Lista de Exercícios Resolvidos - Elasticidade e Constantes de Mola em Aço

Lista de Exercícios Unidade 2 21 Uma lâmina de aço de espessura ou altura t 3 mm comprimento L 300 mm largura b 20 mm módulo de elasticidade E 210 x 109 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento a Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical na posição da massa b Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola c Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante entre elas não há atrito d Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas a b 1 Diminuir o comprimento para 2 Aumento do momento de inércia dimensões da seção transversal c d 22 Uma máquina de massa m 500 kg é montada em uma viga de aço biapoiada de comprimento L 2 m que possui uma seção transversal retangular espessura 01 m largura 12 m e E 210 x 109 Nm2 Para reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k como mostra a Fig 21 Determinar o valor de k necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original sem a mola Assumir que a massa da viga é desprezível Figura 21 23 O eixo de um elevador em uma mina está suspenso por dois cabos de comprimento L 150 m e diâmetro d 20 mm cada Os cabos são feitos de aço com módulo de elasticidade E 210 x 109 Pa a Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do eixo para deslocamento na direção vertical b Determinar a constante de mola se o número de cabos for aumentado para quatro c Determinar a constante de mola se o diâmetro do cabo mudar para 30 mm com dois cabos a b c 24 Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento L 15 m e diâmetro d 18 mm O módulo de elasticidade transversal é G 85 GPa a Determinar a rigidez torcional da barra para torques aplicados em ambas extremidades b Determinar a rigidez torcional se o material da barra for bronze com G 41 GPa a b k 16810 3 Nm L 0238 m I 910 11 m 4 k 33610 3 Nm k 13410 3 Nm m k keq 25210 6 Nm keq 88010 3 Nm keq 17610 6 Nm keq 19810 6 Nm kt 584 Nmrad kt 282 Nmrad 25 Uma mola de lâminas múltiplas consiste de três lâminas de aço de comprimento L 03 m largura b 010 m e espessura t 0005 m Fig 22 Determinar a constante de mola para deflexão vertical se o módulo de elasticidade é E 210 x 109 Pa e o bloco de conexão é rígido Notar que as extremidades das lâminas permanecem sempre horizontais Figura 22 26 Uma mola torcional conectando dois eixos consiste de oito barras de d 8 mm conectadas como mostrado em um círculo de um raio R 100 mm na Fig 23 Se o seu comprimento é l 250 mm e o módulo de elasticidade do material na mola é E 210 GPa calcular a constante de mola torcional e notar que cada barra está carregada em flexão com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos Figura 23 27 Uma barra de torção consiste de três segmentos com diâmetros de 30 40 e 50 mm e comprimentos de 400 600 e 500 mm respectivamente conectados em série de forma a formar um eixo reto Se G 105 GPa determinar a constante de mola torcional 28 Uma mola helicoidal usada em uma transmissão de caminhão tem diâmetro do arame d 10 mm diâmetro D 100 mm e tem 15 espiras módulo de elasticidade transversal G 81 GPa a Encontrar a constante de mola axial b Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o número de espiras c Encontrar a constante de mola se duas molas estão conectadas em paralelo d Encontrar a constante de mola se duas molas são conectadas em série a b c d 𝑘 338 10 Nm keq 29210 3 Nm kteq 25910 3 Nmrad keq 12810 3 Nmrad k 67510 3 Nm k 33810 3 Nm keq 13510 3 Nm 29 Uma mola de retorno de uma manivela Fig 24 possui seis espiras e é feita de aço com E 21 x 1011 Pa d 3 mm e de Di 30 mm Determinar a constante torcional da mola Figura 24 210 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig 25 na direção de q Figura 25 211 Determinar a constante de mola equivalente torcional para o sistema mostrado na Fig 26 kt 895 Nmrad keq kt1 kt 2 k1 k2 l1 2 k3l2 2 Figura 26 212 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de diâmetro interno d e espessura t que possui a mesma constante de mola axial que o eixo sólido cônico mostrado na Fig 27 Figura 27 213 Determinar a massa equivalente referente à coordenada x para o balancim mostrado