Problema de Minimização do Custo de Cercado para Galinheiro

CAPITULO DSI MET ABM IND Tipo IO IMAI K WIA INANZ IK NN KAI OINE AAO Ei MNTMOS Pf Wopner Lares 1 Problema O dono de um sıtio deseja construir um galinheiro de formato retan gular e para tanto precisa comprar tela para cercar A fim de gastar menos a parede de sua casa sera usada como um dos lados deste galinheiro Figura Quan tos metros de tela ele precisa para fazer um galinheiro de 20m2 sabendo que ele deseja usar a menor quantidade de tela possıvel Solucao A quantidade de tela e dada por 1 S 2x y Esta funcao tem duas variaveis Todavia A xy 20 y 20x Substituindo na equacao 1 obtemos 2 S 2x 20 x Agora S e uma funcao de x para a qual desejamos saber qual valor de x torna S mınima A proposta de maximizar e minimizar funcoes e extremamente comum em quase todas as areas do conhecimento Neste capıtulo verermos como e possıvel estudar este tipo de problema usando derivadas Tal empreitada se dara em duas partes em primeiro lugar analisaremos em 2 as condicoes geometricas de uma funcao para que ela tenha pontos maximos ou mınimos para que psosamos utilizar a derivada na busca e classificacao destes pontos Neste ponto estaremos aptos a usar maximos e mınimos para estudar o comportamento grafico das funcoes reais Na segunda parte utilizaremos os conhecimentos construidos para resolver problemas como o do enunciado acima 2 Vejamos portanto na Figura 1 o grafico de Sx Figura 1 Grafico de S 2x 20 x De acordo com o contexto do problema nao nos interessa a parte negativa do grafico Veja que existe um ponto na parte positiva que indica o menor valor de S e que por este ponto a reta tangente e horizontal Sabemos que quando isto ocorre temse necessariamente S 0 Portanto S 2 20 x2 0 2 20 x2 x2 10 x 10 3 16 Logo as dimensoes do galinheiro que minimizam o seu custo sao aproximada mente x 3 16m e y 6 34m c Para pensard A equacao x2 10 tem duas raızes Por que apenas uma foi considerada Como foi encontrado o valor y 6 34m Como pˆode ser observado os maximos e mınimos correspodem aos pontos a para os quais f a 0 Agora precisamos saber como resolver o problema sem o conhecimento previo do grafico da funcao Para este fim seja f D R e a D Dizemos que a e um maximo global se fa fx x D um mınimo global se fa fx x D 3 Determinar maximos e mınimos globais e um problema complexo Todavia quando refinamos as condicoes do problema o trabalho simplifica bastamte Neste sentido considere f diferenciavel em um intervalo aberto I D Dizemos que a e um maximo local se fa fx x I um mınimo local se fa fx x I Logo uma funcao pode ter varios maximos e mınimos locais como na Figura 2 O maximo global sera o maior dentre os locais ou um ponto de fronteira caso o intervalo seja fechado Ou ainda pode ocorrer de nao exisitir um maximo global O mesmo ocorre com o mınimo global Figura 2 Pontos em fx 24x885x718x6154x548x481x311x2x8 Exercıcio 1 Para cada funcao abaixo de grafico ja conhecido indique se existem maximos locais eou globais e mınimos locais eou globais 1 fx x2 2 fx 1 x2 3 fx 1 x 4 fx sen x 5 fx ex 6 fx lnx 4 A vantagem de introduzirmos os conceitos de maximos e mınimos locais esta no fato de dadas as condicoes impostas na definicao podermos usar as ferramentas das derivadas para a determinacao de tais pontos Suponha que fx seja uma funcao derivavel em um intervalo aberto I a I e f a 0 entao dizemos que a e um ponto crıtico de f A Figura 2 mostra que ha trˆes possibilidades de pontos crıticos maximos pontos azuis mınimos