Equacao da Continuidade - Exercicios Resolvidos e Explicacoes UFRGS

UFRGSIPHDHH 1 V média REAL MODELO Assim a velocidade média do escoamento passa a ser considerada como uma uma velocidade imaginária que animando de maneira uniforme as linhas de corrente do escoamento produziria a mesma vazão que aquela produzida pelo perfil de velocidade real Equações básicas Continuidade Quantidade de movimento Soma de Bernoulli Equação da continuidade Equação da Continuidade Em regime permanente a massa de fluido que atravessa uma seção qualquer da corrente é sempre a mesma Massa de fluido que atravessa uma seção qualquer do escoamento AL M Volume Massa que atravessa uma seção na unidade de tempo AV t AL M t onde A é a área V é a velocidade média do escoamento e L é a distância percorrida pela massa fluida em deslocamento LVt Equação da Continuidade Considerando um tubo de corrente A V t A V M 2 2 1 1 Variação da massa M no seu interior durante um t é igual à diferença entre a massa que nele entra e a que dele sai durante este intervalo de tempo Em regime permanente a massa de fluido contida no interior do tubo de corrente é invariável 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 A V V A 0 A V A V 0 t M Equação da Continuidade Considerando que a água é fluido incompressível a massa específica não varia com a variação da pressão que sobre ela age As massas específicas do fluido nas seções de entrada e de saída do tubo de corrente são iguais Q A V A V 2 2 1 1 Assim a equação da conservação da massa passa a ser escrita como 12 Exemplo 1 Qual deve ser o diâmetro de um conduto circular de uma hidrelétrica para fornecer 1200 ls de água não devendo a velocidade do escoamento ultrapassar 19 ms Solução Aplicando a equação da continuidade 0 897 m 91 x 4x1200 x10 D V 4Q D 4 V D AV Q 3 2 R diâmetro de 900mm Exemplo 2 Um conduto é constituído por dois trechos um com 250mm e outro com 200mm Sabendo que a velocidade no primeiro conduto é de 06ms qual é a vazão e a velocidade no segundo trecho Solução Aplicando a equação da continuidade R Vazão 295 litross D1 D2 A1V1 A2V2 π0252 4 x 06 π0202 4 V2 V2 06 x 025 020 2 094ms Assim V2 V2 D1 D2 2 Q A1V1 004909 06 002945m3s Q A2V2 0031416 0938 002945m3s A vazão que passa nos condutos é dada por Note que a vazão que passa no conduto com diâmetro D1 é igual como deveria ser à vazão que passa no conduto com diâmetro D2 Equação conservação de energia Soma de Bernoulli 9 UFRGSIPHDHH Equação da Conservação da Energia Considere o tubo de corrente cujas seções A1 e A2 sofrem um deslocamento ao longo de um intervalo de tempo t Seja z1 e z2 as cotas do eixo do conduto p1 e p2 as pressões e v1 e v2 as velocidades médias nestas seções Massa O escoamento em condutos sob pressão contém energia sob três formas cinética potencial de posição e potencial de pressão A soma de Bernoulli expressa a conservação destas formas de energia do líquido em movimento correlacionando energia cinética com energia potencial de pressão Peso m1 ρ 𝓋 𝜌A1V1t W1 m1 g ρ A1V1t g 10 UFRGSIPHDHH Distância percorrida dS1 V1t Volume que atravessa a seção 𝓋 A1dS1 A1V1t Equação da Conservação da Energia Energia Cinética A energia cinética de uma massa m de líquido é a medida de sua capacidade em realizar trabalho devido à velocidade V que anima suas partículas sendo comumente expressa por ½mV² E1 A1 V1 L V t 2 2 A 2 V 2 E2 L V t 1 1 energia cinética EC 1 2 mV2 1 2 ρAVt V2 1 2 ρ A t V3 energia cinética por unidade em peso 𝐸𝐶 𝑊 𝜌 𝐴 t 𝑉3 2 𝜌 𝐴 𝑉 t g 𝑉2 2 𝑔 11 UFRGSIPHDHH Cinética Taquicarga Equação da Conservação da Energia Energia potencial de posição A energia de posição é medida pela altura da localização da massa líquida acima de um plano de referência sendo avaliada através do trabalho realizado pela