑢𝑎. 𝑔. 0,06 0,08 Na figura, a pressão efetiva em A é de 1,5 kPa. Os fluidos se encontram a 20⁰C. Determine as elevações z, em metros, das elevações dos líquidos nos tubos B e C. PA + gar . 2 - ggasolina . (ZB-2,5) = 0 gar << ggasolina Dados: gasolina= 680 kg/m³ glicerina= 1260 kg/m³ → ZB = 2,725m 𝛾 = 𝜌.g Análise para o tubo C Aplicação 2 1500 - ( 680 . 9,81 ) . ( ZB - 2,5 ) = 0 ZB - 2,5 = 1500/6670,8 Análise para o tubo B PA + gar . 2 + ggasolina . 1,5 - gglicerina . (ZC -1,0) = 0 ZB ZC → ZC = 1,93 m A pressão efetiva em B é utilizada para avaliar a pressão em um ponto A em um escoamento de água. Se a pressão em B é 87kPa, estime a pressão em A, em kPa. Assuma todos os fluidos a 20⁰C. Resposta: 𝛾𝐻2𝑂 = 9790 ൗ 𝑁 𝑚3 𝛾𝐻𝑔 = 133100 ൗ 𝑁 𝑚3 𝛾ó𝑙𝑒𝑜 = 8720 ൗ 𝑁 𝑚3 Aplicação 3 -0,6 . gHg 1 2 3 A B z 0,6 gHg gágua pA pA - pB = -0,6 . g + 0,6 . gHg (pA – pB)/ g = 0,6 (13,6 - 1) (pA – pB)/ g = 7,56 m.c.a. - g . z - 0,6 . gHg +(0,6+z) . g = pB gHg =13,6. g Exercício da última aula Determinar a diferença das pressões a montante e a jusante da peça inserida no conduto forçado: Determinar a diferença das pressões a montante e a jusante da peça inserida no conduto forçado: 1 2 3 A B z 0,6 gHg gágua pA = p1 + g . z pB = p3 + (0,6+z) g p1 = pA - g . z p3 = pB - (0,6+z) g p2 = p3 + 0,6 . gHg p1 = p2 pA - g . z = pB -0,6 . g - g . z +0,6 . gHg pA - pB = -0,6 . g + 0,6 . gHg = 0,6 (gHg - g) (pA – pB)/ g = 0,6 (13,6 - 1) (pA – pB)/ g = 7,56 m.c.a. Exercício da última aula – resolvido de outra maneira p2 = pB - (0,6+z) g + 0,6 . gHg Aplicação 4 O departamento de engenharia de uma empresa está avaliando um sofisticado sistema a laser para medir a diferença entre os níveis de água de dois grandes tanques de armazenamento. É importante que pequenas diferenças sejam medidas com precisão. Você sugere que esta tarefa seja feita por um arranjo de manômetro bem mais barato, conforme o esquema apresentado na figura. Para isso, um óleo menos denso que a água deve ser usado para fornecer uma ampliação de 10:1 do movimento do menisco, ou seja, uma pequena diferença de nível entre os tanques, provocará uma depleção 10 vezes maior nos níveis de óleo do manômetro. a) Com a descida x do reservatório da direita, como ficam os meniscos no manômetro diferencial? b) Determine a densidade relativa do óleo requerida para a ampliação de 10:1 Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Instituto de Pesquisas Hidráulicas Departamento: Hidromecânica e Hidrologia IPH01107 – Mecânica dos fluidos / Turmas B e C DGS_ Versão 20/02 IPH 01-107 Mecânica Fluidos e Hidráulica Capítulo 2. Estática dos fluidos Aula 8 – Empuxo e forças sobre superfícies planas Profa. Débora Koller 13/12/2022 DGS_ Versão 20/02  Forças, tensões e pressão.  Equação fundamental da estática.  Escalas de pressão. Unidades de pressão.  Medição de pressão. Manométrica.  Empuxo. Forças sobre superfícies planas.  