Slide - Tópicos sobre Análise Dimensional e Semelhança - 2024-1

Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Instituto de Pesquisas Hidráulicas Departamento: Hidromecânica e Hidrologia IPH01107 – Mecânica dos fluidos / Turmas C e D 1 Aula 14: Tópicos sobre análise dimensional e semelhança Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental) IPH01107 – Mecânica dos Fluidos II Pontos de interesse deste conteúdo: 2 Análise Dimensional • O que é? • Para que serve? • Principais números adimensionais na Mecânica dos Fluidos. Semelhança • Teoria de modelos. • Tipos de modelos. • Aplicações. Relembrando... ✓ Dimensões primárias ou fundamentais em Mecânica dos Fluidos: - Massa [M] - Comprimento [L] - Tempo [T] ✓ Sistema alternativo [F, L, T]: - Baseia-se na 2ª Lei de Newton: 𝑭 = 𝑴. 𝑳 𝑻𝟐 ✓ Homogeneidade dimensional 3 Muitos problemas da mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos apenas com procedimentos analíticos. Procedimentos experimentais podem auxiliar. (Abordagem empírica/Experimental) Modelagem Computacional também traz importantes contribuições (Computational Fluid Dynamics) 4 Introdução Exemplo: ✓ Escoamento em regime permanente, incompressível, de um fluido Newtoniano em um tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. ✓ Se deseja avaliar a queda de pressão no escoamento por unidade de comprimento de tubo. D=cte V1 = V2 z1 = z2 horizontal 1 2 Aplicando a eq. da energia: 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠1−2 = 𝑝1 − 𝑝2 𝛾 = ∆𝑝 𝛾 Δ𝑝 = 𝑓(𝐷, 𝜌, 𝜇, 𝑉) Observação: Não foi incluído o comprimento da tubulação, pois se propõe a análise por unidade de comprimento da tubulação. 5 1ª Hipótese: analisar uma variável de cada vez, mantendo as demais constantes Representação gráfica da queda de pressão no escoamento em um tubo com a variação de diferentes variáveis. Dp V D, r, m constantes Dp D V, r, m constantes Dp r D, V, m constantes Dp m D, r, V constantes Dificuldade na experimentação. Dificuldade em utilizar as informações para generalizar os resultados. 6 Hipótese alternativa: considerando análise dimensional ✓ Agrupar as variáveis envolvidas em combinações adimensionais - denominados grupos adimensionais. 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 = 𝜑 𝜌𝑉𝐷 𝜇 Δ𝑝 = 𝑓(𝐷, 𝜌, 𝜇, 𝑉) Análise dimensional Representação gráfica da queda de pressão utilizando parâmetros adimensionais. 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 𝜌𝑉𝐷 𝜇 7 Teorema  (Pi) de Buckingham – Passo a passo 1) Faça uma lista com todas as grandezas que estão envolvidas no problema – definição das “m” grandezas que interferem no problema. 