na Fig 28 Figura 28 2 8 7 8 7 6 5 3 1 3 2 2 1 3 2 1 4 R k k k k k k k k k k k k k k k k keq ø ö çç è æ D d l Dd t lt d l 4 1 2 2 2 1 m b J m a m O eq 214 Duas massas com momentos de inércia de massa J1 e J2 são colocadas em eixos rígidos rotativos que são ligados por engrenagens como mostra a Fig 29 Se o número de dentes nas engrenagens 1 e 2 são n1 e n2 respectivamente determinar o momento de inércia de massa equivalente correspondente a q1 Figura 29 215 Determinar o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig 210 com referência ao eixo de acionamento Na Fig 210 Ji e ni são os momentos de inércia de massa e os números de dentes respectivamente das engrenagens i i12 2N Figura 210 216 Um oscilador harmônico possui massa m 12 kg e constante de rigidez k 85 kNm Determinar a frequência natural em rads Hz cpm ciclos por minuto 217 Um oscilador harmônico possui massa m 10 kg e período de vibração natural medido em um osciloscópio igual a 35 ms Determinar a constante de mola 218 Um automóvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspensão 002 m sob condições estáticas Determinar a frequência natural do automóvel na direção vertical assumindo que o amortecimento seja desprezível 2 2 2 1 1 J n n J Jeq ø ö çç è æ å ø ö çç è æ N i i i i eq i n n n n n J J J 0 2 1 2 4 3 2 1 1 2 2 2 f 804 cpm k 322 10 3 Nm ωn 221 rads 219 Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolála de sua base Se a borracha está comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa determinar a frequência natural do sistema 220 Um sistema massamola possui um período natural de 021 seg Qual será o período se a constante de mola é a aumentada em 50 b reduzida em 50 a b 221 Um sistema massamola tem uma frequência natural de 10 Hz Quando a constante de mola é reduzida em 800 Nm a frequência natural é alterada em 45 a diferença Determinar a massa e a constante de mola do sistema original 222 Um oscilador harmônico de massa m 1 kg e rigidez k 40 kNm possui uma frequência natural próxima à frequência excitadora Decidiuse que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a frequência natural em 30 a diferença Determinar as possíveis mudanças requeridas Mantendo a massa Mantendo a rigidez 223 Uma mola helicoidal quando fixada em uma extremidade e carregada na outra requer uma força de 100 N para produzir um alongamento de 10 mm As extremidades da mola estão agora rigidamente fixadas e uma massa de 10 kg é colocada no ponto médio de seu comprimento Determinar o tempo necessário para completar um ciclo de vibração quando a massa vibra 224 O cilindro de um servomecanismo mostrado na Fig 211 possui um pistão com m 03 kg e está suportado por uma mola helicoidal de d 1 mm D 10 mm 10 espiras e G 105 GNm2 Determinar a frequência natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro Figura 211 225 O cilindro de uma válvula mostrado na Fig 212 tem um pistão com m 02 kg e é suportado por uma mola helicoidal de 6 espiras com d 2 mm D 30 mm G 105 GNm2 determinar a frequência natural de vibração do pistão se não há fluido na válvula fn 705 Hz Tn 0171 s Tn 0297 s m 0291 kg k 11510 3 Nm k1 196 kNm m1 204 kg Tn 993 ms ωn 661 rads Figura 212 226 Uma unidade de arcondicionado está ligada ao solo por quatro molas de borracha A massa da unidade é 300 kg e se deseja que a frequência natural para vibração vertical esteja entre 32 e 40 Hz Determinar a faixa permissível da constante de cada mola 227 Um desumidificador de ar está suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento posicionadas fixamente A massa da unidade é de 200 kg e se deseja que a frequência natural para vibração vertical seja maior do que 30 Hz e para vibração horizontal esteja entre 10 e 15 Hz assumir duplo engaste na flexão horizontal Determinar a faixa permissível para os diâmetros das barras E 210 GNm2 Rigidez horizontal flexão assumindo duplo engaste 𝑑 211 mm 𝑑 259 mm Rigidez vertical traçãocompressão Portanto as dimensões limites são determinadas pela rigidez horizontal 𝑑 211 mm 𝑑 259 mm 228 Um coletor de lixo limpo está fixado no solo por 4 colunas de seção tubular retangular de espessura 5 cm e comprimento 05 m A massa da unidade é 500 kg e se