Aplicações Cap. 2 – Estática dos fluidos DGS_ Versão 20/02  Empuxo – ex.: analisar quando um corpo flutua , qual a posição dele em relação à superfície livre. Ponto de interesse dessa aula  Analisar forças hidrostáticas sobre superfícies planas.  Aplicações. DGS_ Versão 20/02 Para o corpo tridimensional totalmente submerso no líquido de peso específico γ, esquematizado na figura, Corpo tridimensional totalmente submerso em fluido estático   h h i s dAz  o valor da pressão sobre o diferencial de área dAz em sua fronteira superior vale 𝐩𝐬𝒖𝒑 = 𝜸 h𝒔𝒖𝒑 e o esforço diferencial 𝒅F𝐬𝐮𝐩 = 𝜸 h𝐬𝐮𝐩 dA𝐳 Empuxo DGS_ Versão 20/02 e como (hinf - hsup) = altura do corpo em cada vertical, que multiplicada por dAz é o volume infinitesimal, então o esforço total resultante do contato de líquido estático com o corpo totalmente submerso é De maneira análoga, para a fronteira inferior teremos A resultante do esforço diferencial é 𝑬 = න 𝑪𝑶𝑹𝑷𝑶 𝜸𝒉 𝒅𝑨𝒛 = 𝜸 (𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐) e 𝒑𝒊𝒏𝒇 = 𝜸 h𝐢𝐧𝐟 𝒅𝑭𝒊𝒏𝒇 = 𝜸 h𝐢𝐧𝐟 dA𝐳 𝒅𝑭 = 𝒅𝑭𝒊𝒏𝒇 − 𝒅𝑭𝒔𝒖𝒑 = 𝜸 (𝐡𝐢𝐧𝐟 − 𝐡𝐬𝐮𝐩) dA𝐳   h h i s dAz  Empuxo com a linha de ação passando pelo centro de gravidade da massa de líquido que foi deslocada pelo corpo. DGS_ Versão 20/02 e como (hinf - hsup) = altura do corpo em cada vertical, que multiplicada por dAz é o volume infinitesimal, então o esforço total resultante do contato de líquido estático com o corpo totalmente submerso é De maneira análoga, para a fronteira inferior teremos A resultante do esforço diferencial é 𝑬 = න 𝑪𝑶𝑹𝑷𝑶 𝜸𝒉 𝒅𝑨𝒛 = 𝜸 (𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒓𝒑𝒐) e 𝒑𝒊𝒏𝒇 = 𝜸 h𝐢𝐧𝐟 𝒅𝑭𝒊𝒏𝒇 = 𝜸 h𝐢𝐧𝐟 dA𝐳 𝒅𝑭 = 𝒅𝑭𝒊𝒏𝒇 − 𝒅𝑭𝒔𝒖𝒑 = 𝜸 (𝐡𝐢𝐧𝐟 − 𝐡𝐬𝐮𝐩) dA𝐳   h h i s dAz  Empuxo com a linha de ação passando pelo centro de gravidade da massa de líquido que foi deslocada pelo corpo. Isso porque, nesse caso, o corpo está totalmente submerso. Se fosse um corpo parcialmente submerso, esse volume do corpo seria referente apenas à parcela que está submersa. DGS_ Versão 20/02 Empuxo Força de empuxo e sobre um corpo submerso = igual ao peso do volume de fluido deslocado, com direção vertical e com sentido contrário ao da gravidade g. Despreze o ar deslocado aqui em cima (ar muito pequeno). (Volume deslocado) X ( do fluido) = Empuxo E DGS_ Versão 20/02 Empuxo https://www.getyourguide.com.br/jerusalem-l97/jerusalem-excursao-de-1-dia-massada-e-mar-morto-c-traslado-t21495/?visitor-id=MGQI82KL5WO7DPSAJJAK3ZRJAX37ZFHD&locale_autoredirect_optout=true Mar Morto Densidade 10x maior que a da água do mar Força do Empuxo é maior no Mar Morto do que no Oceano Atlântico Se 𝐸 ↑ e 𝛾 ↑ então 𝑉𝑜𝑙𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐 será ↓ 𝐸 = 𝛾𝐻2𝑂. 𝑉𝑜𝑙𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐 DGS_ Versão 20/02 História  Coroa de ouro do rei de Siracusa, Hieron II (306-215 A.C.).  O rei soube de um boato de que o ourives substituiu parte do ouro em sua coroa por prata.  