2) Expresse cada uma das grandezas em função das “n” dimensões básicas. Δ𝑝 = 𝑓(𝐷, 𝜌, 𝜇, 𝑉) Exemplo: m = 5 grandezas Definir sistema MLT ou FLT – 3 dimensões básicas Exemplo: Dp = [FL-3] D = [L] r = [FL-4T2] m = [FL-2T] V =[LT-1] Queda de pressão por unidade de comprimento de tubulação = F/L²/L 8 3) Determine o número de termos . Número de termos  = m – n Exemplo: Número de termos  = m - n = 5-3 = 2 termos  4) Escolha da base ou das variáveis repetidas Escolher “m” das “n” grandezas, dimensionalmente independentes, que contenham, em conjunto, as “m” dimensões, e usá-las como base. É importante lembrar que não podemos usar a variável dependente como uma das variáveis repetidas. Geralmente escolhem-se as variáveis repetidas entre aquelas que são dimensionalmente mais simples. Exemplo: Variáveis repetidas ou base: D, r, V 9 Teorema  (Pi) de Buckingham – Passo a passo 5) Formar (m-n) parâmetros adimensionais, com as “n” grandezas escolhidas para a base e cada uma das grandezas restantes separadamente. Exemplo: 1 = Dx1.ry1.Vz1. Dp = [L]x1. [FL-4T2]y1.[LT-1]z1.[FL-3] = F0.L0.T0 F0 → y1+1 = 0 → y1=-1 L0 →x1 -4y1+z1-3= 0 → x1 = 1 T0 →2y1-z1 = 0 → z1=-2 1=D1.r-1.V-2. Dp 𝜋1 = 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 2 = Dx2.ry2.Vz2. m 𝜋2 = 𝜇 𝜌𝑉𝐷 Seguindo o mesmo procedimento 10 Teorema  (Pi) de Buckingham – Passo a passo 6) Verifique se todos os termos  são adimensionais. Exemplo: 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 = 𝐿 𝐹/𝐿3 𝐹𝐿−4𝑇2 𝐿2𝑇−2 = 𝐹0𝐿0𝑇0 𝜌𝑉𝐷 𝜇 = 𝐹𝐿−4𝑇2 𝐿𝑇−1 𝐿 𝐹𝐿−2𝑇 = 𝐹0𝐿0𝑇0 7) Expresse o resultado da análise como uma relação entre os termos  e analise o significado da relação obtida. 𝐷Δ𝑝 𝜌𝑉2 = 𝜑 𝜇 𝜌𝑉𝐷 Exemplo: Na etapa 7 são necessários dados experimentais ou outras análises que permitam estabelecer uma relação entre os adimensionais encontrados. 11 Teorema  (Pi) de Buckingham – Passo a passo Aplicação – exemplo 1: Deseja-se estudar, com o uso da análise dimensional, o escoamento de um líquido sobre um vertedor retangular, sem contração lateral, conforme figura. O vertedor está montado num canal de largura b. Determinar uma fórmula que relacione a vazão Q do líquido, supondo-se que a vazão dependa dos fatores: Q = f (H, b, g, r) H b planta Corte longitudinal 12 Solução: m = 5 grandezas Q = f (H, b, g, r) n = 3 dimensões m - n = 2 termos  Q = [L³ T-1] H, b = [L] g = [L T-2] r = [M L-3] Admitindo base = b, g, r 2 = bx2.gy2. r z2. H 1 = bx1.gy1. r z1. Q Analisando as equações em termos dimensionais, encontramos os expoentes que satisfazem os termos  serem adimensionais. x1 = -1/2 y1 = -5/2 z1 = 0 x2 = -1 y2 = 0 z2 = 0 𝜋1 = 𝑄 𝑏5/2. 𝑔1/2 𝜋2 = 𝐻 𝑏 𝑄 𝑏5/2. 𝑔1/2 = 𝑓 𝐻 𝑏 A análise dimensional vai até aqui. Relação funcional: 13 Se utilizamos outra base = H, g, r Observem que a base anterior era “b, g, r” – a nova base trocou H por b – como ambas tem mesma dimensão (L), o resultado será idêntico apenas trocando b por H. 𝜋1 = 𝑄 𝐻5/2. 𝑔1/2 𝜋2 = 𝑏 𝐻 𝑄 𝐻5/2. 𝑔1/2 = 𝑓 𝑏 𝐻 Teremos os seguintes adimensionais: Relação funcional: Como podemos seguir a partir da análise dimensional? Novamente a análise dimensional vai até aqui. 14 𝑄 𝑏5/2. 𝑔1/2 = 𝑓 𝐻 𝑏 𝑄 𝐻5/2. 