pontos vermelhos e ponto de inflexao ponto rosa O ponto de inflexao tem a propriedade singular de ser a fronteira entre a parte do grafico de fx que e cˆoncava para cima e a parte que e cˆoncava para baixo Por esta razao a reta tangente a fx neste ponto ao contrario de todos os ou tros pontos deixa localmente parte da curva em um semiplano e parte em outro semiplano Figura 3a Quando a reta tangente e horizontal o ponto P por definicao e tambem ponto crıtico Figura 3b Figura 3 a Ponto de inflexao P b Ponto crıtico e de inflexao P 5 Exemplo 1 Encontre os pontos criticos de fx 2x 15x 36z Solucao fx 6x 302 36 0 x 5r60 r720ur3 Estes sao os pontos criticos Exemplo 2 Encontre os pontos criticos de fx x 3x em 0 1 Solugao fx 3x 3 0 x 1 Estes sao os pontos criticos Porém apenas x 1 pertence ao intervalo 0 1 Exemplo 3 Encontre os pontos criticos de fx In2z7 em Ry 1 Solugao fx 0Vx Rx Logo fx nao tem pontos criticos x Exemplo 4 Encontre os pontos criticos de fx cosx em 0 27 Solugao fx senx 0 0 our7 ou r 27 Estes sao os pontos criticos em 0 27 Exercicio 2 Determine os pontos criticos de cada fungao dentro do respectivo dominio dado l fx 2 327r ER 7 gx a 2x 3 2 2 st 3t 120te R 8 fz sit ER 33 Xx 3 gx 3 3x 9x 8 4 pe n3 5 fn 7 ine R 7 10 wt sen3tt ER 6 fv 23 30324 ER 11 Qt 2et ER 6 A classificacao de pontos crıticos esta relacionada ao crescimento e decrescimento de fx Com efeito dado o ponto crıtico a I temos que a e maximo se f for crescente em x a e decrescente em x a mınimo se f for e decrescente em x a e crescente em x a ponto de inflexao se f for crescente em x a e crescente em x a ou decrescente em x a e decrescente em x a Chamamos de monotonicidade o estudo de crescimento e decrescimento de uma funcao Assim podemos dizer que os pontos de inflexao preservam a monotonicidade de fx enquanto que maximos e mınimos mudam a monotonicidade de fx A relacao da monotonicidade com as derivadas pode ser melhor compreendida se recorrermos as ideias fısicas Com efeito para um corpo que se movimento no plano a velocidade e positiva quando a distˆancia aumenta a velocidade e negativa quando a distˆancia diminui Denotando fx como a funcao posicao e f x como velocidade temos a proprie dade generalizada para toda funcao fx derivavel em um intervalo aberto I f x 0 em I f for crescente em I f x 0 em I f for decrescente em I As analises acima estao resumidas na Figura 4 Figura 4 Derivadas e monotonicidade de uma funcao 7 c Para pensard Experimente manipular as retas tangentes AQUI para compreender melhor as relacoes entre monotonicidade e derivadas sugeridas na Figura 4 Exemplo 5 Determinar os pontos crıticos de fx x3 3x atraves do estudo da monotonicidade de fx Solucao f x 3x2 3 0 x 1 O estudo de sinal da funcao f x implica na monotonicidade de fx Os sinais de f x seguem do grafico fx0 fcrescente 1 fx0 fdecrescente 1 fx0 fcrescente Logo fx e crescente para x 1 e x 1 decrescente na regiao 1 x 1 Portanto 1 e maximo local e 1 e mınimo local O estudo do monotonicidade em geral e suficiente para a classificacao dos pontos crıticos Todavia o estudo da concavidade de uma funcao permite complementar informacoes pois encontramos pontos crıticos e compreendemos de que maneira ocorre a monotonicidade de fx E para isto novamente recorremos a fısica como motivacao para esta analise Nas mesmas condicoes citadas anteriormente temos que a aceleracao e positiva quando a velocidade aumenta a aceleracao e negativa quando a velocidade diminui Denotando f x como velocidade e f x como