O rei pediu a Arquimedes (287-212 A.C.) que determinasse se a coroa era de ouro puro.  Arquimedes teve que desenvolver um método de teste não destrutivo. https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/Hiero_bitmap.gif DGS_ Versão 20/02 Como Arquimedes resolveu a questão: https://www.youtube.com/watch?v=Cfr7HgyiIig Arquimedes Água deslocada por Arquimedes Arquimedes Peso da água = Peso do Arquimedes DGS_ Versão 20/02 Como Arquimedes resolveu a questão: https://www.youtube.com/watch?v=Cfr7HgyiIig Arquimedes Água deslocada por Arquimedes Arquimedes Peso da água = Peso do Arquimedes Atenção Essa condição, na qual E=W, se aplica quando o corpo do Arquimedes está boiando (estático), sem encostar na base da banheira/reservatório. 𝛾𝐻2𝑂. 𝑉𝑜𝑙𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐 𝛾𝐴𝑟𝑞𝑢𝑖𝑚. 𝑉𝑜𝑙𝐴𝑟𝑞𝑢𝑖𝑚 𝑬𝒎𝒑𝒖𝒙𝒐 𝑷𝒆𝒔𝒐 𝒅𝒐 𝑨𝒓𝒒𝒖𝒊𝒎𝒆𝒅𝒆𝒔 𝑬 𝑾 DGS_ Versão 20/02 Análise da coroa  O peso da coroa e da pepita é o mesmo no ar:  Se a coroa é de ouro puro, c =  p , os volumes devem ser iguais: Volc =Volp  Se a escala não ficar equilibrada, significa que a Volc  Volp e consequentemente c   p.  Ficou comprovado que a coroa não era de ouro puro. Wc = c . Volc Wp = p . Volp = DGS_ Versão 20/02 Princípio de Arquimedes “Um corpo imerso em um líquido irá flutuar, afundar ou ficar neutro de acordo com o peso do líquido deslocado por este corpo.” Cenários possíveis: Fluido 3) rcorpo>rfluido: corpo afunda 2) rcorpo=rfluido: corpo suspenso 1) rcorpo<rfluido: corpo flutua Corpo suspenso (flutuação neutra) Corpo afunda Corpo flutua DGS_ Versão 20/02 Princípio de Arquimedes “Um corpo imerso em um líquido irá flutuar, afundar ou ficar neutro de acordo com o peso do líquido deslocado por este corpo.” Cenários possíveis: Fluido 3) rcorpo>rfluido: corpo afunda 2) rcorpo=rfluido: corpo suspenso 1) rcorpo<rfluido: corpo flutua Corpo suspenso (flutuação neutra) Corpo afunda Corpo flutua Atenção Não confunda o efeito da diferença entre as massa específicas do corpo e do fluido (rcorpo e rfluido) com o efeito da força de empuxo. Quando o corpo está estático (boiando), ele está em equilíbrio e, logo o somatório das forças na vertical (peso e empuxo) deve ser sempre igual à zero (σ 𝑭𝒚 = 𝟎) DGS_ Versão 20/02 Não somente a força de empuxo é igual ao peso do corpo, mas também essas duas forças são colineares, já que não pode haver momentos líquidos no equilíbrio estático. Livro White (pg. 103) DGS_ Versão 20/02 WSub Princípio de Arquimedes Se o submarino encher seu reservatório de água, ele aumentará o seu peso. Isso fará com que ele se mova para baixo, até seu peso se equilibrar com o empuxo E1 Equilíbrio E=P Durante o movimento para baixo E < P E2 Só vai atingir um equilíbrio (ficar parado, sem motores ligados), quando: E = P Durante movimento para cima: E > P Ao expulsar certo volume de água do seu lastro, o novo peso