𝑔1/2 = 𝑓 𝑏 𝐻 Qual das bases produziu um resultado útil? H b planta Corte longitudinal 𝑄 = 𝑘. 𝑏. 𝑔1/2𝐻3/2 𝑄 𝐻5/2. 𝑔1/2 = 𝑘. 𝑏 𝐻 Fórmula clássica para vertedouros retangulares 15 Alguns adimensionais conhecidos na Mecânica dos Fluidos ✓ Coeficiente de Pressão ou Número de Euler Δ𝑝 𝜌. 𝑔 1 𝑉2 2. 𝑔 = Δ𝐻 𝑉2 2𝑔 = 𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆Ã𝑂 𝐸𝑆𝑇Á𝑇𝐼𝐶𝐴 𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆Ã𝑂 𝐷𝐼𝑁Â𝑀𝐼𝐶𝐴 Δ𝑝. 𝐴 𝜌𝑉2 2 . 𝐴 = 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴 𝐷𝐸 𝑃𝑅𝐸𝑆𝑆Ã𝑂 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴 𝐷𝐸 𝐼𝑁É𝑅𝐶𝐼𝐴 𝐸𝑢 = Δ𝑝 𝜌𝑉2 Importante em escoamentos causados por diferença de pressão. Ex: escoamentos em condutos forçados. 16 Alguns adimensionais conhecidos na Mecânica dos Fluidos 𝐹𝑟 = 𝑉 𝑔. 𝐿 ✓ Número de Froude É importante ressaltar que o número de Froude não é igual a razão entre as forças mas indica algum tipo de medida da influência média destas duas forças. 𝐹𝑟2 = 𝑉2 𝑔𝐿 = 𝑉2𝜌𝐴 𝑔𝐿𝜌𝐴 = 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 𝐷𝐸 𝐼𝑁É𝑅𝐶𝐼𝐴 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 𝐺𝑅𝐴𝑉𝐼𝑇𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁𝐴𝐼𝑆 A interpretação física do número de Froude é que ele representa uma medida, ou índice, das importâncias relativas das forças de inércia que atuam na partícula fluida e o peso da partícula. Importante nos escoamentos com superfície livre. Identifica se o escoamento é rápido/supercrítico (Fr > 1) ou lento/subcrítico (Fr < 1). 17 Alguns adimensionais conhecidos na Mecânica dos Fluidos ✓ Número de Reynolds Re = 𝜌𝑉𝐿 𝜇 𝑉𝐿 𝑉𝐿 = 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 𝐷𝐸 𝐼𝑁É𝑅𝐶𝐼𝐴 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 𝑉𝐼𝑆𝐶𝑂𝑆𝐴𝑆 𝑅𝑒 = 𝜌𝑉𝐿 𝜇 Permite classificar os escoamentos quanto ao grau de turbulência: laminar, transição ou turbulento. Importante no dimensionamento de condutos forçados. 18 Alguns adimensionais conhecidos na Mecânica dos Fluidos ✓ Número de Weber 𝑊 = 𝜌𝑉2𝐿 𝜎 𝑊 = 𝜌𝑉2𝐿 𝜎 𝐿 𝐿 = 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 𝐷𝐸 𝐼𝑁É𝑅𝐶𝐼𝐴 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 𝐷𝐸 𝑇𝐸𝑁𝑆Ã𝑂 𝑆𝑈𝑃𝐸𝑅𝐹𝐼𝐶𝐼𝐴𝐿 Importante nas interfaces gás-líquido, líquido-líquido e também onde as interfaces estão em contato com um contorno sólido. Exige a presença de superfície livre, mas quando grandes objetos são envolvidos, como embarcações em um fluido tal como a água, esse efeito é bastante pequeno. 19 Alguns adimensionais conhecidos na Mecânica dos Fluidos ✓ Número de Mach 𝑀 = 𝑉 𝐸/𝜌 = 𝑉 𝑐 𝑀 = 𝑉 𝐸/𝜌 2 𝜌𝐴 𝜌𝐴 = 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 𝐷𝐸 𝐼𝑁É𝑅𝐶𝐼𝐴 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 𝐸𝐿Á𝑆𝑇𝐼𝐶𝐴𝑆 Importante no estudo de escoamentos compressíveis, como na análise do golpe de aríete, em hidráulica e no estudo de escoamentos supersônicos na aeronáutica. 