força peso para elevar o fluido até aquela posição Se a massa de água é elevada até uma altura z a energia requerida é o produto do peso pela distância na qual o volume de fluido foi elevado E1 A1 V1 L V t 2 2 A 2 V 2 E2 L V t 1 1 V W 12 UFRGSIPHDHH EP W z ρ A V t g z energia potencial energia potencial por unidade em peso 𝐸𝑃 𝑊 𝜌 𝐴 V t 𝑔 𝑧 𝜌 𝐴 𝑉 t g 𝑧 Cota Potencial Posição Equação da Conservação da Energia A energia potencial de pressão é a medida do trabalho feito pela força de pressão na massa líquida Se a pressão que atua na massa líquida é simbolizada por P o empuxo total na seção transversal é PA O trabalho efetuado pela força de empuxo é dado por E1 A1 V1 L V t 2 2 A 2 V 2 E2 L V t 1 1 EP P A VΔt EP W P A V Δt ρ A V t g P ρ g P γ Energia potencial de pressão 13 UFRGSIPHDHH energia potencial por unidade em peso Potencial Pressão Cota piezométrica Soma de Bernoulli Unidade em metros Carga Hidráulica H é a energia total que anima o escoamento expressa por unidade de tempo e de peso do fluido que escoa Altura Piezométrica 2g V P z H 2 P Z P V g 2 2 Cota Piezométrica Taquicarga 17001782 Energia cinética Energia potencial A soma de Bernoulli expressa a energia do escoamento sob forma de carga hidráulica 14 UFRGSIPHDHH x peso específico vazão tempo xdeslocamento força em peso xtempo vazão energia tempo força volume volume tempo forçaxdeslocamento H m to deslocamen H Como as três parcelas da soma de Bernoulli têm a dimensão de um comprimento é possível somálas Assim a carga H também tem a dimensão de um comprimento Cabe ressaltar que a dimensão comprimento é na realidade a simplificação das grandezas que compõem o quociente isto é Carga Hidráulica unidade no SI 15 UFRGSIPHDHH Soma de Bernoulli em termos de pressão zγ P γ γ V2 2g γ z ρg P V2 2g ρg ρg z P 1 2 ρV2 ต ρg z pressãopotencial ณP pressãoestática 1 2 ρ V2 pressãodinâmica A soma de Bernoulli pode ser expressa em termos de pressão multiplicando se os termos que a compõem pelo peso específico do fluido obtemos relembrando que 16 UFRGSIPHDHH 𝛾 𝜌 𝑔 Soma de Bernoulli representação gráfica L12 p1 1 2 Plano de referência Linha de energia Linha piezométrica Cota piezométrica Taquicarga z1 z2 p2 V12 2g V22 2g Plano de Carga Dinâmica Fluido Ideal 𝐻1 𝐻2 𝑧1 𝑝1 𝛾 𝑉1 2 2𝑔 𝑧2 𝑝2 𝛾 𝑉2 2 2𝑔 17 UFRGSIPHDHH Soma de Bernoulli representação gráfica L12 hp12 p1 1 2 Plano de referência Linha de energia Linha piezométrica Cota piezométrica Taquicarga z1 z2 p2 V12 2g V22 2g Perda de Carga Plano de Carga Dinâmica Fluido Real 𝐻1 𝐻2 ℎ𝑝 𝑧1 𝑝1 𝛾 𝑉1 2 2𝑔 𝑧2 𝑝2 𝛾 𝑉2 2 2𝑔 ℎ𝑝 18 UFRGSIPHDHH Orifícios são aberturas feitas nas paredes de reservatórios para a retirada de água A água por ação da carga hidráulica existente sobre o orifício flui através dele com uma velocidade dada por Exemplo 3 Vazão em orifício h 1 2 2gh V 2g V 0 0 0 0 h 2g V P z 2g V P z 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 Em uma primeira aproximação para a determinação da vazão que passa pelo orifício devemos multiplicar a velocidade do escoamento pela área do orifício 𝑄𝑜𝑟𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜 𝐴𝑜𝑟𝑖𝑓í𝑐𝑖𝑜𝑉2 19 UFRGSIPHDHH Aplicando a soma de Bernoulli entre as seções 1 e 2 do Venturi assinaladas na figura e determinando a relação entre as velocidades a partir da aplicação da equação da continuidade temos Exemplo 4 Tubo Venturi medição de vazão em condutos Reescrevendo a soma de Bernoulli e isolando a velocidade média na seção 2 2g V P 0 2g V P 0 2g V P z 2g V P z 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 da equação da continuidade 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 A V A V A V A V Q Q 2g V P 2g 1 A V A P 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 A A 1 P g P 2 V Isolando a velocidade V2 20 UFRGSIPHDHH FIM