Prova Calculo IV - Integrais Duplas e Aplicações

Questão 1 20 pontos Considere a função fxy y senxy no domínio R onde R é a região delimitada por x 0 y π2 e x y a Faça o esboço da região R b Calcular a integral dupla da função fxy no domínio R c Montar a integral dupla invertendo a ordem de integração utilizada para calcular no item anterior e explicar o motivo da escolha da ordem de integração para o cálculo da integral Neste item não é necessário fazer o cálculo da integral Questão 2 20 pontos Considere a região R dada por x2 y2 1 e y 0 a Faça o esboço da região R b Calcule a integral dupla I R senx2 y2 dx dy Questão 3 20 pontos Considere a região R compreendida pela parábola y x22 e a reta y 2x a Faça o esboço da região R b Use uma integral dupla para calcular a área da região R Questão 4 20 pontos Utilizando integral dupla calcule o volume do cilindro sólido dado por x2 y2 R2 0 z h Questão 5 20 pontos Uma lâmina de material com densidade variável ocupa o quadrado R cujos vértices são 00 a0 aa e 0a A densidade num ponto xy é o produto das distâncias de P aos eixos Calcule seu momento de inércia em relação ao eixo x Questão Nota UFTM 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO 2 3 Cálculo IV 4 Matemática Física 5 1ª Prova 25032022 Valor 10 pontos TOTAL Nome Questão 2 20 pontos Considere a região R dada por x2 y2 1 e y 0 a Faça o esboço da região R b Calcule a integral dupla I R senx2 y2 dx dy a R b I R senx2y2 dx dy Usaremos coordenadas polares x r cos θ com 0 r 1 e 0 θ π y r sen θ Então I 0π 01 senr2 cos2 θ r2 sen2 θ r dr dθ 0π 01 r sen r2 dr dθ Subst u r2 du 2r dr du2 r dr I 0π 01 r sen u du dθ 12 0π 01 sen u du dθ I 12 0π cos u ₀¹ dθ 12 0π cos 1 1 dθ I 12 cos 1 1 θ 0π I cos 1 1 π2 Questão 3 20 pontos Considere a região R compreendida pela parábola y x²2 e a reta y 2x a Faça o esboço da região R b Use uma integral dupla para calcular a área da região R a Pontos de interseção 2x x²2 4x x² x² 4x 0 xx 4 0 Então x 0 ou x 4 b Área R R 1 dA 04 x²22x 1 dy dx 04 y x²22x dx 04 2x x²2 dx x² x³6 ₀4 4² 4³6 0 06 Área R 16 646 16 323 483 323 163 Área R 163 Questão 4 20 pontos Utilizando integral dupla calcule o volume do cilindro sólido dado por x² y² R² 0 z h Seja C o cilindro e A o círculo x² y² R² então Vol C A h dA Tome as coordenadas polares x r cos θ com 0 r R y r sin θ 0 r 2π Vol C h 02π 0R r dr dθ h 02π r²2 ₀R dθ h 02π R²2 0 dθ h R² θ2 ₀2π Vol C h π R² Questão 5 20 pontos Uma lâmina de material com densidade variável ocupa o quadrado R cujos vértices são 00 a0 aa e 0a A densidade num ponto xy é o produto das distâncias de P aos eixos Calcule seu momento de inércia em relação ao eixo x Seja Pxy ℝ² temos que a distância de P ao eixo x é o valor x analogamente a distância de P ao eixo y é o valor y Logo a função densidade δ ℝ² ℝ é dada por δxy xy Com a0 temos Como nessa região xy0 podemos tomar δxy xy Assim o momento de inércia em relação ao eixo x é dado por Ix R y² δxy dA R xy³ dx dy Ix 0a x²y³2 dy 0a a² y³2 dy a² y⁴8₀ᵃ a⁶8 Ix a⁶8