se equilibrará ao novo empuxo, em alguma posição entre a 1° e a 2° situações. Quando atingir um equilíbrio: E = P E3 WSub + Wágua Submarino foi extraído de: https://www.flaticon.com/free-icon/submarine_190006 WSub + Wágua DGS_ Versão 20/02 Princípio de Arquimedes Submarino foi extraído de: https://www.flaticon.com/free-icon/submarine_190006 E1 WSub Equilíbrio E=P E2 WSub + Wágua Perceba que: E1 < E2 E1 < E3 E2 > E3 Como empuxo é: 𝑬 = 𝑽𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒍𝒐𝒄𝒂𝒅𝒐. 𝜸𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 E3 WSub + Wágua DGS_ Versão 20/02 Princípio de Arquimedes A área em contato com a água também influencia na resultante da força empuxo. Pense no seu corpo de pé dentro da água ou deitado, flutuando. O empuxo só existe onde existe água! O empuxo independe da densidade ou peso do corpo O empuxo está ligado ao volume externo do sólido mergulhado no líquido. Lembre-se: o empuxo ocorre porque a pressão do líquido na parte inferior do corpo é maior do que na superior (nas laterais, as pressões e, logo, as forças hidrostáticas, se anulam). DGS_ Versão 20/02 Peso aparente 2 kg de água Peso aparente = A medida do peso do corpo quando imerso em um líquido. Peso aparente = Peso real - Empuxo Empuxo = Peso real – Peso aparente Peso real 5 kg Peso real 3 kg DGS_ Versão 20/02 Aplicação 1 (retirado do livro do Munson) lastro E Densímetro Lembrete! Quando o corpo está estático (boiando), ele está em equilíbrio e, logo o somatório das forças na vertical (peso e empuxo) deve ser sempre igual à zero (σ 𝐹𝑦 = 0) DGS_ Versão 20/02 lastro E Densímetro Wdensímetro = E = Wlíquido deslocado 0,9 𝑑2 = 0,9 𝑊 = 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 2 𝑊 = 𝛾2. 𝑣𝑜𝑙2 𝑊 = 𝛾2. 𝑣𝑜𝑙1 + ∆𝑧. 𝐴 𝑑1 = 1,0 𝑊 = 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 1 𝑊 = 𝛾1. 𝑣𝑜𝑙1 𝑊 = 0,9. 𝛾1. 𝑊 𝛾1 + ∆𝑧. 𝐴 𝑣𝑜𝑙1 = 𝑊 𝛾1 ∆𝑧 = 0,1. 𝑊 0,9. 𝛾1. 𝐴 ∆𝑧 = 17,2𝑚𝑚 Se o sistema está flutuando (estático), é porque atingiu uma estabilidade, na qual as forças na vertical (peso e empuxo) se igualam DGS_ Versão 20/02 Aplicação 2 Boia marítima: Pode boiar na superfície ou quando o nível do mar sobe, a boia fica completamente submersa. Qual a força que tensiona o cabo na condição da figura (boia submersa)? DGS_ Versão 20/02 Dados: - Diâmetro da boia = 1,5 m - Peso = 8,5 kN - água mar = 10100 N/m³ Em equilíbrio: 𝑻 = 𝑬 − 𝑾 𝐸 = 𝛾á𝑔𝑢𝑎 𝑚𝑎𝑟. 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 4 3 𝜋𝑟3 = 10100 . 𝜋 1,53 6 = 1,785 × 104 𝑁 𝑇 = 1,785 × 104 − 8, 5 × 103 𝑇 = 9,35 𝑘𝑁 = 𝜋𝐷3 6 DGS_ Versão 20/02 Φ = 50 cm 2,0 m Φ = 30 cm d = 0,5 d = 14,0 d = 8,0 h 2,0 m Se o sistema está flutuando (estático), é porque atingiu uma estabilidade, na qual as forças na vertical (peso e empuxo) se igualam Determine o valor de h para o qual o conjunto começa a flutuar. Aplicação 3 começa a flutuar. 𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 DGS_ Versão 20/02 Esfera: Cabo: Cilindro: 𝑉 = 4 3 π .r3 = 0,0141 m3 𝑊 = ↓ 1941,6 N 𝐸 = ↑ 138,3 N 𝑉 = 𝜋 . D2 4 .l = 0,00016 m3 𝑊 = ↓ 12,33 N 𝐸 = ↑ 1,54 N 𝑉 = 𝜋 . D2 4 .l = 0,3927 m3 𝑊 = 1926 N 𝐸 = 𝜋. 0, 52 4 . 