acelercao temos a propriedade generalizada para toda funcao fx derivavel em um intervalo aberto I f x 0 em I f for crescente em I f for cˆoncava para cima f x 0 em I f for decrescente em I f for cˆoncava para baixo c Para pensard Comprove esta analise AQUI novamente 8 Exemplo 6 Estudar monotonicidade e concavidade da funcao fx x3 3x2 determinando e classificando os pontos crıticos Solucao f x 3x2 6x 0 x 0 ou x 2 Estes sao os pontos crıticos Vejamos a monotonicidade fx0 f decrescente 0 fx0 fcrescente 2 fx0 fdecrescente Em sıntese a funcao f e crescente para 0 x 2 decrescente para x 0 ou x 2 Isto mostra que 0 e mınimo local e 2 e maximo local Agora estudaremos a concavidade f x 6x 6 0 x 1 Este e o ponto de inflexao Logo fx0 f cˆoncava p cima 1 fx0 f cˆoncava p baixo Ou seja a funcao e cˆoncava para cima para x 1 confirmando que 0 e minimo local cˆoncava para baixo para x 1 confirmando que 2 e maximo local Nao e difıcil perceber que maximos locais estao em regioes cˆoncavas para cima e mınimos locais em regioes cˆoncavas para baixo Deste modo x a e maximo se f a 0 mınimo se f a 0 ponto de inflexao se f a 0 No Exemplo 6 acima x 2 e maximo porque f 2 0 e x 0 e mınimo local porque f 0 0 Obeerve que x 1 e um ponto de inflexao nao crıtico 9 Exercıcio 3 Estudar a monotonicidade e a concavidade das funcoes que se guem identificando pontos crıticos e de inflexao a fx x3 2x2 x b fx x3 10x2 25x 5 c fx x4 12x2 2 d fx x5 5x3 e fx 2x6 6x4 f fx 5x 1 g fx 2 x 1 3 h fx x 2 35 x i fx sen x j fx sen x cosx k fx 2 lnx Uma importante aplicacao do estudo de pontos crıticos e o esboco de graficos de funcoes fx A resolucao deste tipo de exercıcio exige muita organizacao pois devem ser articuladas diversas informacoes Por isso faremos em etapas Teste da derivada primeira Estudar o sinal de f x dadas as raızes e pontos onde f x nao esta definida O objetivo e encontrar pontos crıticos e estudar o crescimento da funcao Teste da derivada segunda Estudar o sinal de f x dadas as raızes e pontos onde f x nao esta definida O objetivo e encontrar pontos de inflexao classificar os pontos crıticos e estudar a concavidade da funcao Localizacao de pontos Determinar as imagens dos pontos crıticos e de inflexao se existirem e as intersecoes com os eixos coordenados quando possıvel Determinacao de assıntotas Em certos casos devemos determinar tambem as assıntotas verticais e horizontais da funcao Se julgar necessario revise o Exercıcio 6 do Capıtulo IV Esboco do grafico Marcar primeiro os pontos crıticos de inflexao e interesecoes com eixos Esbocar as assıntotas se houver Finalmente fazer o tracado da orientandose pelas informacos dos testes das derivadas primeira e segunda 10 Exemplo 7 Esbocar o grafico da funcao fx 2x 32 122 7 Solucao Teste da derivada primeira fx 62 62 12 62 x 2 0 x 2 ou x 1 Estes sao os pontos criticos Agora faremos estudo de monotonicidade fa0 fx0 f0 f crescente f decrescente f crescente lll ss s595955 i Waa Logo f é crescente para x 2 ex 1 e decrescente para 2 x 1 Teste da derivada segunda 1 f 124 6 6271024 3 Este é 0 ponto de inflexao e nao é critico Vejamos o estudo de concavidade fx0 1 fx0 f céncava p baixo 5 f céncava p cima FFF TTT or2895020 SIE pn 1 pe e f é cOncava para baixo para at donde x 2 6 maximo a 1 pone e f écOncava para cima para x at donde x 1 é minimo Localizagao de pontos e Imagens de pontos criticos f2 13 e f1 14 1 1 e Imagens de ponto de inflexao f 5 75 e Intersegao com eixo y f0 7 e Intersegao com eixo x ratzes Esta fungao nao