Prova de Metodos Matematico

Tui 16150 1 Desenvolva fx π2 x 0 x π2 x π2 π2 x π em uma a Série de cosenos b Série de senos c II de Fourier d gráfico de fx e da série n 30 2 Resolva uxx utt 0 x 2 t 0 u0t 0 u2t 0 t 0 ux0 x22 utx0 0 0 x 2 sol e gráfico t 0 t 1 e t 10 3 uxx uyy 0 0 x 2 0 y 3 uy0y 0 ux2y 0 0 y 3 ux0 0 ux3 2x sol e gráfico Solução 1 Desenvolva fx π2 x 0 x π2 xπ2 π2 x π em uma a Série de cosenos b Série de senos c Série de Fourier d Gráfico de fx e da série n 30 a Lembremos Se f 0L R então a série de cossenos a02 an cosnπxL onde a0 2L 0L fx dx an 2L 0L fx cosnπxL dx Então a0 2π 0π fx dx 2π 0π2 πx dx π2π x π2 dx a0 2π π2 x220π2 13 x π3π2π 2π π316 0 0 π324 a0 2π π316 π324 2π 5π348 524 π2 an 2π 0π fx cosnπxπ dx 2π 0π2 πx2 cosn x dx π2π x π2 cosn x dx an 2π πx2n Sennx0π2 0π2 π2n Sennx dx xπ2 Sennxnπ2π π2π 2π xπ Sennx dx an 2π π24n Senπ2 n 0 π cosnx2n20π2 0 π4n Senn π2 2η2 x π cosnxπ2π π2π 2n2 cosnx dx an 2π π2n2 cosnπ2 π2n2 0 πn2 cosnπ2 2n3 Sennxπ2 an 2π 32 πn2 cosnπ2 π2n2 0 2n3 Sennπ2 an 3n2 cosnπ2 4π n3 Sennπ2 1n2 Assim a série de cossenos de f 5π248 n1 3n2 cosnπ2 4π n3 Sennπ2 1n2 cosnx b Lembremos Se f 0L R então a série de senos bn SennπxL onde bn 2L 0L fx SennπxL dx bn 2π ₀π fxSennxdx 2π ₀π2 πx2 Sennxdx π2π x π² Sennxdx bn 2π πx2n Cosnx₀π2 π2n ₀π2 Cosennxdx x π² n Cosnxπ2π π2π 2x πn Cosnx dx bn 2π π²4n Cosnπ2 0 π2n² Sennx₀π2 0 π²4n Cosnπ2 2n² x π Sennxπ2π 2n² π2π Sennx dx bn 2π π2n² Sennπ2 0 0 πn² Sennπ2 2n³ Cosnxπ2π bn 2π 3π2n² Sennπ2 2n³ Cosnπ 23n³ Cosnπ2 Assim a série de senos de f n1 2π 3π2n² Sennπ2 2n³ Cosnπ 23n³ Cosnπ2 Sennx c Lembremos a série de fourier é a₀2 n1 aₙ CosnπxL bn SennπxL onde aₙ 1L ₀2L fx CosnπxL dx bn 1L ₀2L fx SennπxL dx Então aₙ 1π2 ₀π2 fx Cos2nx dx 2π ₀π2 πx2 Cos2nx dx π2π x π² Cos2nx dx aₙ 2π πx4n Sen2nx₀π2 π4n ₀π2 Sen2nx dx x π²2n Sen2nxπ2π π2π 1n x π Sen2nx dx aₙ 2π 0 0 π4n 12n Cos2nx₀π2 0 0 12n² x π Cos2nxπ2π π2π 12n² Cos2nx dx aₙ 2π π8n² Cosnπ π8n² 0 π4n² Cosnπ 14n³ Sen2nxπ2π aₙ 2π 3π8n² Cosnπ π8n² 34n² Cosnπ 14n² 14n² 3 Cosnπ 1 bn 1π2 ₀π2 fx Sen2nx 2π ₀π2 πx2 Sen2nx dx π2π x π² Sen2nxdx bn 2π πx4n Cos2nx₀π2 ₀π2 π4n Cos2nx dx x π²2n Cos2nxπ2π π2π x πn Cos2nx dx bn 2π π²8n 1n 0 II8n Cos2nx₀π2 ₀π2 π4n Cos2nx dx 0 π²8n 1n x π Sen2nx4nπ2π 12n² π2π Sen2nx dx bn 2π 14n³ Cos2nxπ2π 2π 14n³ 1n4n³ 12π n³ 1 1n Assim a série de fourier é 5π²48 n1 14n² 31n 1 Cos2nx 12n³ 1 1n Sen2nx d Gráfico de f y π²4 f π2 x x π² 0 π2 π x Solução 2 uxx utt 0 x 2 t 0 u0 t 0 u2 t 0 t 0 ux0 x 2² utx0 0 0 x 2 Pelo método de separação de variáveis temos o seguinte uxt XxTt ux Xx Tt uxx Xx Tt ut Xx Tt utt Xx Tt Substituindo na equação Xx Tt Xx Tt XxXx TtTt λ Assim Xx λXx 0 Tt λTt 0 Pelas condições de contorno temos μ0t0 0 X0Tt X00 μ2t0 0 X2Tt X20 Daí temos a EDO X λX0 X0X20 fazendo λu² X u² X 0 A eq característica n² u² 0 n i u Logo a solução geral é da forma X c₁ Cosux c₂ Senux X00 0 c₁ X20 0 c₂ Sen2u As soluções não triviais acontecem se c₂ 0 Sen2u 0 2u πn u πn2 n N Daí os autovalores λₙπn2² autofunções Xₙ Senπnx2 Por outro lado temos a EDO Tt λ Tt0 Como uₜx00 X T0 0 T0 0 Logo Tt π²n²4 Tt 0 com T00 A eq característica n² π²n²4 0 n πn2 i e