Slide - Equação Integral da Conservação da Energia Pt1- 2023-2

Aula 12 – Equação integral da conservação da energia. Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. Em Recursos Hídricos) Email: enggfv.aulas@gmail.com FATORES QUE PODEM OCASIONAR VARIAÇÃO DE ENERGIA 2 O que pode ocasionar variação de energia (∆𝑬) em um dado sistema fechado? A) Calor (𝑸𝒆) – ocorre quando existe diferença de temperatura; B) Trabalho (𝑾) – responsável pela transferência de energia por meio da aplicação de forças. Transferência de energia = conservação de Energia 1ª Lei da Termodinâmica: ∆𝑬 = ∆𝑸𝒆 + ∆𝑾 A energia nunca é perdida, ela é transformada (convertida) em outras formas de energia. 3 A taxa de variação da energia pode ser expressa por: ∆𝑬 ∆𝒕 = ∆𝑸𝒆 ∆𝒕 + ∆𝑾 ∆𝒕 Para descobrir a taxa de variação instantânea fazemos: 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒕→ 𝟎 ∆𝑬 ∆𝒕 Isto resulta em: 𝝏𝑬 𝝏𝒕 = 𝝏𝑸𝒆 𝝏𝒕 + 𝝏𝑾 𝝏𝒕 Mas como a energia é uma grandeza que depende do espaço e do tempo e pode ser transportada por um escoamento, podemos representar sua variação como uma derivada substancial: 𝑫𝑬 𝑫𝒕 = 𝝏𝑸𝒆 𝝏𝒕 + 𝝏𝑾 𝝏𝒕 = ሶ𝑸𝒆 + ሶ𝑾 𝑫𝑬 𝑫𝒕 = ሶ𝑸𝒆 + ሶ𝑾 Obs: note que a dimensão de cada parcela desta expressão representa uma potência. 4 A energia 𝑬 de uma quantidade de massa “𝒎” depende de 3 parcelas: Energia cinética ( 𝒎𝒗² 𝟐 ) – em função da velocidade adquirida; Energia potencial (𝒎𝒈𝒉) – em função da cota “ℎ” em que a quantidade se encontra; Energia interna(𝒆𝒊) – corresponde à soma de todas energias à nível molecular, oriundas da totalidade de partículas que compõem esta quantidade. O Teorema de Transporte de Reynolds pode ser utilizado para estudar a transferência de energia em um escoamento: 𝑫𝜷 𝑫𝒕 = 𝝏 ׮ 𝒃𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ඵ 𝒃𝝆 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 Teorema de Transporte de Reynolds 𝜷 = 𝑬 Assim, temos: 𝒃 = 𝑬 𝒎 = 𝒗² 𝟐 + 𝒈𝒉 + 𝒖 = 𝒆 ሶ𝑸𝒆 + ሶ𝑾 = 𝝏 ׮ 𝒆 𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ඵ 𝒆𝝆 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 O que resulta em: Em que “u” é a energia interna dividida pela massa. 5 DEFINIÇÕES IMPORTANTES SOBRE O TERMO DE TRABALHO Volume de controle Volume de controle Produz trabalho (libera energia pro sistema) TRABALHO + Este trabalho é consumido pelo sistema! (Em relação ao sistema, é um trabalho NEGATIVO) Este trabalho é fornecido pelo sistema! (Em relação ao sistema, é um trabalho POSITIVO) Recebe trabalho (Absorve energia do sistema) TRABALHO - 6 Primeiramente, ao aplicarmos o teorema de transporte, estamos relacionando o sistema (lado esquerdo da equação) ao que acontece com um volume de controle (lado direito da equação). Desta forma, temos que o termo ሶ𝑾 corresponde ao contrário da taxa de trabalho realizado pelo volume de controle (situação em que o V.C produz trabalho). Assim, a forma mais correta da expressão anterior é: ሶ𝑸𝒆 − ሶ𝑾 = 𝝏 ׮ 𝒆 𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ඵ 𝒆𝝆 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 O termo ሶ𝑾 pode ser interpretado como uma soma de parcelas: ሶ𝑾 = ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 + ሶ 𝑊𝐹𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑖𝑠 + ሶ 𝑊𝐹𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 + ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 Relacionado ao trabalho exercido por eixos mecânicos (Ex: bombas, turbinas) Relacionado às forças normais às superfícies de controle do VC Relacionado às forças tangenciais às superfícies de controle do VC Relacionado a outras fontes, como um campo eletromagnético, por exemplo. 