permite um calculo simples para encontrar raizes Determinacao de assintotas Esta fungao nao possui assintotas Esboco do grafico Figura 5 1 Figura 5 Grafico de fx 2x3 3x2 12x 7 Exemplo 8 Esbocar o grafico da funcao fx x 2 3 Solucao Teste da derivada primeira f x 2 3x 1 3 2 3 3x f x nao tem raiz logo fx nao tem pontos crıticos Como f x nao esta definida em x 0 devemos usar este ponto no estudo da monotonicidade fx0 f decrescente 0 fx0 f crescente Ou seja f e decrescente para x 0 e crescente para x 0 Teste da derivada segunda f x 2 9x 4 3 2 9 3 x4 f x tambem nao tem raiz donde fx nao tem pontos de inflexao E novamente x 0 e portanto este valor deve ser usado no estudo da convavidade fx0 f cˆoncava p baixo 0 fx0 f cˆoncava p baixo Isto e f e cˆoncava para baixo tanto para x 0 quanto para x 0 12 Localizacao de pontos Imagens de pontos crıticos Nao ha pontos crıticos Imangens de pontos de inflexao Nao ha pontos de inflexao Intersecao com eixo y f0 0 Intersecao com eixo x raızes x 0 e a unica raiz Determinacao de assıntotas Esta funcao nao possui assıntotas Grafico da funcao Ver Figura 6 Figura 6 Grafico de fx x 1 3 Exemplo 9 Esbocar o grafico da funcao fx x x 12 Solucao Teste da derivada primeira f x 1 x x 13 pela regra do quociente Logo f x tem raiz x 1 ponto crıtico e nao esta definida em x 1 Fazendo o estudo da monotonicidade fx0 f decrescente 1 fx0 f crescente 1 fx0 f decrescente Isto e f e decrescente para x 1 e x 1 e crescente para 1 x 1 13 Teste da derivada segunda f x 2x 2 x 12 pela regra do quociente donde f x tem raiz em x 2 ponto de inflexao e nao esta definida em x 1 Fazendo o estudo da concavidade fx0 f cˆoncava p baixo 1 fx0 f cˆoncava p baixo 2 fx0 f cˆoncava p cima Portanto f e cˆoncava para baixo para x 1 e para 1 x 2 e cˆoncava para cima para x 2 Localizacao de pontos Imagens de pontos crıticos f1 1 4 Imagens de pontos de inflexao f2 2 9 Intersecao com eixo y f0 0 Intersecao com eixo x raızes x 0 e a unica raiz Determinacao de assıntotas f possui assıntota vertical em x 1 pois lim x1 fx e lim x1 fx Alem disso y 0 e assıntota horizontal pois lim x fx 0 Esboco do grafico Figura 7 Figura 7 Grafico de fx x x 12 14 Exercıcio 4 Esboce os graficos das funcoes que seguem a fx x3 12x2 b fx 4x3 12x2 36x 20 c fx x4 4x3 4x 1 d fx x5 5x4 240 e fx 4 5x5 16x2 25 f fx 5 x 1 3 g fx x 1 3x 4 h fx xe 1 x2 i fx x 1 4x 3 j fx x2 9 x2 k fx ln x x l fx x x2 1 m fx x x2 1 n fx 2x2 x 1 x2 1 Problemas de Otimizacao Otimizar significa encontrar o valor maximo ou mınimo de uma funcao em condicoes dadas Nos problemas de otimizacao pedese por exemplo a area maxima o custo mınimo o lucro maximo o volume maximo o caminho mais curto etc Sugestao de etapas para resolver problemas de otimizacao 1 Separar as grandezas que apresentam dados e as que representam variaveis para depois nomealas Por exemplo t para tempo C para custo V ara volume etc 2 Construir as equacoes que relacionam as grandezas encontradas Se necessario faca desenhos 3 Indicar a variavel a ser otimizada maximizada ou minimizada 4 Relacionar as equacoes para obter uma funcao que relaciona a variavel a ser otimizada com apenas uma variavel 5 Encontrar os pontos crıticos da funcao e classificalos de modo a resolver o problema 15 Exemplo 10 Com uma folha de cartolina de medidas 40cm e 52cm desejase construir uma caixa recortando quadrados iguais dos cantos e dobrando as laterais como mostra a Figura 8 Figura 8 Construcao de uma caixa a partir de uma folha retangular Determine a medida do lado de