20 Aplicação – exemplo 2: Uma investigação empírica foi realizada com o fim de determinar o período  de oscilação de colunas de líquido colocadas em tubos em forma de “U” quando deslocadas de sua posição. Cinco experiências foram realizadas obtendo-se os resultados da tabela a seguir. Determine F(, L, D, r, g)=0. massa específica (g/cm³) Comprimento (cm) Diâmetro (m) Período (s) 1 1,0 10,0 1,0 0,45 2 13,6 21,0 1,0 0,65 3 0,8 55,0 2,5 1,05 4 1,2 8,2 0,5 0,41 5 1,2 12,0 1,0 0,49 21 Solução: m = 5 grandezas F(, L, D, r, g)=0 n = 3 dimensões m - n = 2 termos   = [T] L, D = [L] r = [M L-3] g = [L T-2] Admitindo base = g, D, r 2 = gx2.Dy2. r z2. L 1 = gx1.Dy1. r z1.  Analisando as equações em termos dimensionais, encontramos os expoentes que satisfazem os termos  serem adimensionais. x1 = 1/2 y1 = -1/2 z1 = 0 x2 = 0 y2 = -1 z2 = 0 𝜋1 = 𝑔1/2. 𝜏 𝐷1/2 𝜋2 = 𝐿 𝐷 A análise dimensional vai até aqui. Vamos utilizar os dados experimentais para buscar uma relação entre 𝜋1 e 𝜋2. 22 𝜋1 = 𝑔1/2. 𝜏 𝐷1/2 𝜋2 = 𝐿 𝐷 𝜋1−1. 1000 = 𝐷1/2 𝑔1/2. 𝜏 . 1000 𝜋2−1. 1000 = 𝐷 𝐿 . 1000 massa específica (g/cm³) comprimento (cm) diâmetr o (cm) período (s) 𝐷1/2 𝑔1/2.𝜏 . 1000 𝐷 𝐿 . 1000 1 1 10 1 0.45 70.96 100.00 2 13.6 21 1 0.65 49.13 47.62 3 0.8 55 2.5 1.05 48.09 45.45 4 1.2 8.2 0.5 0.41 55.08 60.98 5 1.2 12 1 0.49 65.17 83.33 23 y = 0,4253x + 28,986 R² = 0,9977 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 20 40 60 80 100 120 𝑦 = 𝐷1/2 𝑔1/2. 𝜏 . 1000 𝑥 = 𝐷 𝐿 . 1000 𝐷1/2 𝑔1/2.𝜏 . 1000 = 0,4253. 𝐷 𝐿 . 1000 + 28,986 24 Semelhança escala 1:50 escala 1:100 Protótipo UHE Porto Colômbia 25 Semelhança ✓ O uso de modelos físicos procura alcançar resultados que possam descrever o comportamento de uma estrutura similar real. ✓ Para isso é necessário que se obedeçam leis de semelhança, onde pode ser estabelecida a relação existente entre o modelo físico e outro sistema (protótipo). 26 Efeito de Escala Modelo construído com semelhança de Froude Escoamento real Deslocamento de um navio - vista superior 27 Tipos de semelhança ✓Semelhança geométrica ✓Semelhança cinemática ✓Semelhança dinâmica 28 Semelhança geométrica Protótipo Escala real Modelo Escala 1:10 Fonte: White Pontos homólogos Implica na semelhança de forma entre o modelo e o protótipo. Existe uma razão fixa entre os comprimentos homólogos no modelo e no protótipo. A semelhança geométrica envolve escalas pertinentes às seguintes grandezas: comprimentos, áreas e volumes. 𝜆 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 = Lr 𝐴𝑚 𝐴𝑝 = 𝐿𝑚2 𝐿𝑝2 = 𝐿𝑟2 29 Bloco 1 ATENÇÃO!! Semelhança Geométrica não é suficiente! Blocos 1 e 2 são geometricamente semelhantes, mas os escoamentos em torno deles são diferentes. 30 Bloco 2 Semelhança Cinemática Protótipo Modelo Semelhança cinemática - as velocidades em pontos correspondentes têm a mesma direção e sentido e diferem apenas por um fator de escala constante. O arranjo geométrico entre as linhas de corrente deve ser o mesmo. 