deseja que a frequência natural para vibração horizontal esteja entre 32 e 40 Hz assumir duplo engaste na flexão horizontal Determinar a faixa permissível para a largura da sessão tubular E 210 GNm2 Rigidez horizontal flexão assumindo duplo engaste 229 Um purificador de ar está fixado no solo por 6 pilares sólidos de ferro de forma retangular com 100 mm de largura por 50 mm de espessura com comprimento 2 m fixados tanto no solo como na unidade A massa da unidade é 800 kg Determinar as frequências naturais horizontais nas duas direções assumir duplo engaste na flexão horizontal E 210 GNm2 Rigidez horizontal segunda direção flexão assumindo viga em balanço Rigidez horizontal segunda direção flexão assumindo duplo engaste 230 Um pequeno compressor está apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 30 kNm cada uma na direção vertical e 40 kNm na direção horizontal A massa da unidade é 30 kg Determinar as frequências naturais para vibrações horizontal e vertical Direção horizontal Direção vertical ωn 805 rads kmin 303 MNm kmax 474 MNm dmin 232 mm bmin 241 mm bmax 376 mm ωn 496 rads ωn 992 rads ωnh 231 rads ωnv 200 rads 231 O núcleo móvel de um relé eletromagnético mostrado na Fig 213 possui massa m 12 gr e está suportado por uma mola com k 30 kNm Quando energizado fechamse os contatos que estão montados em lâminas flexíveis de espessura 08 mm e 6 mm de largura A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada Determinar a frequência natural com o relé aberto e fechado E 210 GNm2 Figura 213 Dados m 12 gr k 30 kNm t 08 mm b 6 mm l1 20 mm l2 15 mm e E 210 GNm2 Com o relé aberto Com o relé fechado 232 Achar a frequência natural de vibração do sistema massamola montado em um plano inclinado como mostrado na Fig 214 Figura 214 233 Determinar a expressão para a frequência natural do sistema mostrado na Fig 215 considerando desprezíveis as massas das plataformas ωn 500 rads ωn 25310 3 rads m k k n 1 2 w Figura 215 234 Uma mola helicoidal de rigidez k é cortada em duas metades e uma massa m é conectada às duas metades como mostra a Fig 216a O período natural deste sistema é 05 seg Se uma mola idêntica é cortada de forma que uma das partes tenha ¼ de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha ¾ com a massa sendo conectada às duas partes como mostra a Fig 216b qual será o período natural do sistema Figura 216 235 Três molas e uma massa estão presas a uma barra rígida PQ sem peso como mostra a Fig 217 Achar a frequência natural de vibração do sistema 236 O sistema mostrado na Fig 218 modela o mecanismo de contato de um relé eletromecânico a Determinar sua frequência natural de oscilação em torno do pivô b Determinar o valor da rigidez k que resultará em duas vezes a sua frequência natural ωn g W 3E1I1 l1 3 48E2I2 l2 3 Tn1 0433 s 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 3 k l k l k l m k l k l k n w Figura 218 a b É necessário quadruplicar a rigidez 237 O sistema mostrado na Fig 219 modela o braço de um mecanismo de elevação de peso Determinar sua frequência natural de oscilação em torno do ponto A Figura 219 238 Para o pêndulo invertido mostrado na Fig 220 que modela um tipo de sismógrafo a Determinar a frequência natural b Se a mola k1 é removida para que o valor da constante de mola k2 a frequência natural será zero Figura 220 a b ωn kl 2g W l 2 4a 2 2 2 2 1 2 2 1 k L k l m k l k n w 2 2 2 2 2 1 1 mL mgL k h h k n w k2 mgL h2 2 239 Para o pêndulo controlado mostrado na Fig 222 modelando um relógio a Determinar a frequência natural b Para que valor da massa m2 a frequência natural será zero Figura 221 a b 240 Uma barra uniforme rígida de massa m e comprimento l está articulada no ponto A e ligada a cinco molas como mostra a Fig 222 Achar a frequência natural do sistema se k 2 kNm kt 1 kNmrad m 10 kg e l 5 m Figura 222 241 Um cilindro de massa m e momento de inércia J0 rola livremente sem deslizar mas tem seu movimento restrito por duas molas de rigidez k1 e k2 como mostra a Fig 223 Achar a frequência natural de vibração e o valor de a que maximiza a frequência natural 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 m L L m m L g L m n w m2 m1 L1 L2 ωn 451 rads Figura 223 