Cálculo de Integrais Duplas e Aplicações - Exercícios Resolvidos

1 Calcular a integral dupla da função fxy y sendo xy R onde R é a região delimitada por x0 y0 e x2 y2 4 a Faça o esboço da região R b Calcular a integral dupla da função fxy no domínio R c Mostrar a integral na ordem contrária e inverter e explicar pq 2 Calcular a integral dupla da função fxy x2 y no domínio R no domínio R delimitado pelo setores y0 x y 2 e pela parábola x y 2 a Esboça o gráfico da região R b Calcular a integra considerando a região R como uma região dos Tipo I como a união de regiões dos Tipo 2 c Calcular como região do Tipo 2 247249 262 Questão 1 A Esboço B Temos a seguinte integral 𝐼 𝑦 sin𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑦 0 𝑑𝑦 𝜋 2 0 cos𝑥𝑦0 𝑦𝑑𝑦 𝜋 2 0 cos𝑦𝑦 cos 0𝑑𝑦 𝜋 2 0 cos𝑦 1𝑑𝑦 𝜋 2 0 sin𝑦 𝑦0 𝜋 2 sin𝜋 2 sin 0 𝜋 2 0 0 0 𝜋 2 0 𝝅 𝟐 C Escrevendo na ordem contrária temos 𝐼 𝑦 sin𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝜋 2 𝑥2 𝑑𝑥 𝜋 2 0 O resultado da integral continua o mesmo porém neste caso a dificuldade em calcular o valor é maior pois a integral é mais difícil de resolver Questão 2 A Esboço B e C Temos a seguinte integral 𝐼 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 Podemos calcular da seguinte maneira 𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 𝑥𝑦 𝑑𝑦 2𝑥 0 𝑑𝑥 2 1 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 1 0 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 2𝑥 0 𝑑𝑥 2 1 𝑥 2 3 𝑦 3 2 0 𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝑥 2 3 𝑦 3 2 0 2𝑥 𝑑𝑥 2 1 2 3 𝑥 𝑦 3 2 0 𝑥 𝑑𝑥 1 0 2 3 𝑥 𝑦 3 2 0 2𝑥 𝑑𝑥 2 1 2 3 𝑥 𝑥 3 4 0 𝑑𝑥 1 0 2 3 𝑥 2 𝑥 3 2 0 𝑑𝑥 2 1 2 3 𝑥 7 4𝑑𝑥 1 0 2 3 𝑥2 𝑥 3 2𝑑𝑥 2 1 Seja 𝑢 2 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Assim temos 2 3 𝑥 7 4𝑑𝑥 1 0 2 3 2 𝑢𝑢 3 2𝑑𝑢 0 1 2 3 𝑥 7 4𝑑𝑥 1 0 2 3 2𝑢 3 2 𝑢 5 2 𝑑𝑢 0 1 2 3 4 11 𝑥 11 4 0 1 2 3 4 5 𝑢 5 2 2 7 𝑢 7 2 1 0 2 3 4 11 2 3 4 5 𝑢 5 2 2 7 𝑢 7 2 0 1 2 3 4 11 2 3 4 5 2 7 2 3 4 11 2 3 18 35 2 3 4 11 18 35 2 3 338 385 𝟔𝟕𝟔 𝟏𝟏𝟓𝟓 Calculando de uma outra maneira temos 𝑥𝑦 𝑑𝑥 2𝑦 𝑦2 𝑑𝑦 1 0 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 2𝑦 𝑦2 𝑑𝑦 1 0 𝑦 𝑥2 2 𝑦2 2𝑦 𝑑𝑦 1 0 1 2 𝑦 1 22 𝑦2 𝑦4𝑑𝑦 1 0 1 2 4𝑦 1 2 4𝑦 3 2 𝑦 5 2 𝑦 9 2 𝑑𝑦 1 0 1 2 8 3 𝑦 3 2 8 5 𝑦 5 2 2 7 𝑦 7 2 2 11 𝑦 11 2 0 1 1 2 8 3 8 5 2 7 2 11 4 3 4 5 1 7 1 11 20 12 15 11 7 77 8 15 4 77 𝟔𝟕𝟔 𝟏𝟏𝟓𝟓 Questão 1 A Esboço B Temos a seguinte integral I 0 π 2 0 y y sin x y dxdy 0 π 2 cos x y 0 y dy 0 π 2 cos y y cos0dy 0 π 2 cos y 1dy sin y y0 π 2 sin π 2sin0 π 20 00 π 20 π 2 C Escrevendo na ordem contrária temos I 0 2π x2 π 2 y sin x y d yd x O resultado da integral continua o mesmo porém neste caso a dificuldade em calcular o valor é maior pois a integral é mais difícil de resolver Questão 2 A Esboço B e C Temos a seguinte integral Ix y dxdy Podemos calcular da seguinte maneira 0 1 0 x x y d yd x 1 2 0 2x x y dydx 0 1 x 0 x y dydx 1 2 x 0 2x y dydx 0 1 x 2 3 y 3 20 x dx 1 2 x 2 3 y 3 20 2x dx 2 3 0 1 x y 3 20 x dx 2 3 1 2 x y 3 20 2x dx 2 3 0 1 xx 3 40dx 2 3 1 2 x2x 3 20dx 2 3 0 1 x 7 4 dx2 3 1 2 x 2x 3 2 dx Seja u2x dudx Assim temos 2 3 0 1 x 7 4 dx2 3 1 0 2u u 3 2d u 2 3 0 1 x 7 4 dx2 3 1 0 2u 3 2u 5 2du 2 3 4 11 x 11 4 0 1 2 3 4 5 u 5 22 7 u 7 2 1 0 2 3 4 11 2 3 4 5 u 5 22 7 u 7 2 0 1 2 3 4 11 2 3 4 52 7 2 3 4 11 2 3 18 35 2 3 4 11 18 35 2 3 338 385 676 1155 Calculando de uma outra maneira temos 0 1 y 2 2y x y d xd y 0 1 y y 2 2y xdxdy 0 1 y x 2 2 y 2 2y dy 1 2 0 1 y 1 2 2y 2y 4 dy 1 2 0 1 4 y 1 24 y 3 2 y 5 2y 9 2dy 1 2 8 3 y 3 28 5 y 5 2 2 7 y 7 2 2 11 y 11 2 0 1 1 2 8 38 5 2 7 2 11 4 3 4 5 1 7 1 11 2012 15 117 77 8 15 4 77 676 1155