9810. 𝒉 Φ = 50 cm 2,0 m 2,0 m Φ = 30 cm d = 0,5 d = 14,0 d = 8,0 h Φ = 1 cm Φ = 50 cm 2,0 m 2,0 m Φ = 30 cm d = 0,5 d = 14,0 d = 8,0 h Φ = 1 cm Aplicação 3 𝒉 = 𝟏, 𝟗𝟒 𝒎 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3880 N O equilíbrio entre as forças verticais é atingido quando 𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑬𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍: 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋. 0, 52 4 . 9810. ℎ N 3880=139,54 + 𝜋. 0, 52 4 . 9810 . 𝒉 DGS_ Versão 20/02 Exercício para casa (retirado do livro do Munson) Resposta: 2,3 x 105 N (retirado do livro do Munson) DGS_ Versão 20/02 Força hidrostática em superfícies planas Considerando a Patm: Subtraindo a Patm: Em uma superfície plana, as forças hidrostáticas formam um sistema de forças paralelas. Patm pode ser desprezada quando age nos dois lados da superfície. DGS_ Versão 20/02 Força hidrostática em superfícies planas Placa vertical FR = volume do prisma de pressões 𝑝1 = 𝑃0 + 𝜌. 𝑔. 𝑠 𝑝2 = 𝑃0 + 𝜌. 𝑔. (𝑠 + 𝑏) 𝐹𝑅 = 𝑝1 + 𝑝2 . 𝑏 2 . 𝑎 Prisma de pressões superfície 𝒑𝟏 1 2 𝒑𝟐 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜 = 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 + 𝑏𝑎𝑠𝑒𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 . 𝑏 2 . 𝑎 DGS_ Versão 20/02 Força hidrostática em superfícies planas Placa vertical 𝑭𝑹 O ponto de aplicação de 𝐹𝑅 coincide com o centro de gravidade do prisma de pressões ??? FR1 FR2 h/3 h/2 Método mais simples – dividir o prisma 𝐹𝑅 = 𝐹𝑅1 + 𝐹𝑅2 DGS_ Versão 20/02 Força hidrostática em superfícies planas Placa horizontal Placa inclinada DGS_ Versão 20/02 Aplicação 4 Uma comporta quadrada, conforme a figura abaixo, com 3 m de largura, tem seu topo a 1,83 m abaixo do nível da água. Ela está articulada em sua extremidade inferior. Que força F, agindo na borda superior, é necessária para segurar a comporta fechada? FR ou FR1 FR2 h/3 h/2 DGS_ Versão 20/02 FR1 FR2 h/3 h/2 𝐹𝑅1 = 3. 𝛾. 3 2 . 3 = 13,5. 𝛾 1,83. 4,83. 1,83. 3. 𝐹𝑅2 = 1,83. γ. 3.3 = 16,47. 𝛾 Largura = 3m FR1 1,0 m FR2 1,5 m F ෍ 𝑀𝑥 = 0 𝐹𝑅1. ℎ 3 + 𝐹𝑅2. ℎ 2 − 𝐹. ℎ = 0 13,5. 𝛾. 1 + 16,47. 𝛾. 1,5 − 𝐹. 3 = 0 𝐹 = 125 𝑘𝑁 DGS_ Versão 20/02 Mergulho e pressão hidrostática 50 m 1 2 • Pressão no mergulhador a 50 m (ponto 2)? 𝑃𝑎𝑏𝑠2 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝛾. ℎ 𝑃𝑎𝑏𝑠2 = 101,3 + 9,81.50 𝑘𝑃𝑎 𝑃𝑎𝑏𝑠2 = 591,98 𝑘𝑃𝑎 • Perigo de uma subida de emergência: Análise da variação do volume de ar nos pulmões  lei dos gases perfeitos 𝑃 = 𝜌. 𝑅. 𝑇 = 𝑚 𝑉𝑜𝑙 . 𝑅. 𝑇 m.R.T=cte 𝑃. 𝑉𝑜𝑙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑃1. 𝑉𝑜𝑙1 = 𝑃2. 