Lista de Exercícios Resolvidos - Mecânica das Vibrações - Unidade 5

Mecânica das Vibrações Lista de Exercícios Unidade 5 51 Determinar as frequências naturais do sistema mostrado na Fig 51 com m1 m m2 2m k1 k e k2 2k Determinar a resposta do sistema quando k 1000 Nm m 20 kg e os valores iniciais dos deslocamentos das massas m1 e m2 são 1 e 1 respectivamente Figura 51 52 Uma máquina ferramenta possuindo uma massa m 1000 kg e um momento de inércia J0 300 kgm2 está montada sobre suportes elásticos como mostra a Fig 52 Se as rigidezes dos suportes são k1 3000 Nmm e k2 2000 Nmm e os suportes estão localizados em l1 05 m e l2 08 m achar as frequências naturais e as formas modais da máquina Figura 52 53 Um guindaste móvel pode ser modelado como mostra a Fig 53 A viga possui um momento de inércia I 002 m4 e módulo de elasticidade E 206 x 1011 Nm2 o guindaste tem uma massa m1 1000 kg a massa a ser transportada é m2 5000 kg e o cabo possui uma rigidez k 30 x 105 Nm Determinar as frequências naturais e as formas modais do sistema Assumir que o comprimento da viga é de 40 m m1 m2 k1 k2 x1t x2t l1 l2 m J0 k2 k1 Figura 53 54 O modelo de um automóvel trafegando em uma estrada irregular pode ser o mostrado na Fig 54 O automóvel possui uma massa m1 1000 kg e as molas possuem uma rigidez total k1 400 kNm As rodas e eixos possuem uma massa total m2 300 kg e os pneus possuem uma rigidez total k2 500 kNm Se a superfície da estrada varia senoidalmente com uma amplitude Y 01 m e um comprimento de onda l 6 m achar as velocidades críticas para o automóvel trafegar Figura 54 55 Achar as frequências naturais e as formas modais do sistema mostrado na Fig 51 com os seguintes dados m1 m2 1 kg k1 2000 Nm e k2 6000 Nm 56 Calcular os deslocamentos das massas x1t e x2t para o sistema do problema 55 com as seguintes condições iniciais a x10 02 m e b x10 02 m 57 Uma estrutura de um edifício de dois andares é modelada como mostra a Fig 55 As vigas são assumidas como rígidas e as colunas possuem rigidezes flexionais EI1 e EI2 com massas desprezíveis A rigidez de cada coluna pode ser calculada por Determinar as frequências naturais e as formas modais da estrutura com m1 m2 m h1 h2 h e EI1 EI2 EI m1 m1 m2 m2 k k kb kb I a b m1 automóvel m2 rodas e eixos k1molas da suspensão k2 pneus l v Y x x x 1 2 2 0 0 0 0 x x 1 2 0 0 0 ms 05 2 0 x 24 1 3 EI h i i 2 Figura 55 58 Achar os modos normais do edifício de dois andares mostrado na Fig 55 com m1 3m m2 m k1 3k e k2 k onde k1 e k2 representam a rigidez equivalente total das colunas inferior e superior respectivamente 59 Um sistema de elevação com um tambor com peso W1 é montado na extremidade livre de uma viga engastada de espessura t largura a e comprimento b como mostra a Fig 56 O cabo é de aço e tem um diâmetro d e um comprimento suspenso l Se a carga pendurada na extremidade da corda possui um peso W2 determinar as expressões para as frequências naturais do sistema Figura 56 510 Determinar as frequências naturais e os modos normais do sistema torsional mostrado na Fig 57 para kt2 2 kt1 2 kt e J2 2J1 2J Figura 57 F2t F1t m2 m1 EI2 EI2 EI1 EI1 x2t x1t h1 h2 t b d W1 W2 l a W2 kt2 kt1 J2 J1 511 Determinar as frequências naturais do sistema mostrado na Fig 58 assumindo que a corda passa em torno do disco sem deslizar O raio do disco é R Figura 58 512 Uma bomba centrífuga com um desbalanceamento me está apoiada sobre uma fundação rígida de massa m2 através de molas de isolamento de rigidez k1 como mostra a Fig 59 Se a rigidez do solo é k2 e o seu amortecimento é c2 achar os deslocamentos da bomba e da base para os seguintes dados m 02 kg e 015 m m1 360 kg k1 350 kNm m2 900 kg k2 175 kNm c2 9 kNsm e a bomba opera a 1200 rpm Figura 59 513 Achar a resposta de regime permanente do sistema mostrado na Fig 51 usando o método da impedância mecânica quando a massa m1 está submetida a uma força Ft F0 sen wt na direção de x1t 514 Achar a resposta de regime permanente do sistema mostrado na Fig 51 quando a base é submetida a um deslocamento yt Y0 