cada quadrado para que a caixa tenha o maior volume possıvel Solucao 1o Denotaremos o lado de cada quadrado por ℓ Retirando cada canto quadrado as dimensoes da caixa ficam x 40 2ℓ y 52 2ℓ e z ℓ Figura 9 Figura 9 Dimensoes da caixa retangular 2o O volume da caixa e dado por V xyz sendo x 52 2ℓ y 40 2ℓ e z ℓ 3o Desejamos encontrar o valor de ℓ que torna o volume maximo 4o Substituindo as equacoes de x y e z na formula do volume obtemos V ℓ40 2ℓ52 2ℓ 16 5o Primeiro devemos encontrar os pontos crıticos de V V ℓ Com efeito V ℓ 4520ℓ 46ℓ2 ℓ3 dV dℓ 4520 92x 3x2 Fazendo dV dℓ 0 obtemos aproximadamente as raızes 2319 e 747 Agora calculamos a derivada de segunda ordem d2V dℓ2 492 6ℓ O sinal de d2V dℓ2 indica a concavidade do grafico da funcao V e portanto classifica os pontos crıticos Substituindo os valores encontrados na formula da derivada segunda obtemos d2V dℓ2 23 19 188 56 0 e d2V dℓ2 7 47 188 72 0 Logo V atinge mınimo em 23 19 maximo em 7 47 maximo ou seja para que a caixa tenha volume maximo e necessario recortar quadrados de lado 7 47cm de cada canto Exemplo 11 Duas rodovias perpendiculares se cortam num ponto P Um carro passsa por P se dirigindo a leste a uma velocidade de 20kmh No mesmo momento outro carro situado a 2km de P se dirige para o sul a uma velocidade de 50kmh Determine o instante em que a distancia deles e mınima Solucao 1o A Figura 10 ilustra a situacao que iremos descrever Ela mostra diversas distˆancias que sugerem a construcao de um triˆangulo retˆangulo 2o Denotando o tempo por t a distˆancia percorrida pelos automoveis e dada pelo produto da velocidade pelo tempo Entao no intervalo de tempo em que um automovel percorreu uma certa distˆancia a 50kmh outro percorreu sua distˆancia a 20kmh Logo o pri meiro andou 50t quilˆometros e o segundo andou 20t quilˆometros A distˆancia que falta para o primeiro chegar ao ponto P e 2 50t 17 i i 7 tae c Ng Figura 10 Ilustracgao da resolugcao do Exemplo 11 Portanto a distancia entre os carros é a hipotenusa de um triangulo retangulo que tem 20 e 2 50 como catetos 3 Queremos encontrar o valor de que torna esta distancia minima 4 Pelo Teorema de Pitagoras temos d 2 50t 20t V4 200t 2900 5 Agora devemos encontrar e classificar os pontos criticos de d V4 200t 2900 Em fungoes como esta é comum utilizarse do seguinte raciocinio V4 200t 2900t atinge maximo eou minimo exatamente nos mesmos pontos que 4 200 290027 Iremos considerar portanto a fungao ft 4 200 2900 Para encon 1 trar os pontos criticos fazemos ft 200 5800t 0 t 50 Para classificar este ponto critico fazemos ft 5800 0 para todo t Logo o ponto encontrado é necessariamente minimo 1 Isto é a distancia minima entre os carros sera de 30 00345km 18 Exercıcio 5 Resolva os problemas a Desejase construir uma caixa quadrada sem tampa com volume 1m3 Que dimensoes ela deve ter para que seja usado o mınimo de material b Para construir um recipiente cilındrico sem tampa com 1m3 usando o mınimo de material possıvel devese exigir que valores para o raio e a altura c Qual e o maior volume possıvel pode ter uma lata cilındrica sem tampa feita feita com 27π cm2 de chapa metalica d Um recipiente de lata de forma cilındrica e aberto no topo deve ter capacidade de v litros Determine a razao entre a altura h e o diˆametro d da base de modo que a quantidade de lata usada na sua fabricacao seja a menor possıvel e As 13 hs o navio A esta a 30 milhas ao sul do navio B e navega rumo ao Norte a uma velocidade de 15 milhash Sabendo que o navio B navega para o