Lista de Exercícios - Integrais Duplas e Cálculo de Volume

2 Calcule o volume usando integral dupla a Cone sólido x2 y2 z R b Cone sólido 0 z R x2 y2 a b 3 Determine o volume do sólido formado pela região abaixo da superfície z 2 x2 y2 e acima da região limitada pelo pano xy 4 Calcule a integral dada colocando em coordenadas polares R x ydA onde R é a região que está à esquerda do exio y e entre as circunferências x2 y2 1 e x2 y2 4 2 Ache o valor aproximado da integral dupla D 6 x ydA i1n4 j1m6 f xi ȳj ΔAij onde D xy0 x 2 e 0 y 3 Divida o intervalo 0 x 2 em n4 intervalos e 0 y 3 em m6 intervalos Calcule a aproximação utilizando os pontos xi ȳj como pontos centrais dos retângulos formados em D 3 Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y a D 6x2 2xdA onde D é limitado por 1 x 4 0 y 2 4 Calcule a integral dupla a D 4x3 9x2y2dA onde D é limitado por 0 x 1 1 y 2 5 Calcule a integral dupla a D xsenydA onde D é limitado por 0 x 2 0 y π2 6 Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y a D xex y dA onde D é limitado por 0 x 1 1 y 2 7 Calcule o volume do solido e esboce o solido a Do solido que se encontra abaixo do plano x y z 4 e acima do retˆangulo R x y R0 x 1 0 y 2 b Do solido que se encontra abaixo do plano z 4 e acima do retˆangulo R x y R0 x 2 0 y 2 8 Calcule o volume do solido e esboce o solido a Do solido que se encontra abaixo do paraboloide z x2 y2 4 e acima do retˆangulo R x y R0 x 1 0 y 1 9 Calcule o volume do solido e esboce o solido a Do solido que se encontra abaixo do paraboloide z 2x2y2 e acima do retˆangulo R x y R0 x 1 0 y 1 10 Calcule o volume do solido e esboce o solido a Do solido que se encontra abaixo do plano z 4 e acima do retˆangulo R x y R0 x 2 0 y 2 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIˆANGULO MINEIRO UFTM Instituto de Ciˆencias Exatas Naturais e Educacao ICENE Departamento de Matematica DEMAT Calculo Diferencial e Integral IV Semestre letivo 20212 3a Lista de Exercıcios Integrais Duplas 1 Calcule o volume usando integral dupla a Cilindro solido 0 z h e x2 y2 R2 em pe b Cilindro solido 0 x h e y2 y2 R2 deitado no eixo x c Cilindro solido 0 y h e x2 z2 R2 deitado no eixo y Figura 1 a Figura 2 b Figura 3 c 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO UFTM Instituto de Ciências Exatas Naturais e Educação ICENE Departamento de Matemática DEMAT Cálculo Diferencial e Integral IV Semestre letivo 20212 1ª Lista de Exercícios Integrais Duplas 1 Ache o valor aproximado da integral dupla D 6 x ydA i1n2 j1m3 f xi ȳj ΔAij onde D xy0 x 2 e 0 y 3 Divida o intervalo 0 x 2 em n2 intervalos e 0 y 3 em m3 intervalos Calcule a aproximação utilizando os pontos xi ȳj como pontos centrais dos retângulos formados em D Considere o sólido S que é limitado acima pela superfície z 25 x2 y2 abaixo pelo plano xy e lateralmente pelo cilindro x2 y2 9 a Faça o esboço do sólido S b Use integração tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido T 6 Calcule a integral E x2 y2 dV onde E é o cilindro sólido 0 z h e x2 y2 R2 7 Calcule o volume do sólido utilizando integral tripla por coordenadas esféricas a Esfera de raio R isto é S x y z x2 y2 z2 R2 8 Calcule o volume do sólido utilizando integral tripla por coordenadas cilíndricas a Cilindro de raio R isto é S x y z x2 y2 R2 e 0 z h 9 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2x y z 4 10 Use a integral tripla para determinar o volume do sólido limitado pelos paraboloides z x2 y2 e z 8 x2 y2 Determinar o volume do sólido dado abaixo do parabolóide z x2 y2 e acima do disco x2 y2 9 Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado dentro da esfera x2 y2 z2 16 e fora do cilindro x2 y2 4 1 Utilize coordenadas cilíndricas para calcular x²y² dV