cos wt 515 A massa m1 do sistema de dois graus de liberdade mostrado na Fig 51 está submetida a uma força Ft F0 cos wt Assumindo que o amortecimento do ar circundante é equivalente a c 200 Nsm achar a resposta de regime permanente das duas massas Assumir m1 m2 1 kg k1 k2 500 Nm e w 1 rads 516 No sistema mostrado na Fig 51 a massa m1 é excitada por uma força harmônica com amplitude de 50 N e frequência de 2 Hz Achar a amplitude forçada de cada massa para m1 10 kg m2 5 kg k1 8000 Nm e k2 2000 Nm m0 m k1 k2 qt xt m1 m2 k1 k2 c2 Solo rigidez k2 amortecimento c2 Base massa m2 Isolador rigidez k1 Bomba centrífuga massa m1 517 Achar a resposta da estrutura de dois pisos mostrada na Fig 55 sofrendo a ação do deslocamento horizontal do solo yt 02 sen pt m Assumir que as rigidezes equivalentes das colunas inferiores e superiores são 800 Nm e 600 Nm respectivamente e m1 m2 50 kg 518 Um compressor de ar de massa 200 kg com um desbalanceamento de 001 kgm apresenta uma grande amplitude de vibração quando opera a 1200 rpm Determinar a massa e a constante de mola do absorvedor a ser adicionado se as frequências naturais do sistema devem estar a pelo menos 20 da frequência de operação 519 Um motor elétrico possuindo um desbalanceamento de 2 kgcm está montado na extremidade livre de uma viga de aço engastada como mostra a Fig 510 Observase que a viga vibra com grandes amplitudes quando o motor opera a 1500 rpm Propõese adicionar um absorvedor de vibração para reduzir a vibração da viga Determinar a relação entre a massa do absorvedor e a massa do motor de modo que a menor frequência natural do sistema resultante seja igual a 75 da velocidade de operação do motor Se a massa do motor é 300 kg determinar a rigidez e a massa do absorvedor Achar também a amplitude de vibração do absorvedor Figura 510 520 O duto que conduz água para um aquecedor em uma usina térmica vibra violentamente quando a bomba opera a 800 rpm Para reduzir as vibrações foi ligado ao vaso um absorvedor que consiste de uma mola de rigidez k2 e uma massa de teste m2 de 1 kg Com este conjunto as frequências naturais do sistema tornaramse 750 e 1000 rpm Desejase manter as frequências naturais do sistema fora da faixa de operação da bomba que é de 700 rpm a 1040 rpm Quais serão os valores de k2 e m2 que satisfazem este requisito 521 Um motor alternativo é instalado no primeiro andar de um edifício que pode ser modelado como uma placa rígida retangular apoiada em quatro colunas elásticas O peso equivalente do motor e do piso é 8900 N Na velocidade de operação do motor 600 rpm os operadores experimentam grande vibração no piso Decidiuse reduzir estas vibrações suspendendo um sistema massamola pendurado na parte inferior do piso Se a mola utilizada possui rigidez k2 875 kNm a Achar o peso da massa a ser ligada ao absorvedor de vibrações e b Qual serão as frequências naturais do sistema após a colocação do absorvedor 522 Achar os valores de k2 e m2 no Problema 521 de modo que as frequências naturais do sistema estejam pelo menos a 30 da frequência de operação 523 Um eixo de aço vazado de diâmetro externo 50 mm diâmetro interno 38 mm e comprimento 750 mm sustenta um disco sólido de diâmetro 380 mm e peso 450 N Outro eixo vazado de aço de comprimento 500 mm sustentando um disco sólido de diâmetro 150 mm e peso 90 N é ligado ao primeiro eixo como mostra a Fig 511 Achar os diâmetros interno e externo do eixo auxiliar de forma que atue como um absorvedor de vibrações Figura 511 k2 w m2 J1 J2 2 15 30 30 524 Um rotor com momento de inércia de massa J1 15 kgm2 está montado na extremidade de um eixo de aço com rigidez torsional de 06 MNmrad O rotor vibra violentamente quando submetido a um torque harmônico de 300 cos 200t Nm Um absorvedor sintonizado consistindo de uma mola torsional e um momento de inércia de massa kt2 e J2 deve ser ligado ao primeiro rotor para absorver as vibrações Achar os valores de kt2 e J2 de forma que as frequências naturais do sistema se distanciem da frequência de operação pelo menos 20