Para maximizar a R 242 Achar a equação do movimento da barra rígida uniforme AO de comprimento l e massa m mostrada na Fig 224 Achar também sua frequência natural Figura 224 243 Um disco circular uniforme de massa m é pivotado no ponto O como mostra a Fig 225 Achar a frequência natural do sistema Figura 225 244 O sistema mostrado na Fig 226 modela o braço de um sismógrafo vertical ωn R a k1 k2 JO mR 2 0 3 2 2 2 1 2 q q tk k l k a ml 2 2 2 2 1 3 ml k k l k a t n w 2 2 2 2 b a gb n w a Determinar sua frequência natural de oscilação em torno do pivô b Determinar o valor da rigidez k que resultará no dobro da sua frequência natural Figura 226 a b 245 Uma massa m é montada na extremidade de uma barra de massa desprezível e pode assumir três diferentes configurações como mostra a Fig 227 Determinar a configuração que proporciona a maior frequência natural Figura 227 A configuração que proporciona a maior frequência natural é a b 246 Para o pêndulo composto mostrado na Fig 228 determinar a frequência natural de vibração em torno do pivô O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é r Figura 228 2 2 mL ka n w k k 1 4 247 Para o pêndulo composto mostrado na Fig 229 determinar a frequência natural de vibração em torno do pivô O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é r Figura 229 248 Para o pêndulo composto mostrado na Fig 230 determinar a frequência natural de vibração em torno do pivô O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é r Figura 230 249 Para o pêndulo composto mostrado na Fig 231 determinar a frequência natural de vibração em torno do pivô O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é r Figura 231 4 2 2 4 2 2 9 24 16 4 12 D a D a D a gD n p p w 4 2 2 4 2 2 3 2 4 d D d D d D gd n w R g n 13 4 w 250 Para o pêndulo composto mostrado na Fig 232 determinar a frequência natural de vibração em torno do pivô O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é r Figura 232 251 Para o pêndulo composto mostrado na Fig 233 determinar a frequência natural de vibração em torno do pivô O elemento possui espessura unitária e as massas das barras vertical e horizontal são iguais a m Figura 233 252 Para o pêndulo composto mostrado na Fig 235 determinar a frequência natural de vibração em torno do pivô O elemento possui espessura unitária e largura desprezível Figura 234 ú ú û ù ê ê ë é ø ö ç è æ úû ù êë é úû ù êë é 2 1 2 2 2 2 1 2 2 4 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 16 2 2 12 32 4 4 2 2 4 d l d d d bl l b bl l d d bl d d d bl d d l d d l d bl n p p p p p p w 2 2 2 2 2 3 a k ag n r r w 2 2 17 2 18 L b gL n w L g n 5 3 3 w 253 A velocidade máxima atingida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cms e o período de oscilação é 2 s Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm achar a a velocidade inicial b a amplitude do deslocamento c a aceleração máxima e d o ângulo de fase a b c d 254 Uma máquina possui massa m 250 kg e seu suporte tem rigidez k 130 kNm Se a máquina em sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical determinar a a frequência natural e b a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical a b 255 Uma máquina possui massa m 250 kg e possui frequência natural para vibração vertical wn 5140 rads Se a máquina em sua fundação é modelada como sistema de um grau de liberdade em vibração vertical determinar a a rigidez k do suporte elástico e b a equação do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mms na direção vertical provocada por um impacto a b 𝑥 195 10 sen 55140𝑡 9 mm 256 Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k 55 x 104 Nm e tem frequência natural de vibração vertical wn 550 rads Se a máquina em sua fundação é modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical determinar a a massa da máquina e b a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mms na direção vertical a b 𝑥 103cos550𝑡 0232 mm 257 Um instrumento eletrônico tem massa m 34 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com uma rigidez k 5400 Nm cada Se o instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical determinar a a frequência natural e b se uma ferramenta pesando 05 kgf cai sobre