𝑉𝑜𝑙2 𝑉𝑜𝑙1 𝑉𝑜𝑙2 = 𝑃2 𝑃1 = 591,98 101,3 = 5,8 Se você prender a respiração na subida, o volume pulmonar aumentará em um fator de quase 6 vezes, o que resultaria em embolia e / ou morte. DGS_ Versão 20/02 Exercícios da lista 1 Temos apenas o exerc. 31 – lista 1 Vou fazer uma lista 1b com exercícios sobre empuxo Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Instituto de Pesquisas Hidráulicas Departamento: Hidromecânica e Hidrologia IPH01107 – Mecânica dos fluidos / Turmas B e C DGS_ Versão 20/02 IPH 01-107 Mecânica Fluidos e Hidráulica Capítulo 2. Estática dos fluidos Aula 9 – Empuxo e forças sobre superfícies planas Profa. Débora Koller 15/12/2022 DGS_ Versão 20/02 Princípio de Arquimedes “Um corpo imerso em um líquido irá flutuar, afundar ou ficar neutro de acordo com o peso do líquido deslocado por este corpo.” Cenários possíveis: Fluido 3) rcorpo>rfluido: corpo afunda 2) rcorpo=rfluido: corpo suspenso 1) rcorpo<rfluido: corpo flutua Corpo suspenso (flutuação neutra) Corpo afunda Corpo flutua DGS_ Versão 20/02 Princípio de Arquimedes “Um corpo imerso em um líquido irá flutuar, afundar ou ficar neutro de acordo com o peso do líquido deslocado por este corpo.” Cenários possíveis: Fluido 3) rcorpo>rfluido: corpo afunda 2) rcorpo=rfluido: corpo suspenso 1) rcorpo<rfluido: corpo flutua Corpo suspenso (flutuação neutra) Corpo afunda Corpo flutua Atenção Não confunda o efeito da diferença entre as massa específicas do corpo e do fluido (rcorpo e rfluido) com o efeito da força de empuxo. Quando o corpo está estático (boiando), ele está em equilíbrio e, logo o somatório das forças na vertical (peso e empuxo) deve ser sempre igual à zero (σ 𝑭𝒚 = 𝟎) DGS_ Versão 20/02 4 “Não somente a força de empuxo é igual ao peso do corpo, mas também essas duas forças são colineares, já que não pode haver momentos líquidos no equilíbrio estático.” Livro White (pg. 103) DGS_ Versão 20/02 WSub Princípio de Arquimedes Se o submarino encher seu reservatório de água, ele aumentará o seu peso. Isso fará com que ele se mova para baixo, até seu peso se equilibrar com o empuxo E1 Equilíbrio E=P Durante o movimento para baixo E < P E2 Só vai atingir um equilíbrio (ficar parado, sem motores ligados), quando: E = P Durante movimento para cima: E > P Ao expulsar certo volume de água do seu lastro, o novo peso se equilibrará ao novo empuxo, em alguma posição entre a 1° e a 2° situações. Quando atingir um equilíbrio: E = P E3 WSub + Wágua Submarino foi extraído de: https://www.flaticon.com/free-icon/submarine_190006 WSub + Wágua DGS_ Versão 20/02 Princípio de Arquimedes Submarino foi extraído de: https://www.flaticon.com/free-icon/submarine_190006 E1 WSub Equilíbrio E=P E2 WSub + Wágua Perceba que: E1 < E2 E1 < E3 E2 > E3 Como empuxo é: 𝑬 = 𝑽𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒍𝒐𝒄𝒂𝒅𝒐. 