7 Desenvolvendo os termos ሶ 𝑾𝑭𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒊𝒔 e ሶ 𝑾𝑭𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔: O trabalho realizado em uma dada direção é dado por: 𝑊𝑒 = 𝑑 Ԧ𝐹. Ԧ𝑟 Assim, o termo ሶ𝑊𝑒 é obtido por: ሶ𝑊𝑒 = 𝑑 Ԧ𝐹. 𝑑 Ԧ𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑 Ԧ𝐹. 𝑉 A taxa de trabalho total ሶ𝑊𝑡 é obtida por: ሶ 𝑾𝒕 = σ 𝒅𝑭. 𝑽 = ׬ 𝒅𝑭. 𝑽 Obs: percebe-se que a tensão normal ao elemento de área está orientada na direção do vetor unitário 𝒏 , utilizado no teorema de transporte. Dessa forma, é conveniente reescrever o elemento de força de tensão normal da seguinte maneira:𝒅𝑭𝒏 = 𝝈𝒏. 𝒏𝒅𝑨 ሶ 𝑾𝑭𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒊𝒔 = ׬ 𝝈𝒏 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 ሶ 𝑾𝑭𝒄𝒊𝒔𝒂𝒍𝒉𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 = ׬ 𝝉𝒄. 𝑽𝒅𝑨 8 A equação integral da conservação da energia pode ser reescrita como: ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 − න 𝜎𝑛 𝑉. 𝑛 𝑑𝐴 − න 𝜏𝑐. 𝑉𝑑𝐴 = 𝜕 ׮ 𝑒 𝜌𝑑𝑣𝑜𝑙 𝜕𝑡 + ඵ 𝑒𝜌 𝑉. 𝑛 𝑑𝐴 Primeiramente, para a grande maioria dos casos de aplicação da equação da conservação da energia em mecânica dos fluidos , trabalhamos com volumes de controle fixos, cujas áreas de saída e entrada do VC são escolhidas de forma perpendicular ao fluxo. Sendo assim, tem-se que: ׬ 𝝉𝒄. 𝑽𝒅𝑨 = 𝟎 Reorganizando os termos segundo as considerações anteriores, temos: ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝜕 ׮ 𝑒 𝜌𝑑𝑣𝑜𝑙 𝜕𝑡 + ඵ 𝑒𝜌 − 𝜎𝑛 𝑉. 𝑛 𝑑𝐴 Além disto, a expressão ׬ 𝝈𝒏 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 corresponde a um trabalho no sentido para fora do VC, portanto esta parcela tem o sinal trocado na expressão anterior. Identifica-se que 𝜎𝑛 refere-se à pressão de fluido pela relação 𝝈𝒏 ≈ −𝒑. Assim: ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝜕 ׮ 𝑒 𝜌𝑑𝑣𝑜𝑙 𝜕𝑡 + ඵ 𝑒𝜌 + 𝑝 𝑉. 𝑛 𝑑𝐴 9 A relação inversa da massa específica ( Τ 𝟏 𝝆) é chamada de volume específico 𝝑 . Dessa forma: ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝜕 ׮ 𝑒 𝜌𝑑𝑣𝑜𝑙 𝜕𝑡 + ඵ 𝑒𝜌 + 𝑝 𝜌 𝜌 𝑉. 𝑛 𝑑𝐴 ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝜕 ׮ 𝑒 𝜌𝑑𝑣𝑜𝑙 𝜕𝑡 + ඵ 𝑒𝜌 + 𝑝𝜗𝜌 𝑉. 𝑛 𝑑𝐴 Permitindo chegar à expressão final da equação integral da energia: ሶ𝑸𝒆 − ሶ 𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐𝒔 − ሶ 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = 𝝏 ׮ 𝒆 𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 + ඵ 𝝆 𝒆 + 𝒑𝝑 𝑽. 𝒏 𝒅𝑨 Em que 𝒆 = 𝒗² 𝟐 + 𝒈𝒉 + 𝒖 Essa equação geralmente pode ser simplificada ao considerarmos as seguintes hipóteses: 1) A energia e a pressão (sobre uma seção transversal) de uma quantidade de fluido de massa “m” são constantes em cada seção analisada: 2) O regime de escoamento é permanente: 3) O escoamento é unidimensional em termos da velocidade: 4) O escoamento é corretamente representado por um perfil uniforme: 5) A massa específica pode ser assumida como constante em cada seção transversal: 10 𝒆 + 𝒑𝝑 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝝏 ׮ 𝒆 𝝆𝒅𝒗𝒐𝒍 𝝏𝒕 = 𝟎 𝑽. 