o instrumento medindose máxima amplitude de vibração do movimento resultante igual a 17 mm determinar a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto da ferramenta a b 258 Um instrumento eletrônico tem massa m 34 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com rigidez desconhecida O instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical Durante um teste uma massa m1 05 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida O v0 778 mms A 318 mm amax 314 mms 2 ϕ 0891 rad ωn 228 rads m 0 001cos 22 8 t x k 660 GNm m 0182 kg ωn 797 rads v0 125 mms impacto foi plástico e a amplitude de vibração medida foi 22 mm com frequência do movimento vertical resultante igual a 325 rads Determinar a a rigidez de cada um dos quatro coxins elásticos e b a velocidade da massa em queda imediatamente antes do impacto a b 259 A massa m cai de uma altura h sobre um anteparo de massa desprezível como mostra a Fig 235 e a colisão é plástica Determinar a resposta do sistema Figura 235 260 A massa m cai de uma altura h sobre uma massa m1 como mostra a Fig 236 e a colisão é plástica Determinar a resposta do sistema Figura 236 261 Resolver o problema 224 usando o Método de Rayleigh 262 Resolver o problema 225 usando o Método de Rayleigh 263 Resolver o problema 238 usando o Método da Energia 264 Resolver o problema 239 usando o Método da Energia 265 Resolver o problema 240 usando o Método da Energia 266 Resolver o problema 241 usando o Método da Energia k 103 kNm v0 5577 mms ø ö ç ç è æ ø ö çç è æ ø ö ç è æ mg hk mt k k mgh k mg x 2 tan cos 2 1 2 ø ö ç ç è æ ú ú û ù ê ê ë é ø ö ç è æ 1 1 1 1 2 2 2 tan cos 2 m m g hk m t m k m m k ghm k mg x 267 Um cilindro circular de massa m e raio r é ligado a uma mola de módulo k como mostra a Fig 237 Utilizando o Método da Energia achar a frequência do movimento quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfície áspera Figura 237 268 No sistema massamola mostrado na Fig 238 a corda pode ser considerada como inextensível Achar a frequência natural de vibração utilizando o Método da Energia Figura 238 269 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfície de raio R como mostra a Fig 239 Determinar a frequência de oscilação quando o cilindro é ligeiramente deslocado da sua posição de equilíbrio Use o Método da Energia Figura 239 m k n 3 2 w M m k n 3 4 w r R g n 3 2 w 270 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 ms é parada no final dos trilhos por uma sistema massamolaamortecedor Se a rigidez da mola é 40 kNmm e a constante de amortecimento é 20 kNsm determinar a o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o sistema e b o tempo gasto para atingir o seu deslocamento máximo a b 271 Um oscilador harmônico possui massa m 12 kg constante de amortecimento c 12 Nsm e constante de mola k 05 kNm Determinar a A frequência natural amortecida b O fator de amortecimento e o decremento logarítmico a b e 272 A razão entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido é 181 Determinar a mesma relação de amplitudes se a quantidade de amortecimento é a dobrada ou b reduzida para a metade a b 273 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos sua amplitude diminui para 10 de seu valor inicial Determinar o decremento logarítmico e o fator de amortecimento Qual será o percentual de diminuição do período de oscilação se o amortecimento for removido 000269 274 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 Nm constante de amortecimento crítico de 20 Nsm e um decremento logarítmico de 20 Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 ms determinar o deslocamento máximo do mesmo 275 Um oscilador harmônico possui massa m 30 kg e constante de rigidez k 100 kNm Determinar a A constante de amortecimento para um fator de amortecimento z 01 b O decremento logarítmico e a frequência natural amortecida a b 276 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m 45 gr constante de amortecimento c 38 Nsm e constante de rigidez k 1500 Nm Determinar a O fator de amortecimento o decremento logarítmico e a frequência natural amortecida b A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm Dados m 45 gr c 38 Nsm k 1500 Nm e x0 1 mm a