onde E é a região que está dentro do cilindro x² y² 16 e entre os planos z 5 e z 4 2 Utilize coordenadas cilíndricas para calcular z dV onde E é a região que está dentro do parabolóide z x² y² e o plano z 4 3 Utilize coordenadas cilíndricas para calcular x y z dV onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide z 4 x² y² 13 Seja dado o sólido limitado acima pela superfície z 4 x² y² e abaixo pelo plano xy e limitado ao primeiro octante a Esboce a região b Calcule o volume usando integral tripla 14 Calcule o volume do tetraedro formado pelos vértices A 000 B 200 C 020 e D 002 a Esboce o sólido b Encontre o volume do sólido usando integrais múltiplas 15 Calcule a integral tripla B x² y² dV onde B é a região contida dentro do cilindro x² y² 16 e entre os planos z 5 e z 0 16 Calcule a integral tripla E xy dV onde E é o sólido tetraedro com vértices 000 200 020 e 002 1 Em coordenadas cilíndricas E é dado por r θ z 0 θ 2π 0 r 4 5 z 4 E x² y² dV 02π 04 54 r² r dz dr dθ 02π dθ 04 r² dr 54 dz θ02π 13 r³04 z54 2π6439 384π UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO UFTM Instituto de Ciências Exatas Naturais e Educação ICENE Departamento de Matemática DEMAT Cálculo Diferencial e Integral IV 1ª Lista de Exercícios Integrais Duplas 1 Ache o valor aproximado da integral dupla D 6 x ydA i1n2 j1m3 f xi ȳj ΔAij onde D xy0 x 2 e 0 y 3 Divida o intervalo 0 x 2 em n2 intervalos e 0 y 3 em m3 intervalos Calcule a aproximação utilizando os pontos xi ȳj como pontos centrais dos retângulos formados em D 2 Ache o valor aproximado da integral dupla D 6 x ydA i1n4 j1m6 f xi ȳj ΔAij onde D xy0 x 2 e 0 y 3 Divida o intervalo 0 x 2 em n4 intervalos e 0 y 3 em m6 intervalos Calcule a aproximação utilizando os pontos xi ȳj como pontos centrais dos retângulos formados em D 3 Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y a D 6x² 2xdA onde D é limitado por 1 x 4 0 y 2 4 Calcule a integral dupla a D 4x³ 9x²y²dA onde D é limitado por 0 x 1 1 y 2 5 Calcule a integral dupla a D xsenydA onde D é limitado por 0 x 2 0 y π2 6 Calcule a integral dupla primeiro em relação a x e depois em relação a y a D x ex y dA onde D é limitado por 0 x 1 1 y 2 7 Calcule o volume do solido e esboce o solido a Do solido que se encontra abaixo do plano x y z 4 e acima do retˆangulo R x y R20 x 1 0 y 2 b Do solido que se encontra abaixo do plano z 4 e acima do retˆangulo R x y R20 x 2 0 y 2 8 Calcule o volume do solido e esboce o solido a Do solido que se encontra abaixo do paraboloide z x2 y2 4 e acima do retˆangulo R x y R20 x 1 0 y 1 9 Calcule o volume do solido e esboce o solido a Do solido que se encontra abaixo do paraboloide z 2x2y2 e acima do retˆangulo R x y R20 x 1 0 y 1 10 Calcule o volume do solido e esboce o solido a Do solido que se encontra abaixo do plano z 4 e acima do retˆangulo R x y R20 x 2 0 y 2 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO UFTM Instituto de Ciências Exatas Naturais e Educação ICENE Departamento de Matemática DEMAT Cálculo Diferencial e Integral IV Semestre letivo 20212 2ª Lista de Exercícios Integrais Duplas 1 Calcule a integral dupla D xcosydA onde D é limitado por y 0 y x² e x 1 2 Calcule a integral dupla D x² 2ydA onde D é limitado por y x y x³ e x 0 3 Calcule a integral dupla D dA onde D é a região triangular com vértices 00 10 e 11 4 Calcule a integral dupla D dA onde D é a região triangular com vértices 00 01 e 11 5 Determine o volume do sólido formado pela região abaixo do plano x y z 2 e acima do plano xy e está no primeiro quadrante a ₂⁰ ₀⁴ˣ² x² y² dy dx Seja dado o sólido limitado acima pela superfície z 4 x² y² e abaixo pelo plano xy e limitado ao primeiro octante a Esboce a região b Calcule o volume usando integral dupla