𝒏 = 𝑽𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒄𝒐𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝑽𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒄𝒐𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝝆 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒎 𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒔𝒆çã𝒐 11 ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = ± ෍ 𝜌𝑒 + 𝜌𝑝𝜗 𝑖𝑉𝑖𝐴𝑖 Obs: o sinal do somatório, assim como na equação integral da continuidade,é dado pelo produto escalar 𝑽. 𝒏. Considerando um tubo de corrente (dotado de ”paredes” formadas por linhas de corrente), por onde escoa uma dada massa de fluido de um ponto 1 (a montante) a um ponto 2 (a jusante), a expressão anterior toma a forma: ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = −𝜌1 𝑉1 2 2 + 𝑔ℎ1 + 𝑢1 + 𝑝1𝜗1 𝑉1𝐴1 + 𝜌2 𝑉2² 2 + 𝑔ℎ2 + 𝑢2 + 𝑝2𝜗2 𝑉2𝐴2 Reconhecendo que a entalpia (𝒉𝒆) pode ser calculada por 𝒉𝒆 = 𝒖 + 𝒑𝝑, e que 𝝆𝑽𝑨 = ሶ𝒎: ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = − ሶ𝑚1 𝑉1 2 2 + 𝑔ℎ1 + ℎ𝑒1 + ሶ 𝑚2 𝑉2 2 2 + 𝑔ℎ2 + ℎ𝑒2 Da equação da continuidade temos que: ሶ 𝒎𝟏 = ሶ 𝒎𝟐 = ሶ𝒎 12 ሶ𝑸𝒆 − ሶ 𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐𝒔 − ሶ 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 = ሶ𝒎 𝑽𝟐 𝟐 − 𝑽𝟏 𝟐 𝟐 + 𝒈 𝒉𝟐 − 𝒉𝟏 + 𝒉𝒆𝟐 − 𝒉𝒆𝟏 Equação geralmente aplicável em gases Podemos adaptar a expressão acima aos escoamentos de fluidos incompressíveis. Assim, temos que 𝝆𝟏 = 𝝆𝟐 = 𝝆 e que 𝑸𝟏 = 𝑸𝟐 = 𝑸. ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝜌𝑄 𝑉2 2 − 𝑉1 2 2 + 𝑔 ℎ2 − ℎ1 + ℎ𝑒2 − ℎ𝑒1 ሶ𝑄𝑒 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝜌𝑄 𝑉2 2 − 𝑉1 2 2 + 𝑔 ℎ2 − ℎ1 + 𝑢2 + 𝑝2 1 𝜌 − 𝑢1 − 𝑝1 1 𝜌 ሶ𝑄𝑒 − 𝜌𝑄 𝑢2 − 𝑢1 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝜌𝑄 𝑉2 2 − 𝑉1 2 2 + 𝑔 ℎ2 − ℎ1 + 𝑝2 𝜌 − 𝑝1 𝜌 13 A parcela ሶ𝑸𝒆 − 𝝆𝑸 𝒖𝟐 − 𝒖𝟏 está associada às perdas de energia devido, principalmente, ao atrito, sendo, portanto, denominada − ሶ 𝑾𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔. Assim: − ሶ 𝑊𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝜌𝑄 𝑉2 2 − 𝑉1 2 2 + 𝑔 ℎ2 − ℎ1 + 𝑝2 𝜌 − 𝑝1 𝜌 Dividindo os dois lados da equação pela quantidade 𝝆𝒈𝑸: − ሶ 𝑊𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝛾𝑄 − ሶ 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 𝛾𝑄 − ሶ 𝑊𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 𝛾𝑄 = 𝑉2 2 − 𝑉1 2 2𝑔 + ℎ2 − ℎ1 + 𝑝2 𝛾 − 𝑝1 𝛾 Ao realizarmos uma análise dimensional das parcelas constituintes desta equação, notamos que cada uma delas possui dimensão de comprimento, sendo assim denominadas de cargas. −𝐻𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 − 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − 𝐻𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝑉2 2 − 𝑉1 2 2𝑔 + ℎ2 − ℎ1 + 𝑝2 𝛾 − 𝑝1 𝛾 14 Reorganizando os termos, chegamos à: −𝐻𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 − 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − 𝐻𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝑉2 2 − 𝑉1 2 2𝑔 + ℎ2 − ℎ1 + 𝑝2 𝛾 − 𝑝1 𝛾 𝑉1 2 2𝑔 + 𝑃1 𝛾 + ℎ1 − 