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑚/𝑇𝑚 𝐿𝑝/𝑇𝑝 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 ÷ 𝑇𝑚 𝑇𝑝 = 𝐿𝑟 𝑇𝑟 = 𝐹𝐴𝑇𝑂𝑅 𝐷𝐸 𝐸𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴 𝐷𝐸 𝑉𝐸𝐿𝑂𝐶𝐼𝐷𝐴𝐷𝐸 Semelhança de movimento - existe uma razão constante entre a velocidade de partículas homólogas, que se deslocam segundo trajetórias semelhantes, em direção e sentido. 31 Atenção: A semelhança geométrica é um pré- requisito! Semelhança Dinâmica Implica na semelhança das forças e das massas envolvidas no fenômeno. Todas as forças importantes devem estar relacionadas pelo mesmo fator de escala entre os escoamentos de modelo e de protótipo Todas as forças que são importantes na situação do escoamento devem ser consideradas. Escalas de forças única! 32 Atenção: A semelhança geométrica e a semelhança cinemática são pré-requisitos! Semelhança Dinâmica ෍ Ԧ𝐹 = Ԧ𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 + Ԧ𝐹𝑣𝑖𝑠 cos 𝑎 + Ԧ𝐹𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 + Ԧ𝐹𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 sup 𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + Ԧ𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎 = 𝑚. Ԧ𝑎 σ Ԧ𝐹 𝑚 σ Ԧ𝐹 𝑝 = 𝑚𝑚𝑎𝑚 𝑚𝑝𝑎𝑝 = 𝜌𝑚𝐿𝑚 3 𝜌𝑝𝐿𝑝 3 × 𝐿𝑟 𝑇𝑟 2 = 𝜌𝑟𝐿𝑟2 𝐿𝑟 𝑇𝑟 2 = 𝜌𝑟𝐿𝑟2𝑉𝑟2 = 𝐹𝐴𝑇𝑂𝑅 𝐷𝐸 𝐸𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴 𝐷𝐸 𝐹𝑂𝑅Ç𝐴𝑆 Como se avalia na prática se há semelhança dinâmica entre escoamentos de modelo e de protótipo? Adimensionais relacionados com o escoamento devem ser iguais em modelo e protótipo. 𝐹𝑟𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝐹𝑟𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑅𝑒𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝑅𝑒𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 𝐸𝑢𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝐸𝑢𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑊𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝑊𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑀𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 = 𝑀𝑝𝑟𝑜𝑡ó𝑡𝑖𝑝𝑜 Entre outros. 33 Semelhança incompleta Modelo construído com semelhança de Froude Escoamento real A resistência sobre um navio surge do atrito de contato da água com o casco (forças viscosas) e da resistência das ondas (forças de gravidade). A semelhança dinâmica completa requer que os números de Froude e de Reynolds sejam ambos reproduzidos entre modelo e protótipo. 34 Analisando igualdade dos números de Froude e de Reynolds: 𝑉𝑚𝐿𝑚 𝜈𝑚 = 𝑉𝑝𝐿𝑝 𝜈𝑝 𝑉𝑚 𝑔𝐿𝑚 = 𝑉𝑝 𝑔𝐿𝑝 𝐹𝑟𝑚 = 𝐹𝑟𝑝 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 1/2 𝑅𝑒𝑚 = 𝑅𝑒𝑝 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑝𝜈𝑚 𝐿𝑚𝜈𝑝 𝜈𝑚 𝜈𝑝 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 3/2 Relação exigida entre viscosidades e escala para atender Fr e Re. Se Lm/Lp = 1/100 (uma escala típica para comprimento em testes com navios), então 𝜈m/ 𝜈 p deve ser igual a 1/1000. O mercúrio é o único líquido com viscosidade cinemática inferior à da água. Contudo, a relação é apenas de uma ordem de grandeza inferior, aproximadamente; dessa forma, a razão requerida entre viscosidades cinemáticas para igualar os números de Reynolds não pode ser obtida. Conclusão: não é possível atender Re e Fr simultaneamente para uma escala 1:100. 