𝜸𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 E3 WSub + Wágua DGS_ Versão 20/02 Princípio de Arquimedes A área em contato com a água também influencia na resultante da força empuxo. Pense no seu corpo de pé dentro da água ou deitado, flutuando. O empuxo só existe onde existe água! O empuxo independe da densidade ou peso do corpo O empuxo está ligado ao volume externo do sólido mergulhado no líquido. Lembre-se: o empuxo ocorre porque a pressão do líquido na parte inferior do corpo é maior do que na superior (nas laterais, as pressões e, logo, as forças hidrostáticas, se anulam). DGS_ Versão 20/02 lastro E Densímetro Wdensímetro = E = Wlíquido deslocado 0,9 𝑑2 = 0,9 𝑊 = 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 2 𝑊 = 𝛾2. 𝑣𝑜𝑙2 𝑊 = 𝛾2. 𝑣𝑜𝑙1 + ∆𝑧. 𝐴 𝑑1 = 1,0 𝑊 = 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 1 𝑊 = 𝛾1. 𝑣𝑜𝑙1 𝑊 = 0,9. 𝛾1. 𝑊 𝛾1 + ∆𝑧. 𝐴 𝑣𝑜𝑙1 = 𝑊 𝛾1 ∆𝑧 = 0,1. 𝑊 0,9. 𝛾1. 𝐴 ∆𝑧 = 17,2𝑚𝑚 Se o sistema está flutuando (estático), é porque atingiu uma estabilidade, na qual as forças na vertical (peso e empuxo) se igualam DGS_ Versão 20/02 Dois tanques de água estão conectados por um manômetro de mercúrio com tubos inclinado, como mostrado na figura. Se a diferença de pressão entre os dois tanques é de 30kPa, calcule "a" e “q". = 𝑝𝐵 𝑝𝐵 − 𝑝𝐴 = 𝛾𝐻2𝑂. 𝑎+. 𝑑𝐻𝑔 . 𝛾𝐻2𝑂 . 2. 𝑎 − 𝛾𝐻2𝑂. 𝑎 30000 = 13,6 . 9810 . 2 . 𝑎 → 𝑎 = 30000/266832 → 𝑎 = 0,1124𝑚 = 11,24𝑐𝑚 0,268 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 2𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 2 . 0,1124 0,268 → 𝜃 = 57° Aplicação 2 - manometria 𝑝𝐴 +𝛾𝐻2𝑂. 𝑎 +𝑑. 𝛾𝐻2𝑂 . 2. 𝑎 −𝛾. 𝑎 DGS_ Versão 20/02 Uma barcaça de geometria muito simples está atracada em um reservatório de água. Qual é o peso desta barcaça? Considere o esquema da barcaça flutuando na água e que a massa específica da água é igual a 1000 kg/m3. Aplicação 4 - Empuxo Resposta: 14 MN DGS_ Versão 20/02 Aplicação 3 - Empuxo 𝐸 = 𝑊𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 + 𝐹 𝐹 = 𝐸 − 𝑊𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑬 𝑊𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝐹 𝑊𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜. 𝛾𝑚𝑎𝑑 𝐸 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜. 𝛾𝐻2𝑂 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝜋ℎ 3 . 𝑅2 + 𝑅𝑟 + 𝑟2 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 𝜋. 30 3 (1,2)2 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 = 59,38 𝑚3 +(1,2.0,3) +(0,3)2 𝐹 = 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜. 𝛾𝐻2𝑂 − 𝑉𝑜𝑙𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜. 𝛾𝑚𝑎𝑑 𝐹 = 59,38 . 9810 − 59,38 . 0,6 . 9810 𝑭 = 𝟐, 𝟑 𝒙 𝟏𝟎𝟓 𝑵 ෍ 𝑭𝒚 = 𝟎 DGS_ Versão 20/02 A figura mostra o ar contido em um recipiente, inicialmente a 100ºC. O ar é esfriado e a água do manômetro sobe 0,5 cm para dentro do recipiente. Aplicação 1 - manometria Dados: Patm= 100 kPa gH2O= 9810 N/m3 dHg= 13,6 a) Qual é a leitura inicial do manômetro? b) Qual é a leitura final do manômetro? Ambas respostas em unidades do SI Respostas: a) 24,7 kPa b) 11,8 kPa