Atividade Avaliativa Calculo Integral e Diferencial - Volume de Sólidos e Área entre Funções

Atividade Avaliativa 4 Cálculo Diferencial e Integral Questão 1 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da função 𝑔𝑥 𝑒𝑥 para 𝑥 ℝ 5 𝑥 0 rotacionada no eixo x Questão 2 Calcule o valor da área sob o gráfico de 𝑓𝑥 𝑥3 4𝑥 destacada abaixo e o valor do volume obtido pela rotação desta área em torno do eixo x Gráfico da função 𝑓𝑥 𝑥3 4𝑥 Questão 3 Sabendo que a equação de uma semicircunferência pode ser escrita como 𝑥 𝑟2 𝑦2 sendo 𝑟 o seu raio Usando integral definida calcule o volume do sólido obtido pela rotação desta semicircunferência em torno do eixo y em função do seu raio 𝑟 Qual é o nome deste sólido Representação da equação 𝑥 𝑟2 𝑦2 Questão 4 Encontre o valor da área entre as funções 𝑓𝑥 sen𝑥 e 𝑔𝑥 2𝑥 𝜋 destacada abaixo Qual é o valor do volume obtido na rotação desta área em torno do eixo x Representação da área entre as funções 𝑓𝑥 e 𝑔𝑥 2 função fx x³ 4x com 2 x 2 Área 2 0 fx dx 0 2 fx dx 2 0 x³ 4x 0 2 x³ 4x dx x⁴4 2x²x0 x2 x⁴4 2x²x2 x0 0 0 164 24 164 24 0 4 8 4 8 8 logo Área 8 Ainda O raio de cada disco circular é dado por fx Logo a área de cada disco circular é π fx² π x³ 4x² e x³ 4x² x⁶ 8 x⁴ 16 x² Daí volume 2 2 π x⁶ 8x⁴ 16 x² dx π x⁷7 8x⁵5 16x³3x2 x2 π1287 2565 1283 1287 2565 1283 π1287 2565 1283 1287 2565 1283 128π17 25 13 17 25 13 128π 15 42 35 15 42 35105 2048π105 ou seja volume 2048π105 1 funções gx eˣ com x 5 0 Gráfico Veja que o raio dos riscos circulares é determinado por gx logo a área de cada disco é π gx² logo Volume 5 0 π eˣ² dx 5 0 π e²ˣ dx π 12 e²ˣx0 x5 π 12 1 12 e⁰ ou seja Volume π2 e¹⁰ 1 3 função x r² y² O raio de cada disco circular é dado pela medida x Logo a área de cada disco circular é πx² ou seja πr² y²² πr² y² com r y r logo Volume from r to r of πr² y² dy π from r to r of r² y² dy π y r² y³3 from yr to yr πr³ r³3 r³ r³3 π3r³ r³ 3r³ r³3 π4r³3 ou seja Volume 4π r³ 3 O sólido formado é uma esfera 4 funções fx senx e gx 2xπ Área from π2 to 0 of 2xπ sen x dx from 0 to π2 of sen x 2xπ dx x²π cos x from xπ2 to x0 cos x x²π from x0 to xπ2 0 1 π²4π 0 0 π²4π 1 0 1 π4 π4 1 2 π2 Logo Área 2 π2 Ainda A área de cada disco circular é dado por πfx² gx² πsen²x 4x²π² Como sen²x 12 12 cos2x temos que Volume from π2 to π2 π12 12 cos2x 4x²π² dx Volume π 12 x 14 sen2x 4x³3 π² from xπ2 to π2 ππ4 0 4 π³ 38 π² π4 0 4 π³ 38 π² ππ4 π6 π4 π6 ππ2 π3 π² 6 Ou seja Volume π²6