𝐻𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 − 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 − 𝐻𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 𝑉2 2 2𝑔 + 𝑃2 𝛾 + ℎ2 Em um escoamento, usualmente desprezamos a parcela 𝑯𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔 e escrevemos a parcela 𝐻𝑒𝑖𝑥𝑜𝑠 como positiva, deixando a utilização do sinal para sinalizar se um eixo fornece energia ao sistema (sinal positivo) ou retira energia do mesmo (sinal negativo): Sendo assim, chegamos à forma mais usual da equação da energia, aplicada aos fluxos líquidos: 𝑽𝟏 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝟏 𝜸 + 𝒉𝟏 − 𝑯𝒑𝒆𝒓𝒅𝒂𝒔 ± 𝑯𝒆𝒊𝒙𝒐𝒔 = 𝑽𝟐 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝟐 𝜸 + 𝒉𝟐 Obs: a equação acima representa uma aproximação para o cálculo da relação de energias entre 2 pontos, considerando estes sempre no sentido do fluxo, o que significa o transporte da energia por uma linha de corrente. 15 Em um caso ideal, onde toda energia de montante é transferida a um ponto de jusante (desprezando as perdas), no qual não existe a ação de eixos mecânicos, a equação anterior seria escrita como: 𝑽𝟏 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝟏 𝜸 + 𝒉𝟏 = 𝑽𝟐 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝟐 𝜸 + 𝒉𝟐 Equação de Bernoulli - A quantidade resultante da soma 𝑽𝟏𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝟏 𝜸 + 𝒉𝟏 é conhecida como ENERGIA ou CARGA HIDRÁULICA; - A soma das parcelas 𝑷𝟏 𝜸 + 𝒉𝟏 é conhecida como CARGA PIEZOMÉTRICA; - A parcela 𝑽𝟏𝟐 𝟐𝒈 é denominada como TAQUICARGA ou CARGA CINÉTICA. 16 Exemplos de aplicação: Exemplo 1) Uma mangueira de 10 mm de diâmetro é ligada a uma conexão que fornece água a uma pressão de 400 kPa. Se a vazão escoada nestas condições é de 1 l/s, qual é a altura máxima (𝒉) que o jato livre atinge na vertical? Considere que as perdas na mangueira podem ser aproximadas por 𝟓𝑽𝟐 𝟐𝒈 , onde 𝑉 corresponde à velocidade de escoamento na mangueira . 17 Resolução... C B A O primeiro passo para a resolução deste problema é converter todos os dados disponíveis para o SI: - D= 10 mm = 0,01 m, o que resulta numa área A igual a 0,00007854 m²; - Q = 1 l/s = 0,001 m³/s; - P = 400 kPa = 400000 Pa. - g = 9,81 m/s² e 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 9810 𝑁/𝑚³ Agora devemos perceber que as duas equações aplicáveis a estes problema são a equação da continuidade e da energia, que podem ser simplificadas, NESTE CASO, pela suposição das hipóteses de escoamento permanente, unidimensional e de perfil uniforme, onde a água é um fluido incompressível. Vamos escolher, para a análise, os pontos A, B e C. A equação da continuidade aplicada entre os pontos A e B, sob as hipóteses adotadas, resulta em: −𝑉𝐴𝐴𝐴 + 𝑉𝐵𝐴𝐵 = 0 𝑉𝐴𝐴𝐴 = 𝑉𝐵𝐴𝐵 Porém, 𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐴 𝑽𝑨 = 𝑽𝑩 = 𝑽 Percebe-se que a velocidade 𝑉 pode ser determinada pela definição de vazão: 𝑄 = 𝑉. 