oeste a uma velocidade de 10 milhash determine o instante em que a distˆancia entre os dois sera mınima f Um automovel aproximase de um cruzamento pelo leste a uma velocidade de 15 ms Quando o automovel esta a 60 m do cruzamento um caminhao a uma velocidade de 20 ms atravessa o cruzamento O automovel e o caminhao estao em ruas que se cruzam em ˆangulo reto Com que velocidade o automovel e o caminhao estarao se afastando um do outro 2 s apos o caminhao ter passado pelo cruzamento g O carro A segue em direcao ao oeste a 90kmh e o carro B segue rumo ao norte a 100kmh Ambos estao se dirigindo para a intersecao de duas estradas A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro A esta a 60m e o carro B esta a 80m da intersecao h A 1h o navio A esta a 25 milhas ao sul do navio B Se o navio A esta navegando para o oeste a razao de 16mih e o navio B esta navegando para o sul a razao de 20mih determine a razao na qual varia a distˆancia entre os navios a 1h30min i Um fazendeiro tem 500 metros de cerca para contornar um terreno retangular Sabendo que um celeiro sera usado como parte de um lado deste retˆangulo mostre que a area do terreno sera maxima quando este for um quadrado 19 j Um retˆangulo e inscrito num triˆangulo retˆangulo como mostra a Figura 11 Figura 11 Retˆangulo inscrito num triˆangulo retˆangulo Sabendo que os lados do triˆangulo medem 5 12 e 13 determine as dimensoes do retˆangulo para que sua area seja a maior possıvel k Um veterinario tem 100 m de tela de arame para construir seis canis Pri meiro cercara uma regiao retangular e depois subdivididira essa regiao em seis retˆangulos menores atraves de cinco cercas divisorias internas paralelas a um dos lados Que dimensoes externas dessa regiao retangular maximizam sua area total se o veterinario gastar os 100 m de tela nessa construcao l Uma janela tem a forma figura formada pela justaposicao de um retˆangulo com um semicırculo como mostra a Figura 12 Figura 12 Janela do problema Sabendo que o perımetro da janela e 6m determine as dimensoes do retˆangulo que maximizem a area da janela m Um pedaco de arame de 36cm e cortado em duas partes Com uma fazse um triˆangulo equilatero e com outra um retˆangulo cujo comprimento e o dobro da largura Em que ponto do arame ele deve ser cortado para que a soma das areas das figuras seja i maxima ii mınima 20 n Uma livraria compra um livro de uma editora pelo preco unitario de R3 00 e vende por R15 00 A fim de aumentar as vendas propˆos um desconto no preco de cada exemplar Estimouse que para cada R1 00 reduzido no preco 20 livros a mais sao vendidos Por qual preco a livraria deve vender o livro para que o seu lucro seja maximo o Um brinquedo e vendido numa loja por R40 00 a unidade O dono desta loja observou que por este preco sao vendidos 50 unidades por mˆes mas pretende aumentar o preco do brinquedo Estimou que a cada R1 00 de aumento 3 unidades a menos sao vendidas Se o armazenamento de cada unidade custa a loja R25 00 qual e o preco que deve ser vendido o jogo para maximizar o lucro p Um projetil e lancado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v0 Apos t segundos atinge uma altura de st metros Encontre a altura maxima sendo i v0 144ms e st 144t 16t2 ii v0 192ms e st 100 192t 16t2 21 Respostas dos exercıcios propostos Exercıcio 1 a x 0 b x 0 c Nenhum d x πrad 2 x 3πrad 2 e Nenhum f Nenhum Exercıcio 2 a x 0 x 2 b t 2 t 0 2 c x 1 x 3 d x 1 e Nenhum f x 0 x 6 5 g x 0 h Nenhum i p 1 p 1 3 j t πrad 3 t π 6 πrad 3 k Nenhum 22