a solução geral Tₙt K₁ Cosπn2 t K₂ Senπn2 t Tₙt πn2 K₁ Senπn2 t K₂ Cosπn2 t Em t0 0 πn2 0 K₂ K₂ 0 Assim uma solução Tₙt é proporcional ao seguinte Tₙt Cosπn2 t Logo uₙxt Xₙx Tₙt Senπnx2 Cosπn2 t Pelo princípio de superposição uxt Σ n1 até cₙ uₙxt Σ n1 até cₙ Senπnx2 Cosπn2 t Em t0 ux0 x2² x2² Σ n1 até cₙ Senπnx2 Daí cₙ devem ser os coeficientes da série de Fourier em senos de x2² e com período 4 cₙ 22 0 a 2 fx Senπnx2 dx 0 a 2 x2² Senπnx2 dx cₙ 2x2² Cosπnx2nπ 0 a 2 0 a 2 4nπ x2 Cosπnx2 dx cₙ 0 8nπ 8 x2 Senπnx2n² π²0 a 2 0 a 2 8n³ π³ Senπnx2 dx cₙ 8nπ 0 0 16n³ π³ Cosπnx2 0 a 2 cₙ 8nπ 16n³ π³ Cosnπ 16n³ π³ 8nπ 161ⁿn³ π³ 16n³ π³ Portanto a solução é uxt Σ n1 até 8nπ 161ⁿn³ π³ 16n³ π³ Senπnx2 Cosπnt2 Solução 3 uxx uyy 0 0 x 2 0 y 3 ux0y 0 ux2y 0 0 y 3 ux0 0 ux3 2x Pelo método de separação de variáveis uxy Xx Yy Na Equação de Laplace Xx Yy Xx Yy 0 Xx Yy Xx Yy Xx Xx Yy Yy λ Daí Xx λXx 0 com X0 X2 0 Yy λ Yy 0 pois ux0y ux2y 0 X u² X 0 Eq característica n² u² 0 n u i A solução geral X c₁ Cosux c₂ Senux Xx c₁ u Senux c₂ u Cosux X0 0 0 c₂ u c₂ 0 X2 0 0 c₁ u Sen2u As soluções não triviais se c₁ 0 Sen2u 0 u πn2 λ nπ2² Daí os autovalores lambdan leftfracn pi2right2 autofunções Xninfty cos leftfracn pi x2right Por outro lado Y lambdan Yy 0 Rightarrow Y leftfracn pi2right2 Y 0 Como ux0 0 Rightarrow 0 Xinfty Y0 Rightarrow Y0 0 A EDO tem eq característica n2 fracpi2 n24 0 Rightarrow n pm fracnpi2 a solução geral Yny K1 cosh leftfracnpi y2right K2 sinh leftfracnpi y2right Y0 Rightarrow 0 K1 Assim uma solução Yny é proporcional a Yny sinh leftfracn pi y2right Logo unxy Xnx cdot Yny cos leftfracn pi x2right sinh leftfracn pi y2right Pelo princípio de superposição das soluções fundamentais uxy sumn1infty cn unxy sumn1infty cn cos leftfracnpi x2right sinh leftfracn pi y2right y 3 Rightarrow fracux32x sumn1infty left cn sinh leftfrac3 n pi2right right cos leftfracn pi x2right Daí cn sinh leftfrac3 n pi2right devem ser os coeficientes da série de Fourier em cossenos de 2x e com período 4 cn sinh leftfrac3 n pi2right frac22 int02 2x cos leftfracn pi x2right dx int02 2x cos leftfracn pi x2right dx left frac4xn pi sin leftfracn pi x2right right02 frac4n pi int02 sin leftfracn pi x2right dx C2n sinh leftfrac3npi2right frac8n2pi2 left cosleftfracnpi x2right right02 frac8n2pi2 left 1n 1 right cn frac8n2pi2 sinh leftfrac3npi2right left 1n 1 right Portanto a solução é uxy sumn1infty frac8n2 pi2 sinh frac3 n pi2 left 1n 1 right cos leftfracnpi x2right sinh leftfracn pi y2right In66 Nt 32 Fori1 i Nt i Ani 1 4 i2 3 1i 1 Bni 1 1i 2 Pi i3 In68 ux 5 Pi2 48 SumAni Cos2 x i Bni Sin2 i x i 1 Nt In69 Plotux x 0 Pi Out69 graph plot shown Wolfram One unnamed In2 Nt32 Fori1iNti Ani8iPi161i16iPi3 In10 ux t SumAniSinPiix2CosPiti2i1Nt In14 Plotux1x02 Out14 Wolfram One unnamed In2 Nt32 Fori1iNti Ani8iPi161i16iPi3 In10 ux t SumAniSinPiix2CosPiti2i1Nt In13 Plotux0x02 Out13 Wolfram One unnamed In96 Nt100 Fori1iNti Ani81i1Sinh3iPi2iPi2 In98 uxy SumAniSinhPiiy2CosPixi2i1Nt In103 Plot3Duxyx02y03 Out103 Nt 32 Fori 1 i Nt i Ani 8i Pi 16 1i 16 i Pi3 ux t SumAni SinPi i x2 CosPi t i2 i 1 Nt Plotux 10 x 0 2