35 Geralmente a água é o único fluido viável para testes de modelo com superfície livre. Estudos com modelos fornecem informações úteis mesmo quando a semelhança dinâmica completa não é obtida. Neste caso: 𝑉𝑚𝐿𝑚 𝜈𝑚 = 𝑉𝑝𝐿𝑝 𝜈𝑝 𝑉𝑚 𝑔𝐿𝑚 = 𝑉𝑝 𝑔𝐿𝑝 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑚 𝐿𝑝 1/2 𝑉𝑚 𝑉𝑝 = 𝐿𝑝 𝐿𝑚 As duas relações só podem ser atendidas se fosse utilizado um modelo em escala de protótipo – o que é inviável para a maioria dos casos. Em situações em que Re e Fr são importantes, geralmente se trabalha com 𝑭𝒓𝒎 = 𝑭𝒓𝒑 e com um valor mínimo de Re, que é chamado de Re de soleira (Re0). 36 Escolha da Escala A escolha da escala, via de regra, não é totalmente arbitrária. Deve-se levar em conta certos fatores: • Condições mínimas de semelhança; • Precisão das medidas - o erro do modelo será extrapolado para o protótipo; • Equipamentos disponíveis; • Custo do estudo face o valor econômico da obra; • Espaço disponível; • Capacidade de recalque das bombas. 37 Problemas associados à Modelagem Na análise experimental realizada em laboratórios, geralmente são utilizados dois fluidos principais: água ou ar. Nesse contexto, podem surgir alguns problemas de semelhança como, por exemplo, não ser possível garantir concomitantemente que: 𝑹𝒆𝒑𝒓𝒐𝒕ó𝒕𝒊𝒑𝒐 = 𝑹𝒆𝒎𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 𝑭𝒓𝒑𝒓𝒐𝒕ó𝒕𝒊𝒑𝒐 = 𝑭𝒓𝒎𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 38 É bastante difícil garantir estas duas relações, ao mesmo tempo, em estudos experimentais usuais! Problemas associados à Modelagem Esta característica, muitas vezes, ocasiona valores absurdos de algumas propriedades (como a velocidade e a perda de carga, por exemplo). Desta forma, levando em consideração que a grande maioria dos escoamentos ocorre no regime Turbulento, uma condição mínima deve ser suficiente para garantir que a turbulência completa ocorra tanto no modelo quanto no protótipo. Esta condição impõe um critério mínimo para que seja garantido o regime turbulento rugoso (Turbulência completa): Número de Reynolds de Soleira. 39 Número de Reynolds de Soleira 40 Turbulência completa Turbulência completa Influência do atrito com as paredes... Escoamento em condutos forçados (Diagrama de Moody) Escoamento sobre placa plana (Ábaco do coeficiente de arrasto) 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒆𝒊𝒓𝒂 ≈ 𝟏𝟎𝟔 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒆𝒊𝒓𝒂 ≈ 𝟏𝟎𝟕 De forma prática... 𝟏𝟎𝟔 < 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒆𝒊𝒓𝒂 < 𝟏𝟎𝟕 Alguns experimentalistas costumam utilizar: 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒆𝒊𝒓𝒂𝑬𝒔𝒕.𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 ≈ 𝟏𝟎𝟔 Aplicação – Exemplo 3 Deseja-se determinar a força exercida pelo vento sobre um edifício de forma cilíndrica, com 100 m de altura e 25 m de diâmetro construído à beira-mar. A velocidade do vento é de 30 m/s. Os ensaios deverão, em princípio ser realizados numa canaleta horizontal com água escoando sobre um modelo reduzido. As dimensões do modelo deverão ser tais que haja uma altura h de água acima do mesmo, grande o suficiente para evitar a formação de ondas superficiais. Nestas condições, o fator de escala resulta  = 1:200, por razões do espaço disponível. Um dinamômetro permitirá a leitura da força Fm, no modelo. Qual o valor previsto para Fp ? Sabendo-se que F = Cd.r.V2.H.D / 2 e que Re soleira = 106. Devido a canaleta ser horizontal e serem eliminadas as ondas superficiais o número de Froude deixa de ter importância. H=50 cm h Protótipo Modelo Altura (m) 100 0,5 Diâmetro (m) 25 0,125 V (m/s) 30  (m²/s) 1,5 x 10-5 10-6 r (kg/m³) 1,2 1000 41 Adimensionais envolvidos neste problema: 𝑅𝑒 = 𝑉. 𝐿 𝜈 𝑉𝑚𝐿𝑚 𝜈𝑚 = 𝑉𝑝𝐿𝑝 𝜈𝑝 𝐶𝑑 = 𝐹 𝜌. 𝑉2. 𝐻. 𝐷 2 𝑉𝑚 = 30. 10−6. 200 1,5. 10−5. 1 = 400m/s Excessivamente alta – não há como ensaiar. Se o ensaio fosse realizado em túnel aerodinâmico (ar), a velocidade no modelo seria ainda mais elevada (6000 m/s). Re0 = 106: 𝑅𝑒𝑝 = 30.25 1,5. 10−5 = 5. 107 > 106 𝑅𝑒𝑚 = 106 = 𝑉𝑚. 0,125 10−6 . 𝑉𝑚 = 8𝑚/𝑠 Ainda é uma velocidade elevada para ocorrer em um canal horizontal, porém seria possível movimentar o modelo nesta velocidade em um tanque com água parada e ter um dispositivo para medir a força. 42 Após a definição da velocidade de modelo, para avaliar a relação entre forças de modelo e protótipo, utiliza-se : 𝐶𝑑 = 𝐹 𝜌. 𝑉2. 𝐻. 𝐷 2 𝐶𝑑𝑚 = 𝐶𝑑𝑝 𝐹𝑝 = 𝐹𝑚. 𝑉𝑝 𝑉𝑚 2 . 𝐻𝑝 𝐻𝑚 . 𝐷𝑝 𝐷𝑚 . 𝜌𝑝 𝜌𝑚 Protótipo Modelo Altura (m) 100 0,5 Diâmetro (m) 25 0,125 V (m/s) 30 8  (m²/s) 1,5 x 10-5 10-6 r (kg/m³) 1,2 1000 𝐹𝑝 = 𝐹𝑚. 30 8 2 . 100 0,5 . 25 0,125 . 1,2 1000 𝐹𝑝 = 675. 𝐹𝑚 43 Aplicação – Exemplo 4 As dimensões lineares de um modelo de medidor Venturi são 1/5 daquelas do protótipo. O protótipo opera em água a 20ºC e o modelo em água a 93,3°C. Se no protótipo a velocidade na garganta de 0,61 m de diâmetro é 6,1 m/s, qual a vazão necessária no modelo para haver semelhança ? Protótipo Modelo Fluido Água, 20ºC Água, 93ºC r (kg/m³) 998,2 963,3 m (N.s/m²) 1,005.10-3 0,306.10-3 D (m) 0,61 0,122 V (m/s) 6,1 Venturi 𝑉𝑚𝐿𝑚𝜌𝑚 𝜇𝑚 = 𝑉𝑝𝐿𝑝𝜌𝑝 𝜇𝑝 𝑅𝑒𝑚 = 𝑅𝑒𝑝 → 𝑉𝑚= 9,6𝑚/𝑠 𝑄𝑚 = 𝑉𝑚. 𝐴𝑚 = 0,112𝑚3/𝑠 44 Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) Instituto de Pesquisas Hidráulicas Departamento: Hidromecânica e Hidrologia IPH01107 – Mecânica dos fluidos / Turmas C e D 45 Aula 14: Tópicos sobre análise dimensional e semelhança Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental) IPH01107 – Mecânica dos Fluidos II