b xmax 0767 m 0 0 0606s t ωd 198 rads z 0 245 δ 159 x1 x2 14310 3 x1 x2 383 xmáx 000134 m c 346 Nsm δ 0631 ωd 574 rads ζ 0231 δ 149 ωd 178 rads mm 0 233 cos 178 03 1 422 t e x t 277 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m 3 kg e constante de rigidez k 500 Nm O decremento logarítmico medido foi 25 Determinar a O fator de amortecimento b A frequência natural amortecida a b 278 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m 8 kg e constante de rigidez k 12 MNm Determinar a O fator de amortecimento e a frequência natural amortecida para um decremento logarítmico 005 b A constante de amortecimento a b 279 Uma máquina possui massa m 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c 145 kNsm e rigidez k 130 kNm Se a máquina e sua base é modelada para vibração vertical como um sistema de um grau de liberdade determinar a A frequência natural amortecida b A expressão para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical a b 280 Uma máquina possui massa m 250 kg e frequência natural amortecida para vibração vertical wd 5140 rads Através da medição do decremento logarítmico achouse um fator de amortecimento z 012 Se a máquina e sua base são modeladas como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical determinar a A rigidez k do suporte elástico b O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mms na direção vertical imposta por um impacto a b 281 Uma máquina possui uma base com rigidez k 55 kNm e uma frequência natural de vibração vertical amortecida wd 255 rads Medindose o decremento logarítmico determinouse um fator de amortecimento z 018 Se a máquina e sua base são modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical determinar a A massa da máquina b O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mms na direção vertical a b 282 Um instrumento eletrônico possui massa m 34 kg e está apoiada em quatro coxins de elastômero com rigidez k 5400 Nm cada um O fator de amortecimento medido a partir do decremento logarítmico é z 020 Se o instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical determinar a A frequência natural b Uma ferramenta pesando 05 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibração de 17 mm Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta a b ζ 0370 ωd 120 rads ζ 79610 3 ωd 387 rads c 493 Nsm ωd 226 rads mm 0128 cos 22 6 01 1 2 90 t e x t k 670 GNm 2 m cos 5140 10 195 621 9 ø ö ç è æ p t e x t m 0818 kg mm 0 606 cos 255 22 1 46 7 t e x t ωn 797 rads v0 126 mms 283 Um voltímetro mostrado na Fig 240 possui um ponteiro de alumínio r 2700 kgm3 de comprimento l 50 mm largura 3 mm e espessura 1 mm A mola restauradora tem uma constante de rigidez rotacional k 100 Nmmrad Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado a um raio r 8 mm Durante uma medida o instrumento mostra 80 volts Quando a voltagem é desligada determinar o tempo requerido para o ponteiro retornar à indicação de 1 volt Figura 240 284 Um medidor de nível de água mostrado na Fig 241 possui uma bóia cilíndrica de 100 mm de diâmetro massa desprezível uma barra com massa 05 kg l 70 mm e L 420 mm Determinar a constante de amortecimento requerida para produzir amortecimento crítico Figura 241 285 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação de uma mola de rigidez 10 Nmm Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 mm Qual é o coeficiente de atrito médio entre as duas superfícies se a amplitude original era 150 mm Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos 286 Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 10000 Nm O movimento vertical da massa está sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 50 N Se a mola é inicialmente deslocada de 55 cm para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar a o número de meio ciclos transcorridos até que atinja o repouso b o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e c o alongamento final da mola a b c 287 A massa m 2 kg de um oscilador harmônico linear com k 500 Nm desliza em uma superfície horizontal com coeficiente de atrito estático µs 02 e cinético µ 008 a Determinar o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em qualquer movimento