𝐴 𝑽 = 𝑸 𝑨 Aplicando a equação da energia ao longo de uma linha de corrente que passa primeiramente entre os pontos A e B, e, logo em seguida, entre B e C, tem-se: ℎ𝐴 + 𝑉𝐴 2 2𝑔 + 𝑃𝐴 𝛾 − 𝐻𝑝𝐴𝐵 = ℎ𝐵 + 𝑉𝐵 2 2𝑔 + 𝑃𝐵 𝛾 ℎ𝐵 + 𝑉𝐵 2 2𝑔 + 𝑃𝐵 𝛾 − 𝐻𝑝𝐵𝐶 = ℎ𝐶 + 𝑉𝐶 2 2𝑔 + 𝑃𝐶 𝛾 (Entre B e C) (Entre A e B) Podemos relacionar, combinando estas duas expressões, diretamente o ponto A com o C (Isso poderia ter sido feito diretamente, entretanto aqui está demonstrado o raciocínio ao aluno) 𝒉𝑨 + 𝑽𝑨 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝑨 𝜸 − 𝑯𝒑𝑨𝑩 − 𝑯𝒑𝑩𝑪 = 𝒉𝑪 + 𝑽𝑪 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝑪 𝜸 Reconhecemos que a pressão de 400 kPa é relativa (pois trata-se de um conduto forçado e de um líquido), temos também que 𝑷𝑪 é nulo (em termos relativos, pois está aberto à atmosfera). Além disso, temos que 𝒉𝑨 = 𝟎 ao escolhermos o ponto A como nosso referencial. As perdas entre A e B são estimadas (conforme o enunciado) por 𝟓𝑽𝟐 𝟐𝒈 , ao passo que as perdas entre B e C são desprezíveis (o atrito da água com o ar é desprezível). Por fim, tem-se que 𝒉𝑪 = 𝒉 e que 𝑽𝑪 = 𝟎 (pois o jato atingiu a altura máxima nesse ponto, não possuindo energia para subir ainda mais). Sendo assim, chegamos à expressão: 𝑽𝑨 𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝑨 𝜸 − 𝟓𝑽𝟐 𝟐𝒈 = 𝒉 𝑽𝟐 𝟐𝒈 + 𝑷𝑨 𝜸 − 𝟓𝑽𝟐 𝟐𝒈 = 𝒉 𝑷𝑨 𝜸 − 𝟒𝑽𝟐 𝟐𝒈 = 𝒉 𝑷𝑨 𝜸 − 𝟐𝑸𝟐 𝒈𝑨² = 𝒉 O que resulta em: 𝒉 ≈ 𝟕, 𝟕𝟐 𝒎 18 Exemplo 2) Um grande reservatório cilíndrico de 4 m de diâmetro, aberto à atmosfera, descarrega água, na forma de jato livre, por um conduto de descarga localizado no seu fundo. Sabendo que a lâmina de água inicial existente no reservatório é de 12 m, calcule a velocidade de rebaixamento de nível do mesmo para vários diâmetros do tubo de descarga. Quais as conclusões? Reservatório Água Jato livre h = 12 m D = 4 m d 19 Resolução... A B Linha de corrente Primeiramente, vamos considerar as hipóteses de escoamento em regime permanente, incompressível, 1D e de perfil uniforme. Assim, podemos aplicar a equação da continuidade e a equação da energia entre os pontos A e B. Equação da continuidade entre A e B: −𝑉𝐴𝐴𝐴 + 𝑉𝐵𝐴𝐵 = 0 𝑉𝐴𝐴𝐴 = 𝑉𝐵𝐴𝐵 𝑉𝐴 𝜋𝐷² 4 = 𝑉𝐵 𝜋𝑑² 4 𝑽𝑩 = 𝑽𝑨 𝑫 𝒅 𝟐 Equação da energia entre A e B: Desconsiderando as perdas: ℎ𝐴 + 𝑉𝐴 2 2𝑔 + 𝑃𝐴 𝛾 = ℎ𝐵 + 𝑉𝐵 2 2𝑔 + 𝑃𝐵 𝛾 Assumindo B como o referencial, e trabalhando com pressões relativas... 𝒉 + 𝑽𝑨 𝟐 𝟐𝒈 = 𝑽𝑩 𝟐 𝟐𝒈 Combinando as expressões (I) e (II): ℎ + 𝑉𝐴 2 2𝑔 = 1 2𝑔 𝑉𝐴 𝐷 𝑑 2 2 ℎ + 𝑉𝐴 2 2𝑔 = 1 2𝑔 𝑉𝐴 2 𝐷 𝑑 4 𝑉𝐴 2 2𝑔 1 − 𝐷 𝑑 4 = −ℎ 𝑽𝑨 = −𝟐𝒈𝒉 𝟏 − 𝑫 𝒅 𝟒 (III) (II) (I) 20 Podemos arbitrar diversos valores para “d” e, por meio da expressão (III), calcular como o valor de 𝑉𝐴 é modificado. Para tal escolhemos os valores de “d” como uma dada porcentagem do diâmetro “D” do reservatório (d = %D): Podemos observar que valores de diâmetros “d” inferiores a 10% do valor de “D” acarretam em valores muito pequenos de VA, quando comparados aos valores de VB. Isto equivale a dizer que, quando as dimensões do reservatório forem muito maiores que as dimensões do conduto de saída, a velocidade de rebaixamento de nível será praticamente nula, de tal forma que a parcela cinética referente a esta velocidade possa ser desprezada na equação da energia. CONCLUSÃO: Em reservatórios, a dimensão do conduto de saída é muito pequena, então tem-se: 𝑽𝒓𝒆𝒃𝒂𝒊𝒙𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 ≈ 𝟎 Aula 12 – Equação integral da conservação da energia. Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. Em Recursos Hídricos) Email: enggfv.aulas@gmail.com