devido à força de atrito 1 0 01172 s t cc 258 Nsm µ 0319 t f 238 s r 5 t f 0702 s x t f 0005 m b Determinar o número de ciclos para a vibração iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm até parar completamente a b Número de ciclos até a parada 2 288 Um painel construído por uma fibra composta especial reforçada se comporta como um sistema de um grau de liberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 Nm A relação entre amplitudes sucessivas é 11 Determinar o valor da constante de amortecimento histerético b da constante de amortecimento viscoso equivalente ceq e a energia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm Δ𝑊 191 J 289 Uma viga engastada com rigidez à flexão de 200 Nm suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre A massa é deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a moverse livremente Se a amplitude após 100 ciclos do movimento é 20 mm estimar a constante de amortecimento histerético b da viga 290 Um oscilador harmônico torcional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 12 kgm2 e rigidez torcional kt 8500 Nmrad Determinar a frequência natural torcional em radseg Hz e CPM ciclos por minuto wn 842 rads 291 Um oscilador harmônico torcional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 10 kgm2 e seu período natural de vibração foi medido em um osciloscópio sendo igual a 35 ms Determinar a sua rigidez torcional kt 322 kNmrad 292 Um oscilador harmônico torcional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 1 kgm2 e rigidez torcional kt 40000 Nmrad possui uma frequência natural muito próxima à frequência excitadora Decidiuse que o momento de inércia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a frequência natural em 30 Determinar a mudança requerida em cada opção 293 O rotor P de uma bomba centrífuga Fig 242 está conectada a um motor que gira com velocidade angular constante w através de um acoplamento flexível com constante de rigidez torcional KT e um par de engrenagens com raios r1 e r2 e momentos de inércia de massa polares J1 e J2 respectivamente O rotor da bomba possui momento de inércia de massa polar JP Determinar a frequência natural da oscilação torcional assumindo que os eixos de conexão são rígidos Figura 242 x0 max 785 mm β 003033 ceq 00429 Nsm β 000129 fn 134 Hz 804 cpm kt1 19600 Nm rad 294 Determinar a frequência natural de oscilação do pêndulo duplo composto mostrado na Fig 243 para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio Figura 243 295 Um oscilador harmônico torcional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 1 kgm2 e rigidez torcional kt 10000 Nmrad possui uma frequência de oscilação torcional igual a 96 radseg ao invés dos 100 radseg esperados Suspeitouse que alguma forma de amortecimento foi introduzida no sistema diminuindo a frequência de oscilação Determinar o fator de amortecimento 296 O rotor de um indicador de sintonia de radio dial está conectado a uma mola e a um amortecedor torcionais formando um sistema de um grau de liberdade A escala é graduada em divisões iguais e a posição de equilíbrio do rotor corresponde ao zero da escala Quando um torque de 2x103 Nm é aplicado estaticamente o deslocamento angular do rotor é 50o com o ponteiro mostrando 80 divisões da escala Quando o rotor é liberado de sua posição o ponteiro balança primeiro para 20 divisões em um segundo e depois para 5 divisões no outro segundo Achar a A constante de mola torcional b O período natural não amortecido do rotor c O momento de inércia de massa do rotor d A constante de amortecimento torcional a b c d ωn kTr2 2 J1r2 2 J2 JP r1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 m L J r r m L J m gL r r gL m n ø ö çç è æ ø ö çç è æ w ζ 0280 kt 22910 3 Nmrad Tn 183 s JO 19410 6 kgm 2 ct 53910 6 Nmsrad 297 Um pêndulo torcional tem uma frequência natural de 200 cpm quando vibrando no vácuo O momento de inércia de massa do disco é 02 kgm2 Quando está imerso em óleo sua frequência natural é 180 cpm Determinar a constante de amortecimento Se o disco quando imerso no óleo sofre um deslocamento inicial